1、2012年苏教版高中数学选修 2-1 2.2椭圆练习卷与答案（带解析） 选择题 椭圆 的右焦点到直线 的距离是（ ） A B C D 答案： 试题分析： 椭圆 的右焦点为（ 1， 0） 右焦点到直线 的距离为 d= ，故选 A。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，点到直线的距离公式。 点评：椭圆的标准方程及其几何性质，点到直线的距离公式的运用。求椭圆焦点坐标时，要先 “定位 ”，再 “定量 ”，避免出错。 如图， M是椭圆 上一点， 是椭圆的两个焦点， 是的内心，延长 交 于 N，则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：如图，连接 IF1， IF2在 MF1I中， F
2、1I是 MF1N的角平分线， 根据三角形内角平分线性质定理， = , 同理可得 = , = = ； 根据等比定理 = = = ，故选 A。 考点：本题主要考查椭圆的定义及几何性质。 点评：本题平面几何中的三角形内角平分线性质定理、初中代数中的等比定理和圆锥曲线的定义之间进行了充分的交汇，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口。 在椭圆 上有一点 P， 是椭圆的左、右焦点， 为直角三角形，则这样的点 P有（ ） A 2个 B 4个 C 6个 D 8个 答案： D 试题分析：如图，设椭圆的一个顶点是 A， 在三角形 OAF1中， OA= ， A = ，
3、 cos OAF2= = 45， F1AF290， 由图可知，角 P为直角， F1PF2是直角三角形，则这样的点 P有四个（即上下各两个顶点）， 当 F1为直角时，根据椭圆的对称性，这样的点 P有两个； 同理当 F2为直角时，这样的点 P有两个；故符合要求的点 P有八个选 D。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。 点评：易错题，解答本题时，应注意椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大。 已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为 2，从这个圆上任意一点 P向 x轴作垂线段 ，则线段 的中点 M的轨迹是（ ） A圆 B椭圆 C直线 D以上都有可能 答案： B 试题分析：由题意，令 M（ x， y
4、），则 P（ x， 2y）， 又圆 O： x2+y2=4上任意一点 P x2+（ 2y） 2=4，整理得 +y2=1，故选 B。 考点：本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质。 点评：求轨迹问题，根据求谁设谁的规律，先设出要求的轨迹上的一点坐标，用它表示出已知轨迹方程的曲线上相应点的坐标，代入已知的轨迹方程即可求得所求的轨迹方程，这即 “相关点法 ”，解题的关键是准确理解题意。数形结合，几何方法也可。 已知椭圆方程 ，椭圆上点 M到该椭圆一个焦点 的距离为 2， N是 的中点， O是椭圆的中心，那么线段 ON的长度为（ ） A 2 B 4 C 8 D答案： B 试题分析： |MF2|=10
5、-2=8， ON是 MF1F2的中位线， |ON|= =4，故选 B 考点：本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质。 点评：利用定义和三角形的中位线，作出草图数形结合更易理解。 已知点 在椭圆 上，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：椭圆方程可化为 ， 点（ m， n）在椭圆上， ， 0， m23， - m ， 2m+4的取值范围是 4-2 ， 4+2 故选 A。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。 点评：简单题，注意研究范围的方法。 椭圆 的焦距等于 2，则 m的值为（ ） A 5或 3 B 8 C 5 D 16 答案： A 试题分析：两种情况， 1、
6、 =m, =4，由 =1，得 m=5； 2、=4, = m，由 =1得 m=3，关系 A。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。 点评：简单题，注意两种可能情况。 设 P是椭圆 上一点， P到两焦点 的距离之差为 2，则是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 答案： 试题分析：根据椭圆的定义： P到两焦点 的距离之和等于 8，又因为 P到两焦点 的距离之差为 2，所以， P到两焦点距离分别为 5， 3. 两焦点分别为：（ 2， 0），（ -2， 0） 三角形 P 三边长为 3， 4， 5，故选 B。 考点：本题主要考查椭圆的定义及几何性质。 点评：涉及椭圆
7、、双曲线的焦点三角形问题，常常利用定义及余弦定理。常见题型。 是椭圆 的一个焦点， F与椭圆上点的距离的最大值为 m，最小值为 n，则椭圆上与点 F距离为 的点是（ ） A B C D不存在 答案： 试题分析：因为 F（ c， 0）是椭圆 的一个焦点， F与椭圆上点的距离的最大值为 m，最小值为 n，所以 m=a+c， n=a-c， 所以 = =a， 所以椭圆上与点 F距离为 的点是短轴的端点，即（ 0， b），故选 C。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。 点评：注意理解 F与椭圆上点的距离的最大值为 m，最小值为 n，。 过点 且与 有相同焦点的椭圆的方程是（ ） A B C D
