1、第四章 几何图形初步,初中数学（人教版）七年级 上册,知识点一 直线,例1 根据图4-2-1填空:图4-2-1 (1)点B在直线AD ;点C在直线AD ,直线CD过点 ; (2)点E是直线 与直线 的交点,点 是直线AD与 直线CD的交点; (3)过A点的直线有 条,分别是 .,解析 根据图形进行分析,即可完成各题,同一直线的表示方法不唯一.,答案 (1)上;外;E (2)AE;CD;D (3)3;直线AD、直线AE、直线AC,知识点二 射线,解析 以端点和方向分类,以A为端点时左右各一条,可表示的是射线 AB;以B为端点时左右各一条,可表示的是射线BA;以C为端点时左右各 一条,可表示的是射
2、线CA、射线CB;以D为端点时左右各一条,可表示的 是射线DA、射线DB. 故图4-2-2中有8条射线,其中可表示的有6条:射线AB、射线BA、射线 CA、射线CB、射线DA、射线DB. 规律总结 判断两条射线是不是同一条射线,应抓住两点:(1)端点相同; (2)方向相同.,知识点三 线段,例3 如图4-2-3,点A,B,C,D是直线l上的四个点,则图中共有几条线段?图4-2-3,解析 解法一:(端点确定法) 以点A为左端点的线段有3条:线段AB,线段AC,线段AD;以点B为左端点 的线段有2条:线段BC和线段BD;以点C为左端点的线段有1条:线段CD. 因此共有3+2+1=6(条)线段. 说
3、明:用端点确定法确定线段条数时,直线上的任意一点只能作为左端 点(或右端点),否则线段会重复. 解法二:(画线确定法) 先从左边第一个点(A)开始向右依次画弧线,共有3条,再从第二个点(B) 开始向右依次画弧线,共有2条,再从第三个点(C)开始向右画弧线,共有1 条,最后一点不再考虑.故题图中共有3+2+1=6(条)线段.,说明:画弧线时都要朝同一方向,否则有的线段会重复. 解法三:(公式法) 当一条直线上有n个点时,共有1+2+3+(n-1)=n(n-1)2条线段.因此,题 图中共有4(4-1)2=6(条)线段.,点拨 数线段的条数,应注意要按一定的顺序来数,不能重复,也不能遗 漏,一般从左
4、边第一个点数起,使它和其右边的每个点各组合一次.,例4 已知,如图4-2-4,B、C两点把线段AD分成243的三部分,M是 AD的中点,CD=6,求线段MC的长.图4-2-4,解析 设AB=2k,则BC=4k,CD=3k, AD=2k+3k+4k=9k. 因为CD=6,即3k=6,所以k=2, 所以AB=4,BC=8,AD=18. 因为M为AD的中点, 所以MD= AD= 18=9, 所以MC=MD-CD=9-6=3.,知识点四 直线、射线、线段的联系与区别 1.直线、射线、线段之间的联系 (1)射线和线段都是直线上的一部分,即整体与部分的关系.在直线上任 取一点,则可将直线分成两条射线;在直
5、线上任取两点,如图4-2-5,则图中 包含一条线段和四条射线.图4-2-5 (2)将射线反向延伸就可得到直线;将线段向一方延伸就可得到射线;将 线段向两方延伸就可得到直线.,2.三者的区别如下表:,例5 下列说法:(1)线段BA和线段AB是同一条线段;(2)射线AC和射线 AD是同一条射线;(3)把射线AB反向延长可得到直线BA;(4)直线比射线 长,射线比线段长.其中正确的结论个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,解析 用两个字母表示线段时,不分字母顺序,故(1)正确;射线AC和射线 AD的端点相同,方向不一定相同,故(2)错误;射线是向一方延伸的,反向 延长射线可得到直线,故(3
6、)正确;直线、射线都不能度量,不能比较长短, 故(4)错误,因此选B.,答案 B,知识点五 尺规作图作线段的和、差,解析 如图4-2-7,AE即为所求作的线段.图4-2-7,解析 (1)(2)(3)(4)(5)(6)如图4-2-9所示:图4-2-9,题型二 运用线段中点的性质进行线段长度的计算 例2 如图4-2-10所示,已知线段AB=24 cm,点P是线段AB上任意一点,与 点A、点B都不重合,点C是线段AP的中点,点D是线段PB的中点,计算CD 的长度.图4-2-10,解析 设AP的长度是x cm,则PB的长度是(24-x)cm, 根据已知,运用线段中点的性质, 得CP= AP= x(cm
