1、2012年苏教版高中数学选修 2-1 2.3双曲线练习卷与答案（带解析） 选择题 到两定点 的距离之差的绝对值等于 6的点 的轨迹是（ ） A椭圆 B线段 C双曲线 D两条射线 答案： 试题分析：因为两定点 的距离等于 6，所以到两定点的距离之差的绝对值等于 6的点 的轨迹是两条射线，选 D。 考点：本题主要考查双曲线的定义。 点评：理解双曲线的定义要全面，特别要注意 “差的绝对值 ”与 “两定点间距离 ”三种关系。 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线的右支上，且 ，则此双曲线的离心率 的最大值为（ ） A B C 2 D答案： 试题分析：设 P（ x， y），由焦半径得丨 PF1
2、丨 =ex+a，丨 PF2丨 =ex-a， ex+a=4（ ex-a），化简得 e= ， p在双曲线的右支上， xa， e ，即双曲线的离心率 e的最大值为 。故选 B。 考点：本题主要考查双曲线的定义、双曲线的标准方程及几何性质。 点评：注意 “焦半径 ”的利用，简化了解题过程。 已知双曲线方程为 ，过点 的直线 与双曲线只有一个公共点，则 的条数共有（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： 试题分析：由题意可得：双曲线 的渐近线方程为： y=2x， 点 P（ 1， 0）是双曲线的右顶点，故直线 x=1 与双曲线只有一个公共点； 过点 P （ 1， 0）平行于渐近线 y=2x时，直线
3、L与双曲线只有一个公共点，有2条 所以，过 P（ 1， 0）的直线 L 与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有 3 条， 故选 B。 考点：本题主要考查直线与双曲线的关系、双曲线的标准方程及几何性质。 点评：解题的关键是注意讨论问题要全面， “直线 x=1 与双曲线只有一个公共点 ”、 “过点 P （ 1， 0）平行于渐近线 y=2x时，直线 L与双曲线 只有一个公共点 ”的情况。 已知 为两个不相等的非零实数，则方程 与所表示的曲线可能是（ ）答案： 试题分析：方程 mx-y+n=0 表示直线，与坐标轴的交点分别为（ 0， n），（ - ，0） 若方程 nx2+my2=mn表示椭圆，则 m，
4、 n同为正， - 0，故 A， B不满足题意； 若方程 nx2+my2=mn表示双曲线，则 m， n异号， - 0，故 C符合题意， D不满足题意 故选 C。 考点：本题主要考查直线与圆锥曲线的关系、椭圆和双曲线的标准方程及几何性质。 点评：解题的关键是讨论方程所表示的曲线。 过双曲线 左焦点 的弦 长为 6，则 （ 为右焦点）的周长是（ ） A 28 B 22 C 14 D 12 答案： 试题分析：由 ， ， 所以 c=5,a=4,b=3 所以有 (-5,0), (5,0), =10 根据定义得 : A -A =2a=8 B -B =2a=8 二式相加得 : A +B -AB=16 周长 =
5、AB+A +B =16+2AB=16+12=28,故选 A。 考点：本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质。 点评：解题的关键是根据已知方程明确 a,b,c，焦点三角形问题，往往要利用定义，属于基础题。 焦点为 ，且与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意知，可设所求的双曲线方程是 -y2=k， 焦点（ 0， 6）在 y轴上， k 0， 所求的双曲线方程是 1 ，由 -2k-k=c2=36， k=-12， 故所求的双曲线方程是 。 考点：本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质。 点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，
6、解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的双曲线方程是 -y2=k，属于基础题。 设 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ，分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则 （ ） A 1或 5 B 6 C 7 D 9 答案： C 试题分析：由双曲线的方程、渐近线的方程可得 ， a=2由双曲线的定义可得 |PF2|-3|=2 a=4， |PF2|=7，故选 C 考点：本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质。 点评：理解双曲线的定义、标准方程以及几何性质，基础题。 方程 表示双曲线，则 的取值范围是（ ） A B C D 或 答案： 试题分析：因为方程 表示双曲线，所以 y=32 A=(2-2 ,3
