1、第四章 几何图形初步,初中数学（人教版）七年级 上册,知识点一 余角和补角,例1 如图4-3-3-1,O是直线AB上的一点,AOC=BOC=DOE=90.图4-3-3-1 (1)图中互为余角的角有几对?各是哪些? (2)1的余角是哪些? (3)图中互为补角的角有几对?各是哪些? (4)1的补角是哪个?,解析 (1)互为余角的角有4对,分别是1与2,3与4,2与3,1 与4. (2)由1+2=90,1+4=90得,1的余角是2和4. (3)互为补角的角有7对,分别是1与BOD,AOC与BOC,4与 AOE,3与BOD,2与AOE,DOE与AOC,DOE与BOC. (4)由1+BOD=180得,1
2、的补角是BOD.,知识点二 余角与补角的性质,解析 (1)因为DOC=DOB-BOC=90-65=25,所以AOD= AOC+DOC=90+25=115. (2)由(1)知DOC=25,因为AOB=AOC-BOC=90-65=25,所以 AOB=DOC. (3)仍成立.因为AOB=AOC-BOC=90-BOC,DOC=BOD- BOC=90-BOC,所以AOB=DOC.,知识点三 方向角,例3 如图4-3-3-3,从A看B的方向是北偏东60,那么从B看A的方向是 ( )图4-3-3-3 A.南偏东60 B.南偏西60 C.南偏东30 D.南偏西30,解析 首先确定观测点,然后定出由观测点出发的
3、方向线上的另一点. 观察题图可知,从A看B,点A即为观测点,点B即为方向线上的另一点.题 图中1表示从A看B的方向角,2表示从B看A的方向角.由此可确定从 B看A的方向是南偏西60,故选B.,答案 B,题型一 互余、互补性质的综合运用 例1 一个角的补角比它的余角的 还多60,求这个角.,分析 先用字母表示这个角,然后根据角的关系列出方程,求出这个角 的度数.,解析 设这个角为x,则它的余角为(90-x),补角为(180-x). 根据题意,得180-x= (90-x)+60,解得x=30, 因此这个角是30.,点拨 在解几何题时,我们经常运用设未知数、列方程的方法来解决问 题,这样能使问题变得
4、简洁、明了,因此,在解题中要注意方程思想的运用.,题型二 方向角的画法与应用 例2 一艘客轮沿射线OC(OC表示的方向为东北方向)行驶,在O处时发 现灯塔A在北偏西30方向上,灯塔B在南偏东60方向上. (1)在图4-3-3-4中画出射线OA,OB,OC; (2)求AOC与BOC的度数,你发现了什么?图4-3-3-4,知识点一 余角和补角 1.(2018广东茂名三中月考)如果一个角的度数为1314,那么它的余角的 度数为 ( ) A.7646 B.7686 C.8656 D.16646,答案 A 根据余角的定义,一个角的度数为1314,则其余角度数是90 -1314=7646.故选A.,2.已
5、知一个角的2倍与这个角的余角相等,则这个角的度数是 ( ) A.45 B.60 C.30 D.90,答案 C 设这个角的度数为x,根据题意,得2x=90-x,解得x=30,即这个 角的度数为30.,3.对于余角有下列三种说法:36的角的余角的度数是64;互为余角 的两个角不可能相等;同角或等角的余角一定相等.其中正确的说法 有 ( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.0种,答案 A 因为36+64=100,所以64的角不是36的角的余角,故错 误;当两个角都是45时,它们互余且相等,故错误;“同角或等角的余 角相等”是余角的性质,故正确.故选A.,4.已知:1与2互余,1=7x-2,2=3x
6、+2,则x 的值是 .,答案 9,解析 因为1与2互余,所以1+2=90. 因为1=7x-2,2=3x+2, 所以7x-2+3x+2=90,所以10x=90,即x=9.,5.如图4-3-3-1,AOD =BOD=EOC= 90,BOCAOE= 31. (1)求COD的度数; (2)图中有哪几对角互为余角? (3)图中有哪几对角互为补角?图4-3-3-1,解析 (1)根据题意得BOC+AOE=90,因为BOCAOE= 31, 所以BOC= 90=67.5,所以COD=90-67.5=22.5. (2)互为余角的角有4对.分别为COB与COD,COB与AOE, DOE与COD,DOE与AOE. (