7、), PD= PB= (24-x)(cm), 则CD=CP+PD= x+ (24-x)= x+12- x=12(cm).,点拨 在长度已知的线段上任意取一点(与两个端点都不重合),再取得 两条较短线段的中点,则两个中点之间的距离恰好是原线段长度的一半.,题型三 线段长度计算的分类讨论 例3 在已知直线上有A,B,C三点,点M是线段AB的中点,点N是线段BC 的一个三等分点,如果AB=6,BC=12,确定线段MN的长度.,分析 三点位于一条直线上,因此点A与点C可以位于点B的同侧或异 侧,点N是线段BC的一个三等分点,每一种情况内又可以分两种情况,即 点N到点B的距离较小还是较大.,解析 (1)
8、点A与点C位于点B的异侧, 如图4-2-11所示, 当BN= BC时,有MN= AB+ BC=3+4=7;图4-2-11 如图4-2-12所示, 当BN= BC时,有MN= AB+ BC=3+8=11.图4-2-12 (2)点A与点C位于点B的同侧,如图4-2-13所示, 当BN= BC时,有MN= BC- AB=4-3=1;图4-2-13 如图4-2-14所示, 当BN= BC时,有MN= BC- AB=8-3=5.图4-2-14 综上所述,MN的长为7或11或1或5.,点拨 在求解没有图形的几何题时,应根据题意画出图形,同时注意图 形的多样性,以免漏解.,易错点 忽略线段长度计算的多解情况
9、 例 已知线段AB=30 mm,在直线AB上的一条线段BC=10 mm,点D是线 段AC的中点,求CD的长度.,(2)当点C在线段AB上时,如图4-2-17所示,CD= = =10(mm).图4-2-17 错因分析 错误的原因是审题不清,只考虑了点C在线段AB的延长线上 的情况,而忽略了点C在线段AB上的情况.,知识点一 直线 1.下列各选项中直线的表示方法正确的是 ( ),答案 C 点要用一个大写的英文字母表示,直线要用一个小写的英文 字母或直线上两个点对应的大写英文字母表示.,2.下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是 ( ) A.从王庄到李庄走直线最近 B.在正常情况下,射
10、击时要保证瞄准的一只眼睛在准星和缺口确定的直 线上,才能射中目标 C.向远方延伸的铁路给我们一条直线的印象 D.数轴是一条特殊的直线,答案 B,3.如图4-2-1,下列语句:直线l经过C、D两点;点C、D在直线l上; 直线l是由C、D两点确定的;l是一条直线,C、D是任意两点.其中正确 的有 ( )图4-2-1 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,答案 B 易知正确,中C、D应强调是直线l上任意两点,所以 错.,知识点二 射线 4.下列可近似看作射线的图形是 ( ) A.绷紧的琴弦 B.太阳发出的光线 C.孙悟空的金箍棒 D.平直的铁路,答案 B 由于太阳可以看作一个端点,发出的光线可看作
11、无限延伸的 线,所以太阳发出的光线可看作射线.,5.下列选项中,射线PA与PB表示同一条射线的是 ( ),答案 C A、B虽然端点相同,但方向不同,D端点不同,方向也不同,故 A、B、D错误,故选C.,知识点三 线段 6.如图4-2-2,共有线段 ( )图4-2-2 A.3条 B.4条 C.5条 D.6条,答案 D 从左向右数,以点A为左端点的线段有3条:线段AB、线段 AC、线段AD,以点B为左端点的线段有2条:线段BC、线段BD,以C为左 端点的线段有1条:线段CD,所以一共有6条线段.,7.如图4-2-3所示,线段AB=DE,点C为线段AE的中点,下列式子不正确的 是 ( )图4-2-3
12、 A.BC=CD B.CD= AE-AB C.CD=AD-CE D.CD=DE,答案 D 因为点C为线段AE的中点,且线段AB=DE,则BC=CD,故A选 项正确;CD=CE-DE= AE-DE= AE-AB,故B选项正确;CD=AD-AC=AD- CE,故C选项正确,故选D.,8.(2018广东汕头东厦中学月考)课本上有这样两个问题:如图4-2-4,从甲 地到乙地有3条路,走哪条路较近?从甲地到乙地能否修一条最短的路? 这些问题均与关于线段的一个基本事实相关,这个基本事实是 .图4-2-4,答案 两点之间,线段最短,9.如图4-2-5,点C是线段AB上一点,点D是线段AC的中点,点E是线段C
