1、第二章 有理数及其运算,初中数学（北师大版）七年级 上册,知识点一 有理数乘方的意义,例1 关于(-3)4的说法正确的是 ( ) A.-3是底数,4是幂 B.-3是底数,4是指数,-81是幂 C.3是底数,4是指数,81是幂 D.-3是底数,4是指数,(-3)4是幂,解析 (-3)4表示4个-3相乘,所以底数为-3,指数为4,而(-3)4是幂.,答案 D 温馨提示 an与-an的区别,an表示n个a相乘,底数是a,指数是n,读作“a的 n次方”或“a的n次幂”;-an表示n个a的乘积的相反数,底数是a,指数是 n,读作“a的n次方的相反数”或“负的a的n次方”.,知识点二 有理数乘方的运算方法
2、与符号法则,例2 下列各组运算中,值相等的是 ( ) A.32和23 B.(-2)3和23 C.(-2)4和-24 D.-12 014和(-1)2 015,解析 32=33=9,23=222=8, 所以32与23不相等; (-2)3=(-2)(-2)(-2)=-8,23=222=8, 所以(-2)3与23不相等; (-2)4=(-2)(-2)(-2)(-2)=16,-24=-2222=-16, 所以(-2)4与-24不相等; -12 014=-1,(-1)2 015=-1, 所以-12 014=(-1)2 015.,答案 D,题型一 运用乘方运算法则计算 例1 计算:(1)(-3)2;(2)
3、;(3)(-1)2 012; (4)(0.3)2;(5) .,题型二 乘方在生活中的应用 例2 拉面是一种人们喜欢吃的面条,拉面馆的师傅用一根很粗的面条, 把两头捏合在一起拉伸,再捏合,再拉伸,反复几次,就把一根很粗的面条 拉成了许多细的面条,如图2-9-1所示,解答下列问题: (1)第6次捏合后,可得多少根面条? (2)多少次捏合后可得到512根面条?图2-9-1,解析 (1)第6次捏合后可得26=64(根)面条. (2)因为29=512,所以要得到512根面条,需要9次捏合. 点拨 第一次捏合后可拉出2根面条,第二次捏合后可拉出22根面条,第 三次捏合后可拉出23根面条依此类推,第n次捏合
4、后可拉出2n根面 条,找出规律是解决此题的关键.,易错点 对幂的相关定义理解不透彻 例 计算:(1)(-5)2;(2)-54;(3)- . 错解 (1)(-5)2=-52=-10. (2)-54=(-5)(-5)(-5)(-5)=625. (3)- =- =- . 正解 (1)(-5)2=(-5)(-5)=25. (2)-54=-5555=-625. (3)- =- =- . 错因分析 将乘方与乘法混淆,误认为(-5)2=(-5)2;-54的底数是5而不是 -5;22的底数是2, 的底数是 .,知识点一 有理数乘方的意义 1.(2017北京房山期中)乘积(-3)(-3)(-3)(-3)可以表示
5、为 ( ) A.-34 B.-(+3)4 C.(-3)4 D.-(-3)4,答案 C (-3)(-3)(-3)(-3)=(-3)4.,2.下列说法正确的是 ( ) A.-25的底数是-2 B.-110读作“负1的10次幂” C.(-3)3与-33意义相同 D.(-1)2 017=-12 017,答案 D -25的底数是2;-110读作“负的1的10次幂”;(-3)3表示3个-3相 乘,-33表示3个3相乘的相反数;(-1)2 017=-12 017=-1.只有D选项正确.,3.(2017吉林长春外国语学校月考)下列式子正确的是 ( ) A.(-6)(-6)(-6)(-6)=-64 B. (-5
6、)3=(-5)(-5)(-5) C. -54=(-5)(-5)(-5)(-5) D. =,答案 B (-6)(-6)(-6)(-6)=(-6)4,故选项A错误,-54=-5555,故选项 C错误; = ,故选项D错误.,知识点二 有理数乘方的运算方法与符号法则 4.下列运算正确的是 ( ) A.-22=4 B. =-8 C. =- D.(-2)3=-6,答案 C A选项中,-22=-4;B选项中, =- =-12 ;D选项中,(-2)3 =-8;C正确.,5.计算:(1) = ;(2)-0.12= ; (3) = ;(4)-(-2)2= ; (5)|-5|3 .,答案 (1)- (2)-0.0
7、1 (3) (4)-4 (5)125,解析 (1) = =- . (2)-0.12=-0.10.1=-0.01.(3) = = . (4)-(-2)2=-(-2)(-2)=-4.(5)|-5|3=53=125.,6.某药厂生产了一批新药,装箱后存放在仓库中,为了方便清点,按1010 10(单位:箱)一堆的方式摆放,共摆放了10堆,已知每箱装100瓶药,每瓶 装100片药. (1)这批药共有多少箱? (2)这批药共有多少片?,解析 (1)10101010=10 000(箱). 答:这批药共有10 000箱. (2)10101010100100=108(片). 答:这批药共有108片.,1.(-7