7、3)互为补角的角有7对.分别为COB与COA,AOE与EOB, DOC与BOE,DOE与AOC,AOD与BOD,COE与AOD, COE与BOD.,6.一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的 ,求出这个角的度数.,解析 设这个角的度数为x,则它的补角、余角分别为(180-x)、(90-x),根据题意得(180-x)-2(90-x)=180 ,解得x=60.答:这个角的度数为60.,知识点二 余角与补角的性质 7.已知+=90,+=90,则下列等式正确的是( ) A.= B.= C.= D.=,答案 D 因为和都是的余角,所以=.,8.如图4-3-3-2,若1+2=180,3+2=180,则1
8、= ,依据是 .图4-3-3-2,答案 3;同角的补角相等,9.如图4-3-3-3所示,点O在直线AB上,并且AOC=BOC=90,EOF=9 0,试判断AOE和COF,COE和BOF的大小关系.图4-3-3-3,解析 EOF=COF+COE=90,AOC=AOE+COE=90,即 AOE和COF都与COE互余,根据同角的余角相等得AOE=COF. 同理可得COE=BOF.,知识点三 方向角 10.(2018甘肃天水期末)在海上,一座灯塔位于一艘船的北偏东40方向, 那么这艘船位于灯塔的 ( ) A.南偏西50方向 B.南偏西40方向 C.北偏东50方向 D.北偏东40方向,答案 B 根据方向
9、角的概念,灯塔位于一艘船的北偏东40方向,那么 这艘船位于灯塔的南偏西40方向.故选B.,答案 C 根据射线AC和AB的方向知,BAC=15+90+20=125.,1.已知=3519,则的补角等于 ( ) A.14441 B.14481 C.5441 D.5481,答案 A 因为=3519,所以的补角等于180-=180-3519= 14441.,2.若的补角为60,的余角为60,则与的大小关系为 ( ) A. B.= C. D.无法确定,答案 A 因为的补角为60,所以=180-60=120.因为的余 角为60,所以=90-60=30,所以.,3.(2018四川巴中期末)下列说法中正确的个数
10、是 ( ) 锐角的补角一定是钝角;一个角的补角一定大于这个角;如果两 个角是同一个角的补角,那么它们相等;锐角和钝角互补;如果互补 的两个角相等,那么这两个角都是90. A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C 锐角的补角一定是钝角,正确;钝角的补角是锐角,小于钝 角,错误;如果两个角是同一个角的补角,那么它们相等,正确;锐角 和钝角不一定互补,错误;如果互补的两个角相等,那么这两个角都是9 0,正确.故选C.,4.在地理课堂上,老师组织学生进行寻找北极星的探究活动时,李佳同学 使用了如图所示的半圆仪.则下列四个角中,最可能和AOB互补的角 为 ( ),答案 D 根据图形可得AOB大约为135
11、, 则与AOB互补的角大约为45, 综合各选项,D选项最有可能符合题意,故选D.,5.(2018天津一中月考)如图,已知点D在点O的北偏西30方向上,点E在 点O的北偏东50方向上,那么DOE的度数为 ( )A.30 B.50 C.80 D.100,答案 C D在点O的北偏西30方向上,点E在点O的北偏东50方向 上,DOE=30+50=80,故选C.,6.将两个完全相同的三角尺按如图所示的方式放置,请你写出图中A 的余角: .,答案 ACD,ABC,E,解析 需要注意两块三角尺是完全相同的.,7.如图所示,公园在学校的 方向,医院在学校的 方向, 法院在学校的 方向.,答案 南偏西75(或西
12、偏南15);北偏东30(或东偏北60);南偏东35(或 东偏南55),解析 判断一个地点在另一个地点的哪个方向上时,要分清是从哪个点 看哪个点.,8.如图,直线AB与COD的两边OC、OD分别相交于点E、F,1+2=1 80,找出图中与2相等的角,并说明理由.,解析 2=7. 理由:因为2+8=180,7+8=180(平角的定义), 所以2=7(同角的补角相等). 2=3. 理由:因为1+3=180(平角的定义),1+2=180(已知),所以2= 3(同角的补角相等). 2=4. 理由:因为1+4=180(平角的定义),1+2=180(已知),所以2= 4(同角的补角相等).,9.如图,已知A