13、B 的中点.AB=9 cm,AC=5 cm. 求:(1)AD的长; (2)DE的长.图4-2-5,解析 (1)因为点D是线段AC的中点,AC=5 cm,所以AD= AC=2.5 cm. (2)因为CB=AB-AC=9-5=4(cm),点E是线段BC的中点, 所以CE= CB= 4=2(cm).所以DE=DC+CE= AC+CE=2.5+2=4.5(cm).,答案 C 直线BA和直线AB是同一条直线,(1)正确; AB+BDAD,(2)正确; 射线AC和射线AD是同一条射线,(3)正确; 三条直线两两相交时,不一定有三个交点,还可能有一个,故(4)不正确. 共3个说法正确.故选C.,11.下列四
14、个生活、生产现象:用两个钉子就可以把木条固定在墙上; 植树时,只要定出两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线;从 A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段架设;把弯曲的公路改直,就 能缩短路程.其中可用“两点之间,线段最短”来解释的现象有 ( ) A. B. C. D.,答案 D 是两点确定一条直线的体现,可以用“两点之间,线 段最短”来解释.故选D.,12.如图4-2-7所示: (1)图中共有多少条射线?其中可用两个大写字母表示出的有哪几条? (2)图中共有多少条线段?分别用两个大写字母表示它们.图4-2-7,解析 (1)共有14条射线,可用两个大写字母表示出的是:射线BM、 CM、NM、C
15、N、BN、MN、AB、AC、CA. (2)共有8条线段,分别是:线段MB、BC、CN、MC、BN、MN、AB、AC.,解析 (1)如图,线段AC即为所求.(2)如图,线段AB即为所求.,1.下列说法正确的是 ( ) A.延长线段AB与延长线段BA表示同一种含义 B.延长线段AB到C,使得AC=BC C.延长线段AB与反向延长线段BA表示同一种含义 D.反向延长线段AB到C,使AC=BC,答案 C,2.过两点可确定一条直线,过A、B、C三点可确定直线的条数是 ( ) A.1 B.3 C.1或2 D.1或3,答案 D 需要分两种情况讨论:当A、B、C三点不在同一条直线上 时,点A、点B确定一条直线
16、,点B、点C确定一条直线,点A、点C确定一 条直线,所以一共可以确定三条直线;当A、B、C三点在同一条直线 上时,直线AB、BC、AC是同一条直线.,3.下列说法中,正确的是( ) A.直线虽然没有端点,但长度是可以度量的 B.射线只有一个端点,但长度是可以度量的 C.线段虽然有两个端点,但长度是可以变化的 D.线段的长度是可以度量的,直线、射线的长度是不可以度量的,答案 D,4.如图,C、D是线段AB上两点,若BC=3 cm,BD=5 cm,且D是AC的中点, 则AC的长等于 ( )A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.13 cm,答案 B DC=5-3=2(cm),所以AC=2DC
17、=4 cm.,5.如图,AB=12,点C为线段AB的中点,点D在线段AC上,且ADCB=13, 则线段DB的长度为 ( )A.4 B.6 C.8 D.10,答案 D 点C为线段AB的中点, AC=BC= AB= 12=6, ADCB=13, AD=2,DB=AB-AD=12-2=10.,6.小红家分了一套新住房,她想在自己房间里的墙上钉上一根细木条,挂 上自己喜欢的装饰物,那么小红至少需要钉 根钉子才能使细木 条固定. ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 两点确定一条直线.,7.已知线段MN,P是MN的中点,Q是PN的中点,R是MQ的中点,那么MR= MN.,答案,解析 如图,P
18、是MN的中点,Q是PN的中点,所以QN= MN,MQ= MN,又 因为R是MQ的中点,所以MR= MQ,所以MR= MN= MN.,8.根据下列语句画出图形: (1)直线l经过A、B、C三点,点C在点A与点B之间; (2)两条射线m与n相交于点P; (3)线段a、b相交于点O,与线段c分别交于点P、Q.,解析 (1)(2)(3),9.已知线段AD=10 cm,点B、C都是线段AD上的点,且AC=7 cm,BD=4 cm, 若E、F分别是AB、CD的中点,求线段EF的长.,解析 解法一:因为E、F分别是AB、CD的中点,所以EF=AD-(AE+DF)= AD- (AB+CD)=AD- (AD-B
