1、1专题检测（十八） 坐标系与参数方程1在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为 4cos ， .0， 2(1)求半圆 C 的参数方程；(2)若半圆 C 与圆 D：( x5) 2( y )2 m(m 是常数， m0)相切，试求切点的直角 3坐标解：(1)半圆 C 的普通方程为( x2) 2 y24(0 y2)，则半圆 C 的参数方程为Error!( t 为参数，0 t)(2)C， D 的圆心坐标分别为(2,0)，(5， )，3于是直线 CD 的斜率 k .3 05 2 33由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数 t 满足
2、tan t ， t ，33 6所以切点的直角坐标为 ，即(2 ，1)(2 2cos 6， 2sin 6) 32(2018贵阳摸底考试)曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos .( 4) 2(1)写出 C 的普通方程，并用Error!( 为直线的倾斜角， t 为参数)的形式写出直线 l的一个参数方程；(2)l 与 C 是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由解：(1) C 的普通方程为 y21，x24由 cos 得 x y20，( 4) 2则直线 l 的倾斜角为 ， 4又直线 l 过点(
3、2,0)，得直线 l 的一个参数方程为Error!( t 为参数)(2)将 l 的参数方程代入 C 的普通方程得5t24 t0，解得 t10， t2 ，2425显然 l 与 C 有两个交点，分别记为 A， B，且| AB| t1 t2| .42523在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 cos 3 .( 4) 2(1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程(2)设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求| PQ|的最小值及此时点 P 的直角坐标解：(1)曲线 C1的
4、参数方程为Error!( 为参数)，普通方程为 x2 1，y23曲线 C2的极坐标方程为 cos 3 ，( 4) 2即 cos sin 60，直角坐标方程为 x y60.(2)设 P(cos ， sin )，则| PQ|的最小值为 P 到 x y60 距离，3即 ，|cos 3sin 6|2 2|sin( 6) 3|当且仅当 2 k (kZ)时，| PQ|取得最小值 2 ， 3 2此时 P .(12， 32)4(2018贵阳适应性考试)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C：Error!( 为参数)，在以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 cos 1
5、.22 ( 4)(1)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；(2)过点 M(1,0)且与直线 l 平行的直线 l1交曲线 C 于 A， B 两点，求点 M 到 A， B 两点的距离之和解：(1)曲线 C 的普通方程为 y21，x23由 cos 1，得 cos sin 2，22 ( 4)所以直线 l 的直角坐标方程为 x y20.(2)直线 l1的参数方程为Error!( t 为参数)，将其代入 y21 中，化简得x232t2 t20，2设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2，3则 t1 t2 ， t1t21，22所以| MA| MB| t1| t2| t1 t2| t1
6、t2 2 4t1t2 .(22)2 4 1 3225(2018福州四校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，直线 C2的方程为 y x.以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标3系(1)求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程；(2)若直线 C2与曲线 C1交于 A， B 两点，求 .1|OA| 1|OB|解：(1)由曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，得曲线 C1的普通方程为 (x2)2( y2) 21，则 C1的极坐标方程为 24 cos 4 sin 70，由于直线 C2过原点，且倾斜角为 ，故其极坐标方程为 ( R)(
7、tan 3 3 )3(2)由Error! 得 2(2 2) 70，3设 A， B 对应的极径分别为 1， 2，则 1 22 2， 1 27，3 .1|OA| 1|OB| |OA| |OB|OA|OB| 1 2 1 2 23 276极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C1的极坐标方程为 4cos ，曲线 C2的参数方程为Error!(t 为参数， 0 )，射线 ， ， 与曲线 C1交于(不 4 4包括极点 O)三点 A， B， C.(1)求证：| OB| OC| |OA|；2(2)当 时， B， C 两点在曲线 C2上，
8、求 m 与 的值12解：(1)证明：设点 A， B， C 的极坐标分别为( 1， )， ，( 2， 4)( 3， 4)因为点 A， B， C 在曲线 C1上，所以 14cos ， 24cos ， 34cos ，( 4) ( 4)所以| OB| OC| 2 34cos 4cos 4 cos 1，( 4) ( 4) 2 2故| OB| OC| |OA|.24(2)由曲线 C2的方程知曲线 C2是经过定点( m,0)且倾斜角为 的直线当 时， B， C 两点的极坐标分别为 ， ，12 (2， 3)化为直角坐标为 B(1， )， C(3， )，3 3所以 tan ，又 0 ，所以 . 3 33 1 3
9、 23故曲线 C2的方程为 y (x2)，易知曲线 C2恒过点(2,0)，即 m2.37在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，其中0 ，在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1： 4cos .直线 l 与曲线 C1相切(1)将曲线 C1的极坐标方程化为直角坐标方程，并求 的值(2)已知点 Q(2,0)，直线 l 与曲线 C2： x2 1 交于 A， B 两点，求 ABQ 的面积y23解：(1)曲线 C1： 4cos ，即 24 cos ，化为直角坐标方程为x2 y24 x，即 C1：( x2) 2 y24，可得圆心(2,0)，
10、半径 r2，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，其中 0 ，由题意 l 与 C1相切，可得普通方程为 y k(x1)， ktan ，0 且 ，3 2因为直线 l 与曲线 C1相切，所以 2，|k 3|k2 1所以 k ，所以 .33 6(2)直线 l 的方程为 y x ，33 233代入曲线 C2： x2 1，整理可得 10x24 x50，y23设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，25 12所以| AB| ，1 13 ( 25)2 4( 12) 625Q 到直线的距离 d 2，43313 1所以 ABQ 的面积 S 2 .12 625
11、6258已知直线 L 的参数方程为Error!( t 为参数)，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 .21 3cos2 5(1)求直线 L 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与直线 L 夹角为 的直线 l，设直线 l 与直线 L 的交点为 3A，求| PA|的最大值解：(1)由Error!( t 为参数)，得 L 的普通方程为 2x y60，令 x cos ， y sin ，得直线 L 的极坐标方程为 2 cos sin 60，由曲线 C 的极坐标方程，知 23 2cos2 4，所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 1.y24(2)由(1)，知直线 L 的普通方程为 2x y60，设曲线 C 上任意一点 P(cos ，2sin )，则点 P 到直线 L 的距离 d .|2cos 2sin 6|5由题意得| PA| ，dsin 3 415| 2sin( 4) 3|15所以当 sin 1 时，| PA|取得最大值，最大值为 .( 4) 415 3 215