8、 答案： 试题分析：设出方程形式，将点的坐标代入。待定系数法。选 A。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质。 点评：待定系数法求椭圆的标准方程，常见题型。、 语句甲：动点 到两定点 A， B的距离之和 ( ，且 a为常数 )；语句乙： P点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案： 试题分析：因为当 2a|AB|时， P点的轨迹才是椭圆，所以选 B。 考点：本题主要考查椭圆的定义，充要条件的概念。 点评：椭圆的定义中要求 2a|AB|，应引起注意。 已知椭圆 的面积为 现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点
9、坐标为（ 4， 0），且长轴长与短轴长的差为 2，则该椭圆的面积为（ ） A B C D 答案： 试题分析：由已知得 c=4,a-b=1, ，解得 b= ,a= ,所以该椭圆的面积为 = = 。故选 D。 考点：本题主要考查椭圆的定义及几何性质。 点评：简单题，注意依题意布列 a,b,c的方程组。 填空题 椭圆 的左焦点是 分别是左顶点和上顶点，若 到直线 AB的距离是 ，则椭圆的离心率是 答案： 试题分析：设 F1到 AB的垂足为 D， ADF1 AOB ， ，化简得到 5a2-14ac+8c2=0 解得 a=2c 或 a=4c/5舍去， e= 。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质
10、。 点评：应用三角形相似，确定了 a,b,c,e的关系。 已知方程 是焦点在 y轴上的椭圆，则 k的取值范围是 答案： 或 试题分析： 化成标准形式为 =1，因为是焦点在 y轴上的椭圆，所以 0，解得 或 。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。 点评：简单题，注意化为标准形式。 椭圆 的两个焦点为 ，过 作垂直于 x轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，则 答案： 试题分析：椭圆的左准线方程为 x=- ， |PF2|= 。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。 点评：基础题，应用离心率的定义及 a,b,c,e的关系。 为椭圆 的左、右焦点， A为椭圆上任一点，过焦点 向的外角平
11、分线作垂线，垂足为 D，则点 D的轨迹方程是 答案： 试题分析：如图： 延长 F1D与 F2A交于 B，连接 DO， 可知 DO= ， F2B=a=2， 动点 D的轨迹方程为 x2+y2=4 故答案：为 考点：本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质。 点评：基础题，利用数形结合思想，探求得到动点几何特征。 若焦点在 x轴上的椭圆 上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则 的取值范围是 答案： 且 试题分析： 椭圆 的焦点在 x轴上，故 b2 45，即 b （ -3 ， 3）且 b不为 0 设椭圆的焦距为 2c，则以原点为圆心，两焦点为端点的线段为直径的圆 O的方程为 x2+y2=c2 要
12、使椭圆 上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，只需圆 O与椭圆有交点， 由椭圆几何性质，只需半径 c|b| 即 c2b2，即 45-b2b2， b2 由 解得： 且 。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。 点评：基础题，利用数形结合思想，探求得到椭圆与圆的关系。 P是椭圆 上的点， 是两个焦点，则 的最大值与最小值之差是 答案： 试题分析：设 P（ x0， y0）， |PF1| =2+ x0， |PF2| =2- x0， |PF1| |PF2|=4- x02， ， |PF1| |PF2|的最大值是 4，最大值是 3，的最大值与最小值之差 1。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性
13、质。 点评：应用焦半径公式，将最值问题转化成闭区间上二次函数的最值问题。 一条线段的长等于 10，两端点 A、 B分别在 x轴和 y轴上滑动，点 M在线段 AB上且 ，则点 M的轨迹方程是 答案： 试题分析：设 M（ x， y） ,则由 知， A（ 5x,0）， B（ 0， y） ,又|AB|=10，所以有两点间距离公式得 ，即 。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质，线段的定比分点坐标公式。 点评：基本题型，利用 “相关点法 ”求圆锥曲线的标准方程。 若椭圆的长轴长与短轴长之比为 2，它的一个焦点是 ，则椭圆的标准方程是 答案： 试题分析：由题设条件知 a=2b， c=2 ， 4b2
14、=b2+60， b2=20， a2=80， 椭圆的标准方程是 。 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。 点评：基本题型，应用待定系数法求圆锥曲线的标准方程。 若焦点在 x轴上的椭圆 的离心率为 ，则 m等于 答案： 试题分析：即 ，所以 m= . 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。 点评：基本题型，注意掌握 a,b,c,e的关系。 已知椭圆的方程是 ，它的两个焦点分别为 ，且，弦 过 ，则 的周长为 答案： 试题分析：三角形 AB 的周长 =AB+B +A =A +B +BF2+AF2(因为 AB=A +B ） =（ A +A ） +（ B +B ） =2a+2a（定义） =