19、C)= AD+ BC= (AD+BC)= AD+(AC+BD -AD)= (AC+BD)= (7+4)= (cm). 解法二:因为E、F分别是AB、CD的中点,所以EF=BE+BC+CF= AB+ BC+ CD= AB+ BC+ BC+ CD= (AB+BC+BC+CD)= (AC+BD)= (7+4)= (cm).,10.按下列要求画图: (1)在图中,以点A,B为端点画线段AB; (2)在图中,过点C,D画直线CD,再在直线CD外画一点P; (3)在图中,画射线EF; (4)在图中,画两条直线a,b,使得两条直线交于点M.,解析 画出的图形如图所示.,1.直线a,b,c是平面上任意三条直线
20、,交点可能有 ( ) A.1个或2个或3个 B.0个或1 个或3个 C.0个或1个或2个 D.0个或1个或2个或3个,答案 D 如图,交点可能有0个或1个或2个或3个.,2.如图4-2-9,点C是线段AB的中点,点D是线段BC的中点,下列等式不正 确的是 ( )图4-2-9 A.CD=AC-DB B.CD=AD-BC C.CD= AB-BD D.CD= AB,答案 D 因为C、D分别是线段AB、BC的中点(已知),所以AC=BC= AB,CD=BD= BC(线段中点的定义). 选项A、B、C显然正确,选项D,CD= AB,故选D.,3.已知A,B,C为直线l上的三点,线段AB=9 cm,BC=
21、1 cm,那么A,C两点间 的距离是 ( ) A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.8 cm或10 cm,答案 D 分两种情况: 如图(1),点C在线段AB上,则AC=AB-BC=9-1=8(cm);图(1) 如图(2),点C在线段AB的延长线上,AC=AB+BC=9+1=10(cm).故选D.图(2),4.已知:如图4-2-10,直线l上依次有3个点A、B、C. (1)在直线l上共有多少条射线? (2)在直线l上增加一个点,共增加了多少条射线? (3)如果在直线l上增加到n个点,则共有多少条射线?图4-2-10,解析 (1)以A,B,C为端点的射线各有2条,因而共有射线6条. (2
22、)易知增加一个点增加2条射线. (3)共有2n条射线.,解析 本题有两种情形: 当点A是绳子的对折点时,将绳子展开如图. 因为APBP=23,剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm, 所以2AP=60 cm, 所以AP=30 cm, 所以PB=45 cm, 所以绳子的原长=2AB=2(AP+PB)=2(30+45)=150(cm);当点B是绳子的对折点时,将绳子展开如图. 因为APBP=23,剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm, 所以2BP=60 cm,所以BP=30 cm, 所以AP=20 cm. 所以绳子的原长=2AB=2(AP+BP)=2(20+30)=100(cm).综上,绳子
23、的原长为150 cm或100 cm.,1.两条直线最多有1个交点,三条直线最多有3个交点,四条直线最多有6 个交点,那么六条直线最多有 ( ) A.21个交点 B.18个交点 C.15个交点 D.10个交点,答案 C 两条直线最多有一个交点,在此基础上增加一条直线,则最多 增加2个交点,即三条直线最多有1+2=3个交点;在此基础上再增加一条 直线,则最多增加3个交点,即四条直线最多有1+2+3=6个交点;,依此 类推,六条直线最多有1+2+3+4+5=15个交点.故选C.,2.如图,已知C是线段AB的中点,D是线段BC的中点,E是线段AD的中点, F是线段AE的中点,那么线段AF与线段AC的长
