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版选修4_5.docx

1、11.1.1 不等式的基本性质1.了解不等关系与不等式.2.掌握不等式的性质.3.会用不等式的性质解决一些简单问题.自学导引1.对于任何两个实数 a, b,aba b0;abbb, bcac;(3)加(减): aba cb c;(4)乘(除): ab, c0acbc;ab, cb0anbn, nN *且 n2;(6)开方: ab0 , nN *且 n2;nanb(7)ab, cda cb d;(8)ab0, cd0acbd.基础自测1.如果 aR,且 a2 aa a2 a B. aa2 a2aC. aa2a a2 D.a2 aa a2解析 由 a2 ab0, c B. D. d0,所以 0.1

2、 d 1 c又 ab0,所以 ,所以 0ab( )cacb(2)ab 且 cdacbd( )(3)ab0 且 cd0 ( )ad bc(4) ab( )ac2bc23解析 (1)Error! 0 时,此式成立,推不出 ab,(1)错.(2)当 a3, b1, c2, d3 时,命题显然不成立.(2)错.(3)Error! 0 成立.(3)对.adbc ad bc(4)显然 c20,两边同乘以 c2得 ab.(4)对.答案 (1) (2) (3) (4)反思感悟:解决这类问题,主要是根据不等式的性质判定,其实质是看是否满足性质所需的条件,若要判断一个命题是假命题,可以从条件入手,推出与结论相反的

3、结论或举出一个反例予以否定.1.有以下四个条件: b0a;0 ab; a0b; ab0.其中能使 0a, ab, 0b, ,结论不成立;1a1b ab0, 0yx,故 z yx.(y12)2 34反思感悟:两个实数比较大小,通常用作差法来进行.其一般步骤是:(1)作差.(2)变形,常采用配方、因式分解、分母有理化等方法.(3)定号,即确定差的符号.4(4)下结论.2.已知 1 a2,即 AB,12 ,即 CD,11 a 11 a又 A C1 a2 0,11 a a( a2 a 1)1 a CABD.知识点 3 不等式的证明【例 3】 如果 ab0, c .fa c fb d证明 c d0,又

4、ab0, a cb d0.不等式的两边同乘 0,得: 0,1( a c) ( b d) 1b d 1a c又 f .fb d fa c fa c fb d反思感悟:利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中,一要严格符合性质条件;二要注意向特征不等式的形式化归.3.已知 a0ax by czax cy bz同理 ax by czbx ay czax by czcx by az 故结论成立.课堂小结1.不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用符号“”、“b”、“ ab, b c 或 a b, bc 均可推得 ac;而a b, b c 不一定可以推得 ac,可能是 ac

5、,也可能是 a c.随堂演练1.已知下列四个条件: b0a,0 ab, a0b, ab0,能推出 b, ab0 可得 d,则“ ab”是“ a cb d”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 由 ab;而当 a c2, b d1 时,满足 ,但 a cb d 不a cb dcd ) abcd)成立,所以“ ab”是“ a cb d”的必要而不充分条件,选 B.答案 B3.已知不等式: x232 x; a5 b5a3b2 a2b3; a2 b22( a b1),其中正确的不等式有_.(填上正确的序号)答案 4.实数 a, b, c, d 满

6、足下列三个条件: dc; a b c d; a dc, a d|b|; abc.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个答案 A2.若 a, b, cR, ab,则下列不等式成立的是( )A. b21a1bC. D.a|c|b|c|ac2 1 bc2 1解析 本题只提供了“ a, b, cR, ab”这个条件,而不等式的基本性质中,几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要根据本题的四个选择项来进行判断.选项 A,还需有 ab0 这个前提条件;选项 B,当 a, b 都为负数或一正一负时都有可能不成立,如 23,但 22(3) 2不正确;选项 C, 0,因而正确;

7、选项 D,当1c2 1c0 时不正确.答案 C3.设 a, bR,若 a| b|0,则下列不等式中正确的是( )A.b a0 B.a3 b30C.a2 b20解析 a| b|0, a|b|0.不论 b 正或 b 负均有 a b0.答案 D4.已知 60y,则实数 a、 b 满足的条件是_.答案 ab1 或 a276.已知 a、 b正实数且 a b,比较 与 a b 的大小.a2b b2a解 ( a b) b a(a2b b2a) a2b b2a ( a2 b2)a2 b2b b2 a2a (1b 1a) ,( a2 b2) ( a b)ab当 ab0 时, a2b2, 0.( a2 b2) (

8、 a b)ab当 00.( a2 b2) ( a b)ab只要 a b,总有 a b.a2b b2a综合提高7.已知实数 x, y 满足 ax B.ln(x21)ln( y21)1x2 1 1y2 1C.sin xsin y D.x3y3解析 先依据指数函数的性质确定出 x, y 的大小,再逐一对选项进行判断.因为0y.采用赋值法判断,A 中,当 x1, y0 时, a b,( x a) ( y b) 0) xa,yb)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 由 可得xa,yb) x a0,y b0,x ya b, )即有 由x ya b,( x a)

9、 ( y b) 0; ) x ya b,( x a) ( y b) 0)可得 或x ya b,x a0,y b0 ) x ya b,x aa b,( x a) ( y b) 0, )答案 C89.设角 , 满足 ,则 的范围是_. 2 2解析 , 2 2 . ,且 2 2 0, 0.答案 010.有以下四个条件: b0 a;0 a b; a0 b; a b0.其中能使 成立的有_个条件.1a 1b解析 b0, 0. a0, 0. .1b 1a 1a 1b b a0, .1b 1a a0 b, 0, 0. .1a 1b 1a 1b a b0, .1a 1b综上知,均能使 成立.1a 1b答案 3

10、11.若 a0, b0,求证: a b.b2a a2b证明 a b( a b)b2a a2b (ab ba) ,( a b) 2( a b)ab(a b)20 恒成立,且已知 a0, b0, a b0, ab0. 0.( a b) 2( a b)ab a b.b2a a2b12.已知 、 满足 1 1 1 2 3 )试求 3 的取值范围.解 设 3 ( ) v( 2 )9( v) ( 2 v) .比较 、 的系数,得 v 1, 2v 3, )从而解出 1, v2.分别由、得1 1,22 4 6,两式相加,得 1 3 7.另解 由,1( )1 由可得,0 4由可得,1 2 43,即:1 3 7.

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