2019高考数学二轮复习专题五解析几何第三讲圆锥曲线的综合应用第一课时圆锥曲线的最值、范围、证明问题能力训练理.doc

1、1第三讲 圆锥曲线的综合应用 第一课时 圆锥曲线的最值、范围、证明问题1(2018成都模拟)在平面直角坐标系 xOy中，已知 ABC的两个顶点 A， B的坐标分别为(1,0)，(1,0)，且 AC， BC所在直线的斜率之积等于2，记顶点 C的轨迹为曲线E.(1)求曲线 E的方程；(2)设直线 y kx2(0 k2)与 y轴相交于点 P，与曲线 E相交于不同的两点Q， R(点 R在点 P和点 Q之间)，且 ，求实数 的取值范围PQ PR 解析：(1)设 C(x， y)由题意，可得 2( x1)，yx 1 yx 1曲线 E的方程为 x2 1( x1)y22(2)设 R(x1， y1)， Q(x2，

2、 y2)联立，得Error!消去 y，可得(2 k2)x24 kx20， 8 k2160， k22.又 0 k2， k2.2由根与系数的关系得， x1 x2 ， 4k2 k2x1x2 . 22 k2 ，点 R在点 P和点 Q之间，PQ PR x2 x 1( 1) 联立，可得 . 1 2 8k22 k2 k2，2 (4， )，8k22 k2 82k2 1 1634 ， 1 2 163 3，且 1.13 1，实数 的取值范围为(1,3)22(2018武汉调研)已知抛物线 C： x22 py(p0)和定点 M(0,1)，设过点 M的动直线交抛物线 C于 A， B两点，抛物线 C在 A， B处的切线的

3、交点为 N.(1)若 N在以 AB为直径的圆上，求 p的值；(2)若 ABN的面积的最小值为 4，求抛物线 C的方程解析：设直线 AB： y kx1， A(x1， y1)， B(x2， y2)，将直线 AB的方程代入抛物线 C的方程得 x22 pkx2 p0，则 x1 x22 pk， x1x22 p. (1)由 x22 py得 y ，则 A， B处的切线斜率的乘积为 ，xp x1x2p2 2p点 N在以 AB为直径的圆上， AN BN， 1， p2.2p(2)易得直线 AN： y y1 (x x1)，直线 BN： y y2 (x x2)，x1p x2p联立，得Error!结合式，解得Error

4、!即 N(pk，1)|AB| |x2 x1| ，1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k24p2k2 8p点 N到直线 AB的距离 d ，|kxN 1 yN|1 k2 |pk2 2|1 k2则 ABN的面积 S ABN |AB|d 2 ，当 k0 时，取等号，12 p pk2 2 3 2p ABN的面积的最小值为 4，2 4， p2，故抛物线 C的方程为 x24 y.2p3(2018山西四校联考)如图，圆 C与 x轴相切于点 T(2,0)，与 y轴正半轴相交于两点 M、 N(点 M在点 N的下方)，且| MN|3.(1)求圆 C的方程；(2)过点 M任作一条直线与椭圆 1 相交于

5、两点 A、 B，连接 AN、 BN，求证：x28 y24 ANM BNM.解析：(1)设圆 C的半径为 r(r0)，依题意，圆心 C的坐标为(2， r)| MN|3， r2 22 2，解得 r2 .(32) 254圆 C的方程为( x2) 2 2 .(y52) 2543(2)证明：把 x0 代入方程( x2) 2 2 ，(y52) 254解得 y1 或 y4，即点 M(0,1)、 N(0,4)当 AB x轴时，可知 ANM BNM0.当 AB与 x轴不垂直时，可设直线 AB的方程为 y kx1.联立方程Error!，消去 y得，(12 k2)x24 kx60.设直线 AB交椭圆于 A(x1，

6、y1)、 B(x2， y2)两点，则 x1 x2 ， x1x2 . 4k1 2k2 61 2k2 kAN kBN .y1 4x1 y2 4x2 kx1 3x1 kx2 3x2 2kx1x2 3 x1 x2x1x2若 kAN kBN0，则 ANM BNM.2 kx1x23( x1 x2) 0， 12k1 2k2 12k1 2k2 ANM BNM.4(2018德州模拟)已知 C为圆( x1) 2 y28 的圆心， P是圆上的动点，点 Q在圆的半径 CP上，且有点 A(1,0)和 AP上的点 M，满足 0， 2 .MQ AP AP AM (1)当点 P在圆上运动时，求点 Q的轨迹方程；(2)若斜率为

7、 k的直线 l与圆 x2 y21 相切，与(1)中所求点 Q的轨迹交于不同的两点 F， H， O是坐标原点，且 时，求 k的取值范围34 OF OH 45解析：(1)由题意知 MQ是线段 AP的垂直平分线，所以| CP| QC| QP| QC| QA|2 | CA|2，2所以点 Q的轨迹是以点 C， A为焦点，焦距为 2，长轴长为 2 的椭圆，2所以 a ， c1， b 1，2 a2 c2故点 Q的轨迹方程是 y21.x22(2)设直线 l： y kx t， F(x1， y1)， H(x2， y2)，直线 l与圆 x2 y21 相切 1 t2 k21.|t|k2 1联立，得Error!(12 k2)x24 ktx2 t220， 16 k2t24(12 k2)(2t22)8(2 k2 t21)8 k20 k0，x1 x2 ， x1x2 ， 4kt1 2k2 2t2 21 2k2所以 OF OH x1x2 y1y24(1 k2)x1x2 kt(x1 x2) t2 kt t2 1 k2 2t2 21 2k2 4kt1 2k2 k21 1 k2 2k21 2k2 4k2 k2 11 2k2 ，1 k21 2k2所以 k2 | k| ，34 1 k21 2k2 45 13 12 33 22所以 k 或 k .22 33 33 22故 k的取值范围是 ， ， 22 33 33 22