24、度比为 ( )A.18 B.14 C.38 D.316,答案 C AF= AE= AD= AB= AC.,3.如图,AB=16 cm,C是AB上任意一点,D是AC的中点,E是BC的中点,则线 段DE的长为 ( )A.4 cm B.8 cm C.16 cm D.32 cm,答案 B 因为D为AC的中点(已知), 所以DC= AC(中点的定义), 因为E是BC的中点(已知),所以CE= BC(中点的定义), 因为DE=DC+CE,所以DE= AC+ BC= (AC+BC)= AB,因为AB=16 cm, 所以DE=8 cm.故选B.,4.A、B、C三点在同一条直线上,A、B两点之间的距离为7 cm
25、,B、C两 点之间的距离为3 cm,则A、C两点之间的距离为 .,答案 10 cm或4 cm,解析 (1)当点C在线段AB的延长线上时(如图), AC=AB+BC=7+3=10(cm). (2)当点C在线段AB上时(如图), AC=AB-BC=7-3=4(cm).,5.如图,B,C两点把线段AD分成243的三部分,点M是线段AD的中点, CD=6 cm,则线段MC的长为 .,答案 3 cm,解析 由ABBCCD=243,CD=6 cm,可得AD=6 =18(cm),因为点M是线段AD的中点,所以MD=9 cm,所以MC=MD-CD=9-6=3(cm).,6.往返于A、B两地的客车,途中要停靠C
26、、D两个车站,如图所示.(1)需要设定几种不同的票价? (2)需要准备多少种车票?,解析 (1)总线段条数为3+2+1=6,所以需要设定6种不同的票价. (2)因为同一段路,往返时起点和终点正好相反,所以需要准备12种车票.,7.如图,点C在线段AB上,AC=8 cm,CB=6 cm,点M、N分别是线段AC、 BC的中点. (1)求线段MN的长; (2)若点C为线段AB上任一点,满足AC+CB=a,其他条件不变,你能猜想 MN的长度吗?并说明理由.,解析 (1)点M、N分别是线段AC、BC的中点, CM= AC=4 cm,CN= BC=3 cm, MN=CM+CN=4+3=7(cm). (2)
27、能.由(1)知CM= AC,CN= BC, MN=CM+CN= AC+ BC= (AC+BC)= a.,8.如图所示,读句画图:连接BD、AD;画直线AB、CD相交于点E; 延长线段BC与线段DA的反向延长线相交于点F;连接AC,且AC与BD 相交于点O.,解析 如图.,9.如图,点O是线段AB上的点,点C,D分别是线段OA,OB的中点,小明很轻 松地求得CD= AB.他在反思过程中突发奇想:若点O在线段AB的延长 线上或在直线AB外,则原有的结论“CD= AB”仍然成立吗?请帮小明 解决此问题(当点O在线段AB的延长线上时,请画图分析该结论是否成 立,并说明理由;当点O在直线AB外时,作出图
28、形,通过度量说明该结论是 否成立).,解析 当点O在线段AB的延长线上时,如图(1),“CD= AB”仍然成立. 理由:因为点C,D分别是线段OA,OB的中点,所以OC= OA,OD= OB. 因为CD=OC-OD,所以CD= OA- OB= (OA-OB)= AB. 当点O在直线AB外时,如图(2).通过度量,可知“CD= AB”仍然成立.,一、选择题 1. (2018湖北黄冈中学月考,3,)下列说法正确的是 ( ) A.线段AB和线段BA表示的不是同一条线段 B.射线AB和射线BA表示的是同一条射线 C.若点P是线段AB的中点,则PA= AB D.线段AB叫做A、B两点间的距离,答案 C
29、A.线段AB和线段BA表示的是同一条线段,故A错误; B.射线AB和射线BA表示的不是同一条射线,故错误; C.由线段中点的定义可知C正确; D.线段AB的长度叫做A、B两点间的距离,故D错误. 故选C.,2.(2017北师大实验中学月考,5,)下列说法错误的是 ( ) A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.作射线OB=3厘米 D.延长线段AB到点C,使得BC=AB,答案 C 射线是向一个方向无限延伸的,不能度量,所以“作射线OB= 3厘米”是错误的,故选C.,二、填空题 3.(2016山东莘县实验中学月考,17,)已知线段AB=8 cm,在直线AB 上画线段BC使BC=3 cm,则