7、-2 ), B(2+2 ,3+2 ) |AB|= 。 考点：本题主要考查直线与双曲线的关系。 点评：先求弦的端点坐标，再求弦长；也可利用 “弦长公式 ”。 直线 与双曲线 相交于 两点，若以 为直径的圆过原点，则 答案： 试题分析：由已知 ，即 ，设 A（ ） B（ ） 则由韦达定理得 =2b, ， ，所以， 所以圆的半径 =2 =2b， = ， 所以 AB的中点（ , ） 即圆心是 (b,2b) 又圆过原点 ，所以圆心和原点距离是半径 所以 ， ， b= 考点：本题主要考查直线与双曲线位置关系，圆的方程。 点评：综合性较强，灵活应用韦达定理是解题的关键。 若直线 与曲线 有且仅有一个公共点，
8、则 的取值范围为 答案： 试题分析： 表示等轴双曲线位于 x轴下方的部分， 与双曲线的渐近线平行，结合图形可得 的取值范围为 。 考点：本题主要考查直线与双曲线位置关系，双曲线的几何性质。 点评：基础题，数形结合，准确画图。 双曲线 上有点 是双曲线的焦点，且 ，则的面积是 答案： 试题分析：由双曲线得到 | |=2a=8， 所以 = 64 在三角形 中 由余弦定理得到 其中 cos60 = 0.5 联立带入得到 =36 S = = 考点：本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质。 点评：常见题型，涉及 “焦点三角形 ”，一般要运用定义及余弦定理。 已知定点 ，且 ，动点 满足 ，则 的最
9、小值是 答案： 试题分析：根据双曲线的定义可知 P点轨迹为双曲线的右支， c=3， 2a=4， a=2； 当 P在双曲线的顶点时 |PA|有最小值 3+ 2=5，故答案：为： 5. 考点：本题主要考查双曲线的定义、双曲线的几何性质。 点评：基础题，注意定义的运用。 与椭圆 有相同的焦点且以 为渐近线的双曲线方程为 答案： 试题分析： 椭圆 的焦点为（ 5， 0）（ -5， 0）， 故双曲线中的 c=5，且满足 ， =25， =9， =16，所求双曲线方程为 。 考点：本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质。 点评：基础题，理解椭圆、双曲线的几何性质，注意布列 a,b,c的方程。 若双曲线
10、 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则这个双曲线的离心率为 答案： 试题分析： 双曲线实轴长、虚轴长、焦距成等差数列， 4b=2a+2c，即 a+c=2b=2 ， a2+c2+2ac=4c2-4a2， 整理得 3e2-2e-5=0，解得 e= 或 e=-1（舍去） 考点：本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，等差数列基本知识。 点评：简单题，理解双曲线的几何性质，注意离心 率的范围。 已知双曲线 的离心率为 2，则 的值为 答案： 试题分析：因为双曲线 的离心率为 2，所以 ， m=27. 考点：本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质。 点评：基础题，理解双曲线的几何性质，注意离心率的表达形
11、式。 双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为 答案： 试题分析：双曲线的一个顶点的坐标为 (0,2)， 则可知双曲线焦点在 y轴上，且 a=2， 实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍 ,则 2a+2b= 2c 且有 c2=a2+b2, 即 2+b= c, c2=4+b2, 解得 b=2,c=2 . 双曲线标准方程为 . 考点：本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质。 点评：基础题，理解双曲线的几何性质，注意离心率的表达形式。 设中心在原点的椭圆与双曲线 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 答案： 试题分析：双曲线中， a=b= F
