1、12.1.1 合情推理1理解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理2体会并认识合情推理在数学发现中的重要作用1推理的结构与合情推理(1)从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做_；一部分是由已知推出的判断，叫做_(2)前提为真时，结论_为真的推理，叫做合情推理推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接，常用的连接词有：“因为所以” ；“根据可知” ；“如果那么”等【做一做 1】下列说法正确的是( )A由合情推理得出的结论一定是正确的B合情推理必须有前提有结论C合情推理不能猜想D合情推理得出的结论无法判定正误2归纳推理(1)根据一类事物的部分对象具
2、有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做_(简称_)(2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；(2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的；(3)人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一不定期的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；(4)归纳
3、推理能够发现前的事实、获得新结论，是科学发现的重要手段。【做一做 21】数列 2,5,11,20， x,47，中的 x 等于( )A28 B32 C33 D27【做一做 22】已知等式 sin230sin 230sin 30sin 30 ，sin 24034sin 220sin 40sin 20 ，下面的等式中具有一般性且包含了已知等式的是( 34)Asin 2 sin 2(60 )sin sin(60 )34Bsin 2 sin 2(60 )sin sin(60 )34Csin 2(60 )sin 2(60 )sin(60 )sin(60 )342Dsin 2 sin 2 sin sin 3
4、43类比推理(1)根据_之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做_(简称_)它属于合情推理(2)类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)类比推理有以下几个特点：(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性之中，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能【做一做 31】在平面内，两条相交直线将整个平面分成四部分，类似地，在空间，两
5、个相交平面将整个空间分成_【做一做 32】十进制中，2 004410 0010 1010 2210 3，那么在五进制中，数码 2 004 折合成十进制为( )A29 B254 C602 D2 004归纳推理的一般步骤是什么？剖析：(1)实验、观察：通过观察个别事物发现某些相同性质(2)概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠(3)猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性结论题型一 归纳推理【例题 1】在一容器内装有浓度为 r%的溶液 a 升，注入浓度为 p%的溶液 a 升，搅匀14
6、后再倒出溶液 a 升，这叫一次操作，设第 n 次操作后容器内溶液的浓度为 bn(每次注入的14溶液浓度都是 p%)，计算 b1， b2， b3，并归纳出 bn的计算公式反思：归纳法是获得数学结论的一条重要途径，运用不完全归纳法通过观察、实验，从特例中归纳出一般性结论，形成猜想题型二 类比推理【例题 2】在长方形 ABCD 中，对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 ， ，且cos2 cos 2 1，则在立体几何中，给出类比猜想分析：考虑到平面几何中为长方形，故可联想到立体几何中的长方体反思：(1)类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳，提出猜想(2)也可类比为：长方体的体对
7、角线与同顶点出发的三个面所成的角分别为 ， ， ，则有 cos2 cos 2 cos 2 1.(3)(2)中的结论是不对的，实际上此时 cos2 cos 2 cos 2 2，由此可知类比的结论不是唯一的，也不一定正确题型三 易错辨析3易错点：在进行类比推理时，由于类比的相似性少或被一些表面现象迷惑导致类比结论错误，解决这类问题的关键是：先充分认识两类事物的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比【例题 3】请用类比推理完成下表：平面 空间三角形的面积等于任意一边的长度与这条边上的高的乘积的12 三棱锥的体积等于任一底面的面积与这个底面上的高的乘积的13三角形的面积等于其内切圆半径
8、与三角形周长乘积的12错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的 .13错解二：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的 .121 已知 a13， a26，且 an2 an1 an，则 a33等于( )A3 B3C6 D62 已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积公式： S 底高，可推知扇12形的面积公式 S 扇 等于( )A Br22 l22C lr D不可类比123 对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是正四面体内任意一点到各面的距离之和( )A为定值B为变数C有时为定值，有时为变数D与正四面体无关的常数4 如图所示
9、，由火柴杆拼成的一列图形中，第 n 个图形由 n 个正方形组成：通过观察可以发现：第 4 个图形中，火柴杆有_根；第 n 个图形中，火柴杆有_根5 设 f(x) ，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 f(5)12x 2 f(4) f(0) f(5) f(6)的值为_答案：基础知识梳理1(1)前提 结论 (2)可能【做一做 1】B2(1)归纳推理 归纳4【做一做 21】B 5231,11532,201133， x203432.【做一做 22】A 等式右边为 ，左侧两角和为 60.343(1)两类不同事物 类比推理 类比【做一做 31】四部分【做一做 32】B 找到十进制与五进制
10、的相似之处十进制中由低到高的单位依次为 100,101,102，五进制中由低到高的单位依次为 50,51,52，那么在五进制中 2 00445 005 105 225 3425 34250254，五进制中的数码 2 004 折合成十进制为 254.故选 B.典型例题领悟【例题 1】解：由题意可得，b1 ，ar100 a4p100a a4 1100(45r 15p)b2 ，ab1 a4p100a a4 1100(45)2r 15p 452pb3 ，ab2 a4p100a a4 1100(45)3r 15p 452p 4253p所以归纳得bn .1100(45)nr 15p 452p 4n 15n
11、p【例题 2】解：在长方形 ABCD 中，cos 2 cos 2 2 2 1.(ac) (bc) a2 b2c2 c2c2于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 ， ， ，则 cos2 cos 2 cos 2 1.证明如下：如图，cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 1.(ml) (nl) (gl) m2 n2 g2l2 l2l2【例题 3】错因分析：错解一中“三角形周长”的类比错误，错解二中“ ”的类比错12误 “三角形周长”应类比为“三棱锥的各面面积之和” ；“ ”应类比为“ ”12 13正解：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的 .135随堂练习巩固1A 由题意可得，a13， a26， a33， a43， a56， a63， a73， a86，归纳出每 6 项一个循环，则 a33 a33.2C 由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高，可得 S 扇 lr.123A413 3 n153 f(x) f(1 x) ，212x 2 121 x 2 12x 2 2x2 22x 12 f(5) f(4) f(0) f(5) f(6)6 3 .12 2