30、线段AC= .,答案 5 cm或11 cm,解析 当点C在线段AB上时,AC=AB-BC=8-3=5(cm);当点C在射线AB上 时,AC=AB+BC=8+3=11(cm).,三、解答题 4.(2018江西九江五校联考,20,)如图4-2-12,已知线段AB的长为a, 延长线段AB至点C,使BC= AB.图4-2-12 (1)求线段AC的长(用含a的代数式表示); (2)取线段AC的中点D,若DB=2,求a的值.,解析 (1)AB=a,BC= AB, BC= a, AC=AB+BC, AC=a+ a= a. (2)AD=DC= AC,AC= a, DC= a, DB=2,BC= a,DB=DC
31、-BC, 2= a- a, a=8.,1.(2018四川成都实验中学月考,2, )如图,给出的分别有射线、直 线、线段,其中能相交的图形有 ( )A. B. C. D.,答案 D 根据直线是向两方无限延伸的,射线是向一方无限延伸的,线 段不能向任何一方无限延伸进行画图可得能相交的图形有.故选D.,2.(2018广东东莞期末,5,)如果线段AB=13厘米,MA+MB=17厘米, 那么下面说法正确的是 ( ) A.M点在线段AB上 B.M点在直线AB上 C.M点在直线AB外 D.M点可能在直线AB上,也可能在直线AB外,答案 D (1)当M点在线段AB上时,MA+MB=AB=13厘米; (2)当M
32、点在直线外时,MA+MB13厘米,能出现MA+MB=17厘米; (3)当M点在线段AB延长线或反向延长线上时,MA+MB13厘米,能出现 MA+MB=17厘米. 综上,选D.,3.(2018陕西宝鸡扶风中学月考,3, )某市汽车站A到火车站F有四 条不同的路线,如图所示,其中路线最短的是 ( ) A.从A经过 到F B.从A经过线段BE到F C.从A经过折线BCE到F D.从A经过折线BCDE到F,答案 B 根据“两点之间,线段最短”判断.,4.(2016广东汕头潮南联考,12,)如图,已知线段AD=10 cm,线段AC =BD=6 cm.E、F分别是线段AB、CD的中点,则EF的长为 .,答
33、案 6 cm,解析 因为AC=BD=6 cm, 所以AD+BC=AC+BD=12 cm. 又因为AD=10 cm,所以BC=2 cm,所以AB+CD=8 cm, 因为E、F分别是线段AB、CD的中点, 所以BE= AB,CF= CD,所以BE+CF= (AB+CD)=4 cm.所以EF=BE+CF +BC=6 cm.,5.(2017河北张家口一中调研,19,)如图,已知两线段的长分别为a 和b(ab),求作一条线段,使它的长为a-b.,解析 如图,(1)作射线AM; (2)在射线AM上截取线段AB=a; (3)在线段AB上截取线段AC=b.则线段BC就是所求作的线段.,6.(2016江苏徐州期
34、末,22,)如图,C为线段AB的中点,点D在线段 CB上.(8分) (1)图中共有 条线段; (2)图中AD=AC+CD,BC=AB-AC.类似地,请你再写出两个有关线段的和 与差的关系式: ; ; (3)若AB=8,DB=1.5,求线段CD的长.,解析 (1)6. (2)AB=AC+CD+DB;AC=AB-BC(答案不唯一). (3)因为C是线段AB的中点,所以CB= AB= 8=4,所以CD=CB-DB=4-1.5 =2.5.,7.(2018陕西宝鸡渭滨期末,19,)如图所示,已知线段AB=2 cm,点P 是线段AB外一点.(1)按要求画图: 作射线PA,作直线PB; 延长线段AB至点C,
35、使得BC= AB,再反向延长AC至点D,使得AD=AC. (2)求出线段BD的长度.,解析 (1)如图所示,(2)AB=2 cm,BC= AB, BC=1 cm, AC=2+1=3 cm, AD=AC=3 cm, BD=AD+AB=5 cm.,8.(2016重庆五十中期末,18,)如图,在同一直线上有四 点A、B、C、D,已知AD= DB,AC= CB且CD=4 cm,求AB的长.,解析 设DB=x cm,则AD= x cm,AB= x cm. 因为AC= CB, 所以AC= AB= x=x cm,CB= AB= x= x cm. 所以CD=DB-CB= x cm. 又因为CD=4 cm, 所
36、以 x=4,所以x=9. 所以AB= 9=14(cm).,9.(2017辽宁大连实验学校期末,23,)如图,已知点C在线段AB上, 点M、N分别是AC、BC的中点.(10分)(1)若AC=8,CB=6,求线段MN的长; (2)若点C为线段AB上任意一点,且满足AC+BC=a,请直接写出线段MN的 长; (3)若点C为线段AB延长线上任意一点,且满足AC-CB=b,求线段MN的长.,解析 (1)M、N分别是AC、BC的中点, MC= AC,CN= CB, MN=MC+CN= (AC+CB)= (8+6)=7. (2)MN= a. (3)M、N分别是AC、BC的中点, MC= AC,NC= BC,