13、OB=40,AOB的余角为AOC,OM平分AOC. (1)当AOB的补角为BOD,ON平分BOD时,用直尺、量角器画出射 线OD,ON的准确位置; (2)求(1)中MON的度数(要求写出计算过程).,解析 (1)如图1,图2所示.(2)因为AOB=40,AOB的余角为AOC,AOB的补角为BOD, 所以AOC=90-AOB=50,BOD=180-AOB=140. 又因为OM平分AOC,ON平分BOD,所以MOA= AOC= 50=25, BON= BOD= 140=70. 如图1,MON=MOA+AOB+BON=25+40+70=135; 如图2,MON=NOB-MOA-AOB=70-25-4
14、0=5, 所以MON=135或5.,1.如果和 互补,且 ,则下列表示的余角的式子:90- ;-90;180-; (-)中,正确的是( ) A. B. C. D.,答案 B 先由题意,得+=180,则=180-.再把四个式子 分别与相加,其中与的和都等于90,故选B.,2.两个角的大小之比是73,它们的差是36,则这两个角的关系是 ( ) A.相等 B.互余 C.互补 D.无法判定,答案 B 设较小的角的度数为3x,则较大的角的度数为7x,因为它们的 差是36,所以7x-3x=36,解得x=9,所以7x+3x=10x=90,所以这两个角的 关系是互余.,3.如图4-3-3-5所示,A、O、B在
15、一条直线上,1是锐角,则1的余角是 ( )图4-3-3-5 A. 2-1 B. 2- 1 C. (2-1) D. (2+1),答案 C 90-1= -1= (2-1).,4.如图4-3-3-6. (1)射线OA的方向为 或 ;射线OB的 方向为 方向; (2)请在图中画出南偏西40方向的射线OF,东南方向的射线OH.图4-3-3-6,解析 (1)北偏东30;东偏北60;西北. (2)射线OF、OH如图所示.,1.若一个锐角的余角比这个角大30,则这个锐角的补角是 ( ) A.30 B.150 C.60 D.155,答案 B 设这个锐角是x,则它的余角是(90-x).根据题意可得(90-x)-x
16、 =30,解这个方程得x=30,因而这个锐角的补角是150.,2.如图所示,点A、O、B在一条直线上,AOE=DOF,若1=2,则图 中互余的角共有 ( ) A.5对 B.4对 C.3对 D.2对,答案 B 图中互余的角共有4对:AOE与1,AOE与2,1与 FOD,2与FOD.故选B.,3.将一副三角尺按不同位置摆放,摆放方式中与互余的是 ( ),答案 C 认真观察图形可知只有选项C中的与满足+=90.,4.(2018浙江丽水期末)如图,射线OA的方向是北偏东20,射线OB的方向 是北偏西40,OD是OB的反向延长线.若OC是AOD的平分线,则 BOC= ,射线OC的方向是 .,答案 120
17、;北偏东80,解析 OB的方向是北偏西40,OA的方向是北偏东20,AOB=40 +20=60, AOD=180-60=120, 又OC是AOD的平分线, AOC=60, BOC=60+60=120, 20+60=80, 射线OC的方向是北偏东80.,5.将两个能完全重合的三角板按如图所示的方式放置(两个直角顶点重 合),如果=40,那么= .,答案 40,解析 由题图知和都是BOC的余角,根据同角的余角相等,直 接得出=,即=40.,6.1和2互余,2和3互补,如果1=63,那么3= .,答案 153,解析 因为1和2互余,所以1+2=90,又因为1=63,所以2= 27.因为2和3互补,所
18、以2+3=180,即27+3=180,所以3=1 53.,7.如图,已知CDF=OEF=90,CE与OA相交于点F,若C=20,求O 的大小.,解析 因为CDF=OEF=90, 所以C+CFD=90,O+OFE=90. 因为OFE+CFO=180,CFD+CFO=180, 所以OFE=CFD(同角的补角相等). 所以O=C=20(等角的余角相等).,8.如图所示,已知AOC=2BOC,AOC的余角比BOC小30. (1)求AOB的度数; (2)过点O作射线OD,使得AOC=4AOD,请你求出COD的度数.,解析 (1)设BOC=x,则AOC=2x,依题意列方程:90-2x=x-30,解得x=
19、40. 所以AOB=AOC-BOC=2x-x=40. (2)由(1)可得AOC=80, 当射线OD在AOC的内部时,因为AOC=4AOD, 所以AOD= AOC=20. 所以COD=AOC-AOD=60. 当射线OD在AOC的外部时,COD=AOD+AOC= AOC+ AOC=20+80=100. 综上,COD的度数为60或100.,一、选择题 1.(2018四川宜宾实验中学期末,3,)如果锐角的补角是138,那么 锐角的余角是 ( ) A.38 B.42 C.48 D.52,答案 C 锐角的补角是138,=180-138=42, 锐角的余角是90-42=48.故选C.,2.(2017山东滨州