8、)7表示 ( ) A.7个-7的积 B.-7与7的积 C.7个-7的和 D.-7与7的和,答案 A (-7)7=(-7)(-7)(-7)(-7)(-7)(-7)(-7).,2.下列各幂中是负数的是 ( ) A.23 B.(-2)2 C.(-1)2 018 D.(-1)5,答案 D 正数的任何次幂都是正数,负数的偶次幂是正数,奇次幂是负 数,故选D.,3. 写成乘方形式是 ,其结果是 .,答案 ;-,解析 = =- =- .,4.先说出下列各式的意义,再计算出结果: (1)(-2)4;(2) ;(3)(-2.5)2;(4) .,解析 (1)(-2)4表示4个-2相乘,(-2)4=(-2)(-2)
9、(-2)(-2)=2222=16. (2) 表示3个- 相乘, = =- =- . (3)(-2.5)2表示2个-2.5相乘,(-2.5)2=(-2.5)(-2.5)=2.52.5=6.25. (4) 表示2个-1 相乘, = = = =.,1.下列各组数:32与23;(-3)3与-33;-22与(-2)2;(-23)2与-22(-3)2,其 中数值不相等的有 ( ) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组,答案 C 32=9,23=8,32与23不相等;(-3)3=-27,-33=-27,所以(-3)3与-33 相等;-22=-4,(-2)2=4,所以-22与(-2)2不相等;(-23)2=
10、(-6)2=36,-22(-3)2= -49=-36,所以(-23)2与-22(-3)2不相等,故选C.,2.若x2=100,则x= ,若x3=1 000,则x= .,答案 10;10,解析 因为102=100,(-10)2=100,所以当x2=100时,x=10或-10.只有103=1 0 00,所以当x3=1 000时,x=10.,3.若|a+6|+(b-4)2=0,则(a+b)3= .,答案 -8,解析 根据已知得a+6=0,b-4=0,所以a=-6,b=4,所以(a+b)3=(-6+4)3=(-2)3= -8.,4.有一张面积为1平方米的正方形纸,第1次剪掉一半,第2次剪掉剩下的 一半
11、如此下去,剪8次后剩下的纸的面积为多少平方米?,解析 每剪一次都剩下上一次的 ,故剪8次后剩下的纸的面积为1 = = (平方米). 答:剪8次后剩下的纸的面积为 平方米.,1.下列各式:-(-2);-|-2|;-22;-(-2)2,计算结果为负数的有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,答案 B -(-2)=2;-|-2|=-2;-22=-4;-(-2)2=-4.计算结果为负数的 有3个.,2.将-22,(-0.5)2,(-0.6)3按从小到大的顺序排列是 ( ) A.-22(-0.5)2(-0.6)3 B.-22(-0.6)3(-0.5)2 C.(-0.6)3-22(-0.5)2
12、 D.(-0.6)3(-0.5)2-22,答案 B -22=-(22)=-4,(-0.5)2=(-0.5)(-0.5)=0.25,(-0.6)3=(-0.6)(-0.6) (-0.6)=-0.216. 因为-4-0.2160.25, 所以-22(-0.6)3(-0.5)2.,3.若x2=x,则x= .,答案 0或1,解析 平方等于它本身的数只有两个,即0和1.,4.探索规律:31=3,个位数字是3;32=9,个位数字是9;33=27,个位数字是7;34 =81,个位数字是1;35=243,个位数字是3;36=729,个位数字是9那么37 的个位数字是 ,32 018的个位数字是 .,答案 7;
13、9,解析 由已知得,31,32,33,34,35,36,的个位数字分别为3,9,7,1,3,9,每4 个数字为一个循环.因为74=13,2 0184=5042,所以37的个位 数字与33的个位数字相同,32 018的个位数字与32的个位数字相同.,5.在七年级(2)班举办的“数学晚会”上,有若干名同学分别躲在标有式 子的木牌后面(如图).若规定男生前面的木牌示数必须为正数,则可供男 生躲藏的木牌有 个. -|-3|2 - - -(-3)4,答案 2,解析 -|-3|2=-9,- =- = ,- =- , = =7, = =- ,-(-3)4=-81,木牌示数为正数的有2个.,答案 B 23=8
14、,32=9,故A选项不符合题意;-53=-125,(-5)3=-125,故B选项 符合题意;-42=-16,(-4)2=16,故C选项不符合题意; =- , =- , 故D选项不符合题意.,2.(2018四川雅安月考,10,)在-22,(-2)2,-(-2),-|-2|中,负数的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B -22=-4,(-2)2=4,-(-2)=2,-|-2|=-2,负数有2个,故选B.,二、填空题 3.(2018辽宁大连沙河口期中,14,)已知|m-1|与(2+n)2互为相反数, 则(n+m)2 018的值为 .,答案 1,解析 |m-1|与(2+n)2互为相
