1、11.1.1 不等式的基本性质1.了解不等关系与不等式.2.掌握不等式的性质.3.会用不等式的性质解决一些简单问题.自学导引1.对于任何两个实数 a， b，aba b0；abbb， bcac；(3)加(减)： aba cb c；(4)乘(除)： ab， c0acbc；ab， cb0anbn， nN *且 n2；(6)开方： ab0 ， nN *且 n2；nanb(7)ab， cda cb d；(8)ab0， cd0acbd.基础自测1.如果 aR，且 a2 aa a2 a B. aa2 a2aC. aa2a a2 D.a2 aa a2解析 由 a2 ab0， c B. D. d0，所以 0.1
2、 d 1 c又 ab0，所以 ，所以 0ab( )cacb(2)ab 且 cdacbd( )(3)ab0 且 cd0 ( )ad bc(4) ab( )ac2bc23解析 (1)Error! 0 时，此式成立，推不出 ab，(1)错.(2)当 a3， b1， c2， d3 时，命题显然不成立.(2)错.(3)Error! 0 成立.(3)对.adbc ad bc(4)显然 c20，两边同乘以 c2得 ab.(4)对.答案 (1) (2) (3) (4)反思感悟：解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的
3、结论或举出一个反例予以否定.1.有以下四个条件： b0a；0 ab； a0b； ab0.其中能使 0a， ab， 0b， ，结论不成立；1a1b ab0， 0yx，故 z yx.(y12)2 34反思感悟：两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是：(1)作差.(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法.(3)定号，即确定差的符号.4(4)下结论.2.已知 1 a2，即 AB，12 ，即 CD，11 a 11 a又 A C1 a2 0，11 a a（ a2 a 1）1 a CABD.知识点 3 不等式的证明【例 3】 如果 ab0， c .fa c fb d证明 c d0，又
4、ab0， a cb d0.不等式的两边同乘 0，得： 0，1（ a c） （ b d） 1b d 1a c又 f .fb d fa c fa c fb d反思感悟：利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.3.已知 a0ax by czax cy bz同理 ax by czbx ay czax by czcx by az 故结论成立.课堂小结1.不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“”、“b”、“ ab， b c 或 a b， bc 均可推得 ac；而a b， b c 不一定可以推得 ac，可能是 ac
5、，也可能是 a c.随堂演练1.已知下列四个条件： b0a，0 ab， a0b， ab0，能推出 b， ab0 可得 d，则“ ab”是“ a cb d”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 由 ab；而当 a c2， b d1 时，满足 ，但 a cb d 不a cb dcd ) abcd)成立，所以“ ab”是“ a cb d”的必要而不充分条件，选 B.答案 B3.已知不等式： x232 x； a5 b5a3b2 a2b3； a2 b22( a b1)，其中正确的不等式有_.(填上正确的序号)答案 4.实数 a， b， c， d 满
6、足下列三个条件： dc； a b c d； a dc， a d|b|； abc.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个答案 A2.若 a， b， cR， ab，则下列不等式成立的是( )A. b21a1bC. D.a|c|b|c|ac2 1 bc2 1解析 本题只提供了“ a， b， cR， ab”这个条件，而不等式的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同，因而这需要根据本题的四个选择项来进行判断.选项 A，还需有 ab0 这个前提条件；选项 B，当 a， b 都为负数或一正一负时都有可能不成立，如 23，但 22(3) 2不正确；选项 C， 0，因而正确；
7、选项 D，当1c2 1c0 时不正确.答案 C3.设 a， bR，若 a| b|0，则下列不等式中正确的是( )A.b a0 B.a3 b30C.a2 b20解析 a| b|0， a|b|0.不论 b 正或 b 负均有 a b0.答案 D4.已知 60y，则实数 a、 b 满足的条件是_.答案 ab1 或 a276.已知 a、 b正实数且 a b，比较 与 a b 的大小.a2b b2a解 ( a b) b a(a2b b2a) a2b b2a ( a2 b2)a2 b2b b2 a2a (1b 1a) ，（ a2 b2） （ a b）ab当 ab0 时， a2b2， 0.（ a2 b2） （
8、 a b）ab当 00.（ a2 b2） （ a b）ab只要 a b，总有 a b.a2b b2a综合提高7.已知实数 x， y 满足 ax B.ln(x21)ln( y21)1x2 1 1y2 1C.sin xsin y D.x3y3解析 先依据指数函数的性质确定出 x， y 的大小，再逐一对选项进行判断.因为0y.采用赋值法判断，A 中，当 x1， y0 时， a b，（ x a） （ y b） 0) xa，yb)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 由 可得xa，yb) x a0，y b0，x ya b， )即有 由x ya b，（ x a）
9、 （ y b） 0； ) x ya b，（ x a） （ y b） 0)可得 或x ya b，x a0，y b0 ) x ya b，x aa b，（ x a） （ y b） 0， )答案 C89.设角 ， 满足 ，则 的范围是_. 2 2解析 ， 2 2 . ，且 2 2 0， 0.答案 010.有以下四个条件： b0 a；0 a b； a0 b； a b0.其中能使 成立的有_个条件.1a 1b解析 b0， 0. a0， 0. .1b 1a 1a 1b b a0， .1b 1a a0 b， 0， 0. .1a 1b 1a 1b a b0， .1a 1b综上知，均能使 成立.1a 1b答案 3
10、11.若 a0， b0，求证： a b.b2a a2b证明 a b( a b)b2a a2b (ab ba) ，（ a b） 2（ a b）ab(a b)20 恒成立，且已知 a0， b0， a b0， ab0. 0.（ a b） 2（ a b）ab a b.b2a a2b12.已知 、 满足 1 1 1 2 3 )试求 3 的取值范围.解 设 3 ( ) v( 2 )9( v) ( 2 v) .比较 、 的系数，得 v 1， 2v 3， )从而解出 1， v2.分别由、得1 1，22 4 6，两式相加，得 1 3 7.另解 由，1( )1 由可得，0 4由可得，1 2 43，即：1 3 7.
