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2019高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教B版选修2_2.doc

1、12.1.1 合情推理1理解合情推理的含义,能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理2体会并认识合情推理在数学发现中的重要作用1推理的结构与合情推理(1)从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设),叫做_;一部分是由已知推出的判断,叫做_(2)前提为真时,结论_为真的推理,叫做合情推理推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接,常用的连接词有:“因为所以” ;“根据可知” ;“如果那么”等【做一做 1】下列说法正确的是( )A由合情推理得出的结论一定是正确的B合情推理必须有前提有结论C合情推理不能猜想D合情推理得出的结论无法判定正误2归纳推理(1)根据一类事物的部分对象具

2、有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做_(简称_)(2)归纳推理的一般步骤:通过观察个别情况发现某些相同性质;从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)归纳推理的特点:(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理;(2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实,因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然性的,而是或然性的,所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的;(3)人们在进行归纳推理的时候,总是先搜集一不定期的事实材料,有了个别性的、特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行;(4)归纳

3、推理能够发现前的事实、获得新结论,是科学发现的重要手段。【做一做 21】数列 2,5,11,20, x,47,中的 x 等于( )A28 B32 C33 D27【做一做 22】已知等式 sin230sin 230sin 30sin 30 ,sin 24034sin 220sin 40sin 20 ,下面的等式中具有一般性且包含了已知等式的是( 34)Asin 2 sin 2(60 )sin sin(60 )34Bsin 2 sin 2(60 )sin sin(60 )34Csin 2(60 )sin 2(60 )sin(60 )sin(60 )342Dsin 2 sin 2 sin sin 3

4、43类比推理(1)根据_之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理,叫做_(简称_)它属于合情推理(2)类比推理的一般步骤:找出两类事物之间的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)类比推理有以下几个特点:(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中,推测正在研究中的事物的属性,它以旧有认识作基础,类比出新的结果;(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;(3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却具有发现的功能【做一做 31】在平面内,两条相交直线将整个平面分成四部分,类似地,在空间,两

5、个相交平面将整个空间分成_【做一做 32】十进制中,2 004410 0010 1010 2210 3,那么在五进制中,数码 2 004 折合成十进制为( )A29 B254 C602 D2 004归纳推理的一般步骤是什么?剖析:(1)实验、观察:通过观察个别事物发现某些相同性质(2)概括、推广:从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题,并且在一般情况下,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越可靠(3)猜测一般性结论:通过实例去分析、归纳问题的一般性结论题型一 归纳推理【例题 1】在一容器内装有浓度为 r%的溶液 a 升,注入浓度为 p%的溶液 a 升,搅匀14

6、后再倒出溶液 a 升,这叫一次操作,设第 n 次操作后容器内溶液的浓度为 bn(每次注入的14溶液浓度都是 p%),计算 b1, b2, b3,并归纳出 bn的计算公式反思:归纳法是获得数学结论的一条重要途径,运用不完全归纳法通过观察、实验,从特例中归纳出一般性结论,形成猜想题型二 类比推理【例题 2】在长方形 ABCD 中,对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 , ,且cos2 cos 2 1,则在立体几何中,给出类比猜想分析:考虑到平面几何中为长方形,故可联想到立体几何中的长方体反思:(1)类比推理应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比、归纳,提出猜想(2)也可类比为:长方体的体对

7、角线与同顶点出发的三个面所成的角分别为 , , ,则有 cos2 cos 2 cos 2 1.(3)(2)中的结论是不对的,实际上此时 cos2 cos 2 cos 2 2,由此可知类比的结论不是唯一的,也不一定正确题型三 易错辨析3易错点:在进行类比推理时,由于类比的相似性少或被一些表面现象迷惑导致类比结论错误,解决这类问题的关键是:先充分认识两类事物的相同(或相似)之处,充分考虑其中的本质联系,再进行类比【例题 3】请用类比推理完成下表:平面 空间三角形的面积等于任意一边的长度与这条边上的高的乘积的12 三棱锥的体积等于任一底面的面积与这个底面上的高的乘积的13三角形的面积等于其内切圆半径

8、与三角形周长乘积的12错解一:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的 .13错解二:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的 .121 已知 a13, a26,且 an2 an1 an,则 a33等于( )A3 B3C6 D62 已知扇形的弧长为 l,半径为 r,类比三角形的面积公式: S 底高,可推知扇12形的面积公式 S 扇 等于( )A Br22 l22C lr D不可类比123 对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是正四面体内任意一点到各面的距离之和( )A为定值B为变数C有时为定值,有时为变数D与正四面体无关的常数4 如图所示

9、,由火柴杆拼成的一列图形中,第 n 个图形由 n 个正方形组成:通过观察可以发现:第 4 个图形中,火柴杆有_根;第 n 个图形中,火柴杆有_根5 设 f(x) ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 f(5)12x 2 f(4) f(0) f(5) f(6)的值为_答案:基础知识梳理1(1)前提 结论 (2)可能【做一做 1】B2(1)归纳推理 归纳4【做一做 21】B 5231,11532,201133, x203432.【做一做 22】A 等式右边为 ,左侧两角和为 60.343(1)两类不同事物 类比推理 类比【做一做 31】四部分【做一做 32】B 找到十进制与五进制

10、的相似之处十进制中由低到高的单位依次为 100,101,102,五进制中由低到高的单位依次为 50,51,52,那么在五进制中 2 00445 005 105 225 3425 34250254,五进制中的数码 2 004 折合成十进制为 254.故选 B.典型例题领悟【例题 1】解:由题意可得,b1 ,ar100 a4p100a a4 1100(45r 15p)b2 ,ab1 a4p100a a4 1100(45)2r 15p 452pb3 ,ab2 a4p100a a4 1100(45)3r 15p 452p 4253p所以归纳得bn .1100(45)nr 15p 452p 4n 15n

11、p【例题 2】解:在长方形 ABCD 中,cos 2 cos 2 2 2 1.(ac) (bc) a2 b2c2 c2c2于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 , , ,则 cos2 cos 2 cos 2 1.证明如下:如图,cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 1.(ml) (nl) (gl) m2 n2 g2l2 l2l2【例题 3】错因分析:错解一中“三角形周长”的类比错误,错解二中“ ”的类比错12误 “三角形周长”应类比为“三棱锥的各面面积之和” ;“ ”应类比为“ ”12 13正解:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的 .135随堂练习巩固1A 由题意可得,a13, a26, a33, a43, a56, a63, a73, a86,归纳出每 6 项一个循环,则 a33 a33.2C 由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高,可得 S 扇 lr.123A413 3 n153 f(x) f(1 x) ,212x 2 121 x 2 12x 2 2x2 22x 12 f(5) f(4) f(0) f(5) f(6)6 3 .12 2

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