12、（ 1， 0）， e= = ， 椭圆的焦点为（ 1， 0），离心率为 则长半轴长为 ，短半轴长为 1， 方程为 ，故答案：为： 考点：本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质 。 点评：基础题，理解椭圆、双曲线的几何性质，注意发现 a,b,c,e的关系。 对于曲线 ，给出下面四个命题： 曲线 不可能表示椭圆； 当 时，曲线 表示椭圆； 若曲线 表示双曲线，则 或 ； 若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则 其中所有正确命题的序号为 答案： 试题分析：通过讨论 的正负、大小，明确真命题有 。 考点：本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程及几何性质。 点评：基础题，理解椭圆、双曲线的几何性质，注意发现
13、 a,b,c,e的关系。 解答题 求中心在原点，对称轴为坐标轴，一个焦点是 ，一条渐近线是的双曲线方程及离心率 答案： ，离心率 试题分析：解： 双曲线的一条渐近线是 ， 可设双曲线方程为 焦点是 ， 由 ，得 双曲线方程为 ，离心率 考点：本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质。 点评：基础题，理解双曲线的几何性质，注意这类题的一般设法。 已知 是双曲线 的左、右两焦点，过 作垂直于 轴的直线交双曲线于点 ，若 时，求双曲线的渐近线方程 答案： 试题分析：解：由 ，设 ，则 ， 那么 ， 因为 ，所以 ，即 也就是 ，得 故渐近线方程为 考点：本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质。 点评：
14、基础题，理解双曲线的几何性质，注意数形结合，探求解题途径。 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点所到的时间比其他两个观测点晚期4s已知各观测点到该中心的距离都是 1020m试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s，相关各点均在同一平面上） 答案：巨响发生在接报中心的西偏北 ，距中心 m处 试题分析： 解：以接报中心为原点 ，正东、正北方向分别 为 轴、 轴的正向建立平面直角坐标系 设 分别是西、东、北观测点， 则 设 为巨响发生点， 由 同时听到巨响，得 ， 故 在 的垂直平分线 上， 的方程为 因 点比 点晚
15、 4s听到爆炸声，故 由双曲线定义知 点在以 为焦点的双曲线 上，依题意得 ， ， 故双曲线方程为 用 代入上式，得 ， 由 ，得 ， ， 即 ，所以 故巨响发生在接报中心的西偏北 ，距中心 m处 考点：本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质。 点评：理解双曲线的定义、标准方程以及几何性质，注意理解问题的背景，运用数学知识解题。 已知动点 与双曲线 的两个焦点 的距离之和为定值，且的最小值为 ，求动点 的轨迹方程 答案： 试题分析：解： ， 设 ， ，则 （常数 ），所以点 是以 为焦点， 为长轴的椭圆， ， 由余弦定理，有 ， 当且仅当 时， 取得最大值 此时 取得最小值 ， 由题意
16、，解得 ， 点的轨迹方程为 考点：本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质，均值定理的应用。 点评：综合题，涉及 “焦点三角形 ”，一般要运用定义及余弦定理。 求过点 ，离心率为 的双曲线的标准方程 答案： 试题分析：解：（ 1）若焦点在 轴上，设方程为 ，则 ， 又 ， 得 由 、 ，得 ， ，得方程为 （ 2）若焦点在 轴上，同理可得 不合题意 故所求双曲线标准方程为 考点：本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质。 点评：基础题型，设出方程形式，注意对焦点可能在的坐标轴加以讨论。 已知双曲线 ， 是右顶点， 是右焦点，点 在轴的正半轴上，且满足 ， ， 成等比数列，过 作双曲线 在第一
17、、三象限的渐近线的垂线 ，垂足为 （ 1）求证： ； （ 2）若直线 与双曲线 的左、右两支分别相交于点 ，求双曲线 的离心率 的取值范围 答案：（ 1）证明：见。（ 2） 试题分析：（ 1）证明：直线 为 ， 在第一、三象限的渐近线 ， 解 、 得垂足 因为 ， ， 成等比数列， 所以可得点 所以 ， ， 所以 ， 因此 ； （ 2）解：由 得 ， 因为直线 与双曲线 的左、右两支分别相交于点 ， 所以 ， 所以 ，即 ， ， ， ， ， 因此 考点：本题主要考查直线与双曲线位置关系，双曲线的几何性质，等差数列基础知识，平面向量的数量积。 点评：综合性较强，在高考题中具有方向性。数形结合，综合应用韦达定理。