37、 MN=MC-NC= (AC-BC)= b.,答案 A 易知依据是“两点之间,线段最短”.,2.(2016广西柳州中考,7,)如图4-2-14,在直线l上有A、B、C三点, 则图中线段共有 ( )图4-2-14 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条,答案 C 图中线段有AB、AC、BC,共3条.,3.(2015新疆中考,3,)如图4-2-15所示,某同学的家在A处,书店在B 处,星期日他到书店去买书,想尽快赶到书店,请你帮助他选择一条最近 的路线 ( )图4-2-15 A.ACDB B.ACFB C.ACEFB D.ACMB,答案 B 根据两点之间线段最短可知从点C到点B路程最短的路线为 线
38、段BC,从A到C只有一条路线,故最短的路线为ACFB,故选B.,4.(2014湖南长沙中考,6,)如图4-2-16,C、D是线段AB上的两点,且 D是线段AC的中点,若AB=10 cm,BC=4 cm,则AD的长为 ( )图4-2-16 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm,答案 B 因为AB=10 cm,BC=4 cm, 所以AC=AB-BC=6 cm. 因为D是AC的中点, 所以AD= AC= 6=3 cm.故选B.,二、填空题 5.(2017广西桂林中考,14,)如图4-2-17,点D是线段AB的中点,点C 是线段AD的中点,若CD=1,则AB= .图4-2-17,答案
39、 4,解析 由于点C是线段AD的中点,CD=1,所以AD=2CD=2.又点D是线段 AB的中点,所以AB=2AD=4.,三、解答题 6.(2017河北中考,20,)在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B, C,其中AB=2,BC=1,如图4-2-18所示.设点A,B,C所对应数的和是p.(8分) (1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算p的值;若以C为原点,p又 是多少? (2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,求p.图4-2-18,解析 (1)以B为原点,点A,C分别对应数-2,1. p=-2+0+1=-1; 以C为原点, p=(-1-2)+(-1)+0=-4. (2)
40、p=(-28-1-2)+(-28-1)+(-28)=-88.,1.(2017贵州黔南中考,3,)如图,建筑工人砌墙时,经常在两个墙脚 的位置分别插一根木桩,然后拉一条直的参照线,其运用到的数学原理 是 ( ) A.两点之间,线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.经过一点有无数条直线,答案 B 根据题意,工人师傅的目的是确定直的参照线,即直线,故选B.,2.(2014江苏徐州中考,8,)点A、B、C在同一条数轴上,其中点A、 B表示的数分别为-3、1.若BC=2,则AC等于( ) A.3 B.2 C.3或5 D.2或6,答案 D 当点C在线段AB的延长线上时,如图:AC=4+2=6
41、; 当点C在线段AB上时,如图:AC=4-2=2. 故选D.,3.(2013山东德州中考,14,)如图,为抄近路践踏草坪是一种不文明 现象.请你用数学知识解释出现这一现象的原因: .,答案 两点之间,线段最短,1.已知一条路沿途有5个车站A,B,C,D,E,它们之间的距离如图4-2-19所 示(单位:km).图4-2-19 (1)求D,E两站间的距离; (2)如果m=8,D为AE的中点,求n的值.,解析 (1)D,E两站间的距离为(3m-n)-(2m-3n)=(m+2n)km. (2)因为D为AE的中点,所以AD=DE,即m+n+2m-3n=m+2n,m=2n,因为m=8, 所以n=4.,2.