15、4a 有因为 c=4,b=5,所以 a= ,所以 ABF2的周长 = 考点：本题主要考查椭圆的定义及几何性质。 点评：涉及椭圆、双曲线的焦点三角形问题，常常利用定义。常见题型。 椭圆的长轴长为 10，短轴长为 8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是 答案： 试题分析：椭圆上的点到圆心的最小距离为短半轴的长度，最大距离为长半轴的长度 因为椭圆的长轴长为 10，短轴长为 8， 所以椭圆上的点到圆心的最小距离为 4，最大距离为 5 所以椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是 4， 5 故答案：为 4， 5. 考点：本题主要考查椭圆的定义及几何性质。 点评：解题的关键是利用椭圆上的点到圆心的最小距
16、离为短半轴的长度，最大距离为 长半轴的长度。 已知 是圆 (F为圆心 )上一动点，线段 AB的垂直平分线交 BF于点 P，则动点 P的轨迹方程为 答案： 试题分析：依题意可知 |BP|+|PF|=2， |PB|=|PA| |AP|+|PF|=2 根据椭圆的定义可知，点 P的轨迹为以 A， F为焦点的椭圆， a=1， c= ，则有 b= ，故点 P的轨迹方程为 考点：本题主要考查椭圆的定义及几何性质，求轨迹方程的基本方法。 点评：利用定义法求轨迹方程的问题。 解答题 已知椭圆的对称轴是坐标轴， O 为坐标原点， F 是一个焦点， A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6，且 ，求椭圆的方程 答案：
17、或 试题分析：解： 椭圆的长轴长是 6， ， 点 不是长轴的端点，而是短轴的端点， ， ， 椭圆的方程是 或 考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质。 点评：通过确定 a,b,c的关系，利用定义法求椭圆的标准方程。判断点 不是长轴的端点，而是短轴的端点是关键。 P为椭圆 上一点， 为它的一个焦点，求证：以 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切 答案：见 试题分析：证明：如图， 设 的中点为 ， 则两圆圆心之间的距离为 ， 即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差 两圆内切，即以 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切 考点：本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质，直线与圆的位置关系。 点评：利用数形
18、结合的方法，通过分析图形特征，借助于定义判断直线与圆的位置关系。 在平面直角坐标系中，已知 的两个顶点 ， 且三边 AC、BC、 AB的长成等差数列，求顶点 A的轨迹方程 答案： 试题分析：解： 三边 AC、 BC、 AB的长成等差数列， ， 顶点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 12的椭圆（长轴端点除外） 由 ， ，得 ， ，则 顶点 的轨迹方程为 考点：本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质，等差数列基础知识。 点评：利用数形结合的方法，通过分析图形特征，借助于定义确定得到椭圆标准方程。 设 分别为椭圆 的左、右两个焦点 （ 1）若椭圆 上的点 到 两点的距离之和等于 4，写出椭圆 的方
19、程和焦点坐标； （ 2）设点 是（ 1）中所得椭圆上的动点，求线段 的中点的轨迹方程 答案：（ 1）椭圆 的方程为 ，焦点为 ； （ 2） 为所求的轨迹方程 试题分析：解：（ 1）椭圆 的焦点在 轴上，由椭圆上的点 到 两点的距离之和是 4，得 ，即 又点 在椭圆上，因此 ， 得 ，且 所以椭圆 的方程为 ，焦点为 ； （ 2）设椭圆 上的动点 ，线段 的中点 ，满足 ， 即 ， 因此， ，即 为所求的轨迹方程 考点：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质，求轨迹方程的方法。 点评：求椭圆方程，待定系数法是基本方法。相关点法是求轨迹方程的基本方法。 已知大西北某荒漠上 A、 B两点相距 2km，
20、现准备在荒漠上开垦出一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为 8km，问农艺园的最大面积能达到多少？ 答案：椭圆方程为 ，当 为椭圆的短轴端点时，农艺园的面积最大，其值为 km 试题分析：解：由题意，得 ， 可知平行四边形另两个顶点 在以 为焦点的一个椭圆上 （除长轴的两个端点）， 以 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立直角坐标系，如图所示， 易知 ， ，所以 ，则 故椭圆方程为 ，易知当 为椭圆的短轴端点时，农艺园的面积最大，其值为 km 考点：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质。 点评：一道实际应用问题。从分析图形特征入手，求得椭圆方程，从而可利用椭圆的几何性质，求得面积的最大值。 已知椭圆的焦点是 ， 为椭圆上一点，且 是 和的等差中项 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若点 在第三象限，且 ，求 答案：（ 1）椭圆的方程为 ； （ 2） ， 试题分析：解：（ 1）由题设，得 ， ，即 又 ， 椭圆的方程为 ； （ 2）设 ，则 由正弦定理，得 由等比定理，得 整理，得 故 ， 考点：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质，正弦定理及三角函数知识。 点评：综合性较强。从分析图形特征入手，求得椭圆方程，从而可利用椭圆的几何性质，进一步研究 “焦点三角形 ”。