20、阳信二中月考,5,)如图4-3-3-7,点A位于点O的 方向上 ( )图4-3-3-7 A.南偏东35 B.北偏西65 C.南偏东65 D.南偏西65,答案 B 点A位于点O的北偏西65(或西偏北25)方向上.,3.(2018海南华侨中学三亚学校期末,5,)下列各图中,1与2互 为余角的是 ( ),答案 B 选项B中,三角形的内角和为180,且三角形中有一个角是 直角, 1+2=90,即1与2互为余角,故选B.,二、填空题 4.(2017陕西宁陕城关初中期末,16,)若1+2=90,3+2=90 ,1+4=180,1=60,则3= ,4= .,答案 60;120,解析 1与3都是2的余角,根据
21、同角的余角相等,可得3=1=60 ,因为1+4=180,所以4=180-1=120.,三、解答题 5.(2016广东湛江一中期末,20,)如图4-3-3-8,直线 AB与CD相交于 点O,OF,OD分别是AOE,BOE的平分线. (1)写出DOE的补角; (2)若BOE=62,求AOD和EOF的度数; (3)试求DOF的度数.图4-3-3-8,解析 (1)DOE的补角为COE,AOD,BOC. (2)因为OD是BOE的平分线,且BOE=62, 所以BOD= BOE=31, 所以AOD=180-BOD=149. 因为AOE=180-BOE=118,OF是AOE的平分线, 所以EOF= AOE=5
22、9. (3)因为OF,OD分别是AOE,BOE的平分线, 所以DOF=DOE+EOF = BOE+ AOE = (BOE+AOE)= 180=90.,1.(2018湖南湘西模拟,2,)下列4个角中,最有可能与70角互补的 角是 ( ),答案 D 与70角互补的角是110,分析四个图形,只有选项D是钝角, 符合题意.,答案 B A.OA的方向是北偏东45度,即东北方向,故正确; B.OB的方向是北偏西60,故错误; C.OC的方向是南偏西60,故正确; D.OD的方向是南偏东30,故正确. 故选B.,3.(2018江苏睢宁姚集中学月考,5,)一个角的补角是它的余角的3 倍,那么这个角的度数是 (
23、 ) A.60 B.45 C.30 D.15,答案 B 设这个角为x,根据题意,得 180-x=3(90-x),所以180-x=270-3x, 所以x=45,选B.,4.(2017新疆伊宁七中月考,5,)下列说法错误的是 ( ) A.同角的补角相等 B.一个锐角的余角必是锐角 C.两个相等的角不可能互补 D.一个锐角的补角与这个角的余角的差是90,答案 C 当两个角都是直角时,这两个角互补,所以C选项的说法是错 误的.,5.(2016江苏淮安仇桥中学期末,5,)一个角的补角的一半比这个 角的余角的2倍小3,那么这个角等于 ( ) A.58 B.59 C.60 D.61,答案 A 设这个角等于,
24、那么这个角的余角为90-,补角为180-.依 题意,得 (180-)=2(90-)-3,解得=58.故选A.,6.(2017浙江舟山联考,17,)如图,AOB与BOD互为余角,OB是 AOC的平分线,AOB=26,则COD的度数是 .,答案 38,解析 因为OB是AOC的平分线,AOB=26,所以BOC=AOB=26 ,因为AOB与BOD互为余角,所以BOD=90-AOB=90-26=64, 所以COD=BOD-BOC=64-26=38.,7.(2017浙江丽水青田八校联考,20,)如图,把一副三角板的直角顶 点O重叠在一起. (1)如图,当OB平分COD时,AOD与BOC的和是多少度? (2
25、)如图,当OB不平分COD时,AOD与BOC的和是多少度? (3)当BOC的余角的4倍等于AOD时,BOC为多少度?,解析 (1)因为OB平分COD, 所以BOC=BOD=45, 于是AOC=90-45=45, 所以AOD+BOC=AOC+COD+BOC=45+90+45=180. (2)因为AOB=AOC+BOC=90,COD=BOD+BOC=90, 又AOD+BOC=AOC+BOC+BOD+BOC, 所以AOD+BOC=90+90=180. (3)由(1)(2)知AOD+BOC=180, 则AOD=180-BOC, 因为AOD=4(90-BOC), 所以180-BOC=4(90-BOC),