42、在数轴上,表示数m与n的点之间的距离可以表示为|m-n|.例如:在数轴 上,表示数-3与2的点之间的距离是5=|-3-2|,表示数-4与-1的点之间的距 离是3=|-4-(-1)|.利用上述结论解决如下问题: (1)若|x-5|=3,求x的值; (2)点A、B为数轴上的两个动点,点A表示的数是a,点B表示的数是b,且|a -b|=6(ba),点C表示的数为-2,若A、B、C三点中的某一个点是另两个点 所连线段的中点,求a、b的值.,解析 (1)因为|x-5|=3,所以在数轴上,表示数x的点与数5的点之间的距 离为3,所以x=8或x=2. (2)因为|a-b|=6(ba),所以在数轴上,点B与点
43、A之间的距离为6,且点B在点 A的右侧. 当点C为线段AB的中点时,如图所示, AC=BC= AB=3.因为点C表示的数为-2, 所以a=-2-3=-5,b=-2+3=1; 当点A为线段BC的中点时,如图所示,AC=AB=6. 因为点C表示的数为-2, 所以a=-2+6=4,b=a+6=10; 当点B为线段AC的中点时,如图所示,BC=AB=6. 因为点C表示的数为-2, 所以b=-2-6=-8,a=b-6=-14. 综上,a=-5,b=1或a=4,b=10或a=-14,b=-8.,1.如图:(1)试验观察: 如果经过两点画直线,那么: 第组最多可以画 条直线; 第组最多可以画 条直线; 第组
44、最多可以画 条直线.,(2)探索归纳: 如果平面上有n(n3)个点,且任意3个点均不在1条直线上,那么经过两 点最多可以画 条直线.(用含n的式子表示) (3)解决问题: 某班45名同学在毕业后的一次聚会中,若每两人握1次手问好,那么共握 次手.,解析 (1)3;6;10. (2) . 提示:经过满足题意的n个点中任意两点最多可画直线的条数为1+2+3+ +n-1= . (3)990.,2.为了探究n条直线能把平面最多分成几部分,我们从最简单的情形入 手: 一条直线把平面分成2部分; 两条直线可把平面最多分成4部分; 三条直线可把平面最多分成7部分; 四条直线可把平面最多分成11部分; 把上述
45、探究的结果进行整理,列表分析:,(1)当直线条数为5时,把平面最多分成 部分,写成和的形式: ; (2)当直线条数为10时,把平面最多分成 部分; (3)当直线条数为n时,把平面最多分成多少部分?,解析 (1)16;1+1+2+3+4+5. (2)56. 根据表中规律知,当直线条数为10时,把平面最多分成56部分,即1+1+2+ 3+10=56. (3)当直线条数为n时,把平面最多分成1+1+2+3+n= 部分.,解析 (1)点B表示的数是-6;点P表示的数是8-5t. (2)设点P运动x秒时,在点C处追上点Q(如图).则AC=5x,BC=3x, AC-BC=AB, 5x-3x=14, 解得x=7, 点P运动7秒时追上点Q. (3)不发生变化.分两种情况, 当点P在A、B两点之间运动时:,MN=MP+NP= AP+ BP= (AP+BP)= AB=7;当点P运动到点B的左侧时: MN=MP-NP= AP- BP= (AP-BP)= AB=7,综上所述,线段MN的长度不发生变化,其值为7. (4)式子|x+6|+|x-8|有最小值,最小值为14.,
