1、1专题检测(十八) 坐标系与参数方程1在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 4cos , .0, 2(1)求半圆 C 的参数方程;(2)若半圆 C 与圆 D:( x5) 2( y )2 m(m 是常数, m0)相切,试求切点的直角 3坐标解:(1)半圆 C 的普通方程为( x2) 2 y24(0 y2),则半圆 C 的参数方程为Error!( t 为参数,0 t)(2)C, D 的圆心坐标分别为(2,0),(5, ),3于是直线 CD 的斜率 k .3 05 2 33由于切点必在两个圆心的连线上,故切点对应的参数 t 满足
2、tan t , t ,33 6所以切点的直角坐标为 ,即(2 ,1)(2 2cos 6, 2sin 6) 32(2018贵阳摸底考试)曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 cos .( 4) 2(1)写出 C 的普通方程,并用Error!( 为直线的倾斜角, t 为参数)的形式写出直线 l的一个参数方程;(2)l 与 C 是否相交?若相交,求出两交点的距离,若不相交,请说明理由解:(1) C 的普通方程为 y21,x24由 cos 得 x y20,( 4) 2则直线 l 的倾斜角为 , 4又直线 l 过点(
3、2,0),得直线 l 的一个参数方程为Error!( t 为参数)(2)将 l 的参数方程代入 C 的普通方程得5t24 t0,解得 t10, t2 ,2425显然 l 与 C 有两个交点,分别记为 A, B,且| AB| t1 t2| .42523在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数),以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 cos 3 .( 4) 2(1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程(2)设点 P 在 C1上,点 Q 在 C2上,求| PQ|的最小值及此时点 P 的直角坐标解:(1)曲线 C1的
4、参数方程为Error!( 为参数),普通方程为 x2 1,y23曲线 C2的极坐标方程为 cos 3 ,( 4) 2即 cos sin 60,直角坐标方程为 x y60.(2)设 P(cos , sin ),则| PQ|的最小值为 P 到 x y60 距离,3即 ,|cos 3sin 6|2 2|sin( 6) 3|当且仅当 2 k (kZ)时,| PQ|取得最小值 2 , 3 2此时 P .(12, 32)4(2018贵阳适应性考试)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C:Error!( 为参数),在以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 cos 1
5、.22 ( 4)(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;(2)过点 M(1,0)且与直线 l 平行的直线 l1交曲线 C 于 A, B 两点,求点 M 到 A, B 两点的距离之和解:(1)曲线 C 的普通方程为 y21,x23由 cos 1,得 cos sin 2,22 ( 4)所以直线 l 的直角坐标方程为 x y20.(2)直线 l1的参数方程为Error!( t 为参数),将其代入 y21 中,化简得x232t2 t20,2设 A, B 两点对应的参数分别为 t1, t2,3则 t1 t2 , t1t21,22所以| MA| MB| t1| t2| t1 t2| t1
6、t2 2 4t1t2 .(22)2 4 1 3225(2018福州四校联考)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数),直线 C2的方程为 y x.以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标3系(1)求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程;(2)若直线 C2与曲线 C1交于 A, B 两点,求 .1|OA| 1|OB|解:(1)由曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数),得曲线 C1的普通方程为 (x2)2( y2) 21,则 C1的极坐标方程为 24 cos 4 sin 70,由于直线 C2过原点,且倾斜角为 ,故其极坐标方程为 ( R)(
7、tan 3 3 )3(2)由Error! 得 2(2 2) 70,3设 A, B 对应的极径分别为 1, 2,则 1 22 2, 1 27,3 .1|OA| 1|OB| |OA| |OB|OA|OB| 1 2 1 2 23 276极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C1的极坐标方程为 4cos ,曲线 C2的参数方程为Error!(t 为参数, 0 ),射线 , , 与曲线 C1交于(不 4 4包括极点 O)三点 A, B, C.(1)求证:| OB| OC| |OA|;2(2)当 时, B, C 两点在曲线 C2上,
8、求 m 与 的值12解:(1)证明:设点 A, B, C 的极坐标分别为( 1, ), ,( 2, 4)( 3, 4)因为点 A, B, C 在曲线 C1上,所以 14cos , 24cos , 34cos ,( 4) ( 4)所以| OB| OC| 2 34cos 4cos 4 cos 1,( 4) ( 4) 2 2故| OB| OC| |OA|.24(2)由曲线 C2的方程知曲线 C2是经过定点( m,0)且倾斜角为 的直线当 时, B, C 两点的极坐标分别为 , ,12 (2, 3)化为直角坐标为 B(1, ), C(3, ),3 3所以 tan ,又 0 ,所以 . 3 33 1 3
9、 23故曲线 C2的方程为 y (x2),易知曲线 C2恒过点(2,0),即 m2.37在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数),其中0 ,在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C1: 4cos .直线 l 与曲线 C1相切(1)将曲线 C1的极坐标方程化为直角坐标方程,并求 的值(2)已知点 Q(2,0),直线 l 与曲线 C2: x2 1 交于 A, B 两点,求 ABQ 的面积y23解:(1)曲线 C1: 4cos ,即 24 cos ,化为直角坐标方程为x2 y24 x,即 C1:( x2) 2 y24,可得圆心(2,0),
10、半径 r2,直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数),其中 0 ,由题意 l 与 C1相切,可得普通方程为 y k(x1), ktan ,0 且 ,3 2因为直线 l 与曲线 C1相切,所以 2,|k 3|k2 1所以 k ,所以 .33 6(2)直线 l 的方程为 y x ,33 233代入曲线 C2: x2 1,整理可得 10x24 x50,y23设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 x1 x2 , x1x2 ,25 12所以| AB| ,1 13 ( 25)2 4( 12) 625Q 到直线的距离 d 2,43313 1所以 ABQ 的面积 S 2 .12 625
11、6258已知直线 L 的参数方程为Error!( t 为参数),以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 .21 3cos2 5(1)求直线 L 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程;(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与直线 L 夹角为 的直线 l,设直线 l 与直线 L 的交点为 3A,求| PA|的最大值解:(1)由Error!( t 为参数),得 L 的普通方程为 2x y60,令 x cos , y sin ,得直线 L 的极坐标方程为 2 cos sin 60,由曲线 C 的极坐标方程,知 23 2cos2 4,所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 1.y24(2)由(1),知直线 L 的普通方程为 2x y60,设曲线 C 上任意一点 P(cos ,2sin ),则点 P 到直线 L 的距离 d .|2cos 2sin 6|5由题意得| PA| ,dsin 3 415| 2sin( 4) 3|15所以当 sin 1 时,| PA|取得最大值,最大值为 .( 4) 415 3 215
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