26、所以BOC=60.,一、选择题 1.(2017山东滨州中考,2,)有一个角为75,则它的余角的度数为 ( ) A.285 B.105 C.75 D.15,答案 D 根据余角的定义:如果两个角的和是90,那么称这两个角互 为余角,可知75角的余角为15.故选D.,答案 C 由题图可知NOQ=138,NOP=48,故选项A、B错误;因 为PON=48,MOQ=42,所以PON比MOQ大,故选项C正确;因为 MOQ=42,MOP=132,所以MOQ与MOP不互补,故选项D错误. 故选C.,3.(2014四川乐山中考,2,)如图4-3-3-10,OA是北偏东30方向的一 条射线,若射线OB与OA垂直,
27、则OB的方向是 ( )图4-3-3-10 A.北偏西30 B.北偏西60 C.北偏东30 D.北偏东60,答案 B 如图,因为OB与OA垂直,所以AOB=90.又因为AOC=30, 所以COB=60.所以OB的方向是北偏西60.故选B.,二、填空题 4.(2016广东茂名中考,12,)已知A=100,那么A的补角为 度.,答案 80,解析 由补角的定义可知,A的补角为180-100=80.,1.(2017广东中考,3,)已知A=70,则A的补角为 ( ) A.110 B.70 C.30 D.20,答案 A 和为180的两个角互为补角,所以A的补角为180-70=110,故选A.,2.(2015
28、湖南株洲中考,2,)已知=35,那么的余角等于 ( ) A.35 B.55 C.65 D.145,答案 B 因为互为余角的两个角的和为90,所以的余角等于90- =90-35=55,故选B.,3.(2015浙江金华中考,3,)已知=35,则的补角的度数是 ( ) A.55 B.65 C.145 D.165,答案 C 因为=35,所以的补角的度数等于180-=180-35 =145,故选C.,4.(2015广西崇左中考,3,)下列各选项中,1与2互为余角的是 ( ),答案 C 选项C中,根据垂直定义可得1+2=90,即1与2互为 余角.故选C.,5.(2015河北中考,9,)已知:岛P位于岛Q的
29、正西方,由岛P,Q分别测 得船R位于南偏东30和南偏西45方向上.符合条件的示意图是 ( ),答案 D 分别以P,Q为观测点,根据上北下南、左西右东进行判断.,6.(2015福建厦门中考,6,)如图,在ABC中,C=90,点D,E分别 在边AC,AB上,若B=ADE,则下列结论正确的是 ( )A.A和B互为补角 B.B和ADE互为补角 C.A和ADE互为余角 D.AED和DEB互为余角,答案 C 在ABC中,C=90,则A和B互为余角,故选项A错误;因 为B=ADE90,所以选项B错误;因为A和B互余,B=ADE, 所以A和ADE互为余角,故选项C正确;因为AED和DEB互为补 角,所以选项D
30、错误.故选C.,7.(2014湖南邵阳中考,11,)已知=13,则的余角大小是 .,答案 77,解析 因为=13,所以的余角等于90-13=77.,2.如图4-3-3-12所示,将两块三角板的直角顶点重合. (1)写出以C为顶点的相等的角; (2)若ACB=150,请直接写出DCE的度数; (3)写出ACB与DCE之间所具有的数量关系; (4)当三角板ACD绕点C旋转时,你所写出的(3)中的关系是否变化?请说 明理由.图4-3-3-12,解析 (1)ACD=BCE,ACE=BCD. (2)DCE=30. (3)ACB+DCE=180. (4)不变.理由:因为ACB=ACE+ECD+DCB,所以
31、ACB+DCE =ACE+ECD+DCB+DCE=ACD+BCE=90+90=180.,1.如图所示,某测绘装置有一枚指针,原来的指向为南偏西50,把这枚指 针按顺时针方向旋转 周.(1)指针所指的方向为北偏西 ; (2)图中互余的角有几对?与BOC互补的角是哪些角?,解析 (1)40. (2) 周=90,COB=AOD=40,DOB=AOE=50,易知题图中互余 的角有4对,分别为COB与DOB,COB与AOE,DOB与AOD, AOD与AOE.与BOC互补的角是BOE和AOF.,2.如图,点A、O、E在同一条直线上,OB、OC、OD都是射线,1=2, 1与4互为余角. (1)2与3有何数量关系?请说明理由. (2)3与4有何数量关系?请说明理由. (3)说明3与AOD互补.,解析 (1)2与3互余. 理由:由A、O、E在同一直线上知1+2+3+4=180. 由1与4互余知1+4=90,则2+3=90,所以2与3互余. (2)3=4. 理由:由(1)知1+4=2+3,又1=2,则3=4. (3)由(2)知3=4,即4的补角就是3的补角. 因为4与AOD互补, 所以3与AOD互补.,