15、反数,|m-1|+(2+n)2=0,m-1=0,2+n=0,解 得m=1,n=-2,所以(n+m)2 018=(-2+1)2 018=1.,1.(2018广东深圳耀华实验学校期中,5,)一个数的平方等于16,则 这个数是 ( ) A.4 B.-4 C.4或-4 D.8,答案 C 因为(4)2=16,所以平方等于16的数有两个,它们是4和-4,故选 C.,2.(2018河南郑州五中月考,3,)在-(-8),(-1)2 007,-32,-|-1|,-|0|,- 中,负 数共有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,答案 A -(-8)=8,(-1)2 007=-1,-32=-9,-|-1
16、|=-1,-|0|=0,- =- ,负数一共有4 个.,3.(2016山西农大附中月考,10,)(-ab)(-ab)(-ab)的值是正数,则 ( ) A.ab0 B.ab0,b0,答案 B 因为(-ab)(-ab)(-ab)=(-ab)3为正数,故-ab为正数,故ab为负数, 即ab0.,4.(2017安徽宿州十三所重点学校期中,18,)在02 016,(-2)3,(-5)(-1), 这四个数中,最小的数是 .,答案 (-2)3,解析 02 016=0;(-2)3=-8;(-5)(-1)=5. 5 0-8,(-2)3最小.,答案 B m个2相乘表示为2m,n个3相加表示为3n,故选B.,2.(
17、2017四川自贡中考,1,)计算(-1)2 017的结果是 ( ) A.-1 B.1 C.-2 017 D.2 017,答案 A (-1)2 017=-1.,1.(2013山东菏泽中考,1,)如果a的倒数是-1,那么a2 013等于 ( ) A.1 B.-1 C.2 013 D.-2 013,答案 B 因为a的倒数是-1,所以a=-1,所以a2 013=(-1)2 013=-1.,2.(2013云南曲靖中考,10,)若a=1.9105,b=9.1104,则a b. (填“”),答案 ,解析 a=1.9105=1.9100 000=190 000,b=9.1104=9.110 000=91 00
18、0, 190 00091 000,ab.,1.观察下列各式: 1+2=3=22-1; 1+2+22=7=23-1; 1+2+22+23=15=24-1; 1+2+22+23+24=31=25-1. 根据以上规律填空: (1)1+2+22+23+24+25+26+27= ; (2)1+2+22+23+24+ =210-1; (3)1+2+22+23+2n-1+2n= .,答案 (1)28-1 (2)25+26+27+28+29 (3)2n+1-1,2.阅读材料:求1+2+22+23+24+22 015的值. 解:设S=1+2+22+23+24+22 014+22 015, 将式两边同时乘2得2S
19、=2+22+23+24+25+22 015+22 016, -得,2S-S=22 016-1, 所以S=22 016-1, 即1+2+22+23+24+22 015=22 016-1. 请你依照此法计算: (1)1+2+22+23+24+230; (2)1+3+32+33+34+3n(其中n为正整数).,解析 (1)设S=1+2+22+23+24+230, 将等式两边同时乘2得,2S=2+22+23+24+25+231, 两式相减得,2S-S=231-1, 所以S=231-1, 即1+2+22+23+24+230=231-1. (2)设S=1+3+32+33+34+3n, 将等式两边同时乘3得
20、,3S=3+32+33+34+35+3n+1, 两式相减得,3S-S=3n+1-1, 所以S= ,即1+3+32+33+34+3n= .,你能比较2 0162 017与2 0172 016的大小吗? 为了解决这个问题,我们首先写出它的一般形式,即比较nn+1与(n+1)n的大 小(n是正整数),然后我们从分析n=1,n=2,n=3中发现规律,经归纳、 猜想得出结论. (1)通过计算,比较下列各组中两数的大小:(在横线上填写“”“=”或 “”) 12 21;23 32;34 43; 45 54;56 65; (2)由(1)的结果,经过归纳,猜想nn+1与(n+1)n的大小关系; (3)根据以上归纳、猜想得到的一般结论,比较2 0162 017与2 0172 016.,解析 (1)通过计算分别填入“”“”“”. (2)由(1)可猜想nn+1(n+1)n(n为大于2的正整数). (3)由(2)知2 0162 0172 0172 016.,
