1、1第三讲 圆锥曲线的综合应用 第一课时 圆锥曲线的最值、范围、证明问题1(2018成都模拟)在平面直角坐标系 xOy中，已知 ABC的两个顶点 A， B的坐标分别为(1,0)，(1,0)，且 AC， BC所在直线的斜率之积等于2，记顶点 C的轨迹为曲线E.(1)求曲线 E的方程；(2)设直线 y kx2(0 k2)与 y轴相交于点 P，与曲线 E相交于不同的两点Q， R(点 R在点 P和点 Q之间)，且 ，求实数 的取值范围PQ PR 解析：(1)设 C(x， y)由题意，可得 2( x1)，yx 1 yx 1曲线 E的方程为 x2 1( x1)y22(2)设 R(x1， y1)， Q(x2，
2、 y2)联立，得Error!消去 y，可得(2 k2)x24 kx20， 8 k2160， k22.又 0 k2， k2.2由根与系数的关系得， x1 x2 ， 4k2 k2x1x2 . 22 k2 ，点 R在点 P和点 Q之间，PQ PR x2 x 1( 1) 联立，可得 . 1 2 8k22 k2 k2，2 (4， )，8k22 k2 82k2 1 1634 ， 1 2 163 3，且 1.13 1，实数 的取值范围为(1,3)22(2018武汉调研)已知抛物线 C： x22 py(p0)和定点 M(0,1)，设过点 M的动直线交抛物线 C于 A， B两点，抛物线 C在 A， B处的切线的
3、交点为 N.(1)若 N在以 AB为直径的圆上，求 p的值；(2)若 ABN的面积的最小值为 4，求抛物线 C的方程解析：设直线 AB： y kx1， A(x1， y1)， B(x2， y2)，将直线 AB的方程代入抛物线 C的方程得 x22 pkx2 p0，则 x1 x22 pk， x1x22 p. (1)由 x22 py得 y ，则 A， B处的切线斜率的乘积为 ，xp x1x2p2 2p点 N在以 AB为直径的圆上， AN BN， 1， p2.2p(2)易得直线 AN： y y1 (x x1)，直线 BN： y y2 (x x2)，x1p x2p联立，得Error!结合式，解得Error
4、!即 N(pk，1)|AB| |x2 x1| ，1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k24p2k2 8p点 N到直线 AB的距离 d ，|kxN 1 yN|1 k2 |pk2 2|1 k2则 ABN的面积 S ABN |AB|d 2 ，当 k0 时，取等号，12 p pk2 2 3 2p ABN的面积的最小值为 4，2 4， p2，故抛物线 C的方程为 x24 y.2p3(2018山西四校联考)如图，圆 C与 x轴相切于点 T(2,0)，与 y轴正半轴相交于两点 M、 N(点 M在点 N的下方)，且| MN|3.(1)求圆 C的方程；(2)过点 M任作一条直线与椭圆 1 相交于
5、两点 A、 B，连接 AN、 BN，求证：x28 y24 ANM BNM.解析：(1)设圆 C的半径为 r(r0)，依题意，圆心 C的坐标为(2， r)| MN|3， r2 22 2，解得 r2 .(32) 254圆 C的方程为( x2) 2 2 .(y52) 2543(2)证明：把 x0 代入方程( x2) 2 2 ，(y52) 254解得 y1 或 y4，即点 M(0,1)、 N(0,4)当 AB x轴时，可知 ANM BNM0.当 AB与 x轴不垂直时，可设直线 AB的方程为 y kx1.联立方程Error!，消去 y得，(12 k2)x24 kx60.设直线 AB交椭圆于 A(x1，
6、y1)、 B(x2， y2)两点，则 x1 x2 ， x1x2 . 4k1 2k2 61 2k2 kAN kBN .y1 4x1 y2 4x2 kx1 3x1 kx2 3x2 2kx1x2 3 x1 x2x1x2若 kAN kBN0，则 ANM BNM.2 kx1x23( x1 x2) 0， 12k1 2k2 12k1 2k2 ANM BNM.4(2018德州模拟)已知 C为圆( x1) 2 y28 的圆心， P是圆上的动点，点 Q在圆的半径 CP上，且有点 A(1,0)和 AP上的点 M，满足 0， 2 .MQ AP AP AM (1)当点 P在圆上运动时，求点 Q的轨迹方程；(2)若斜率为
7、 k的直线 l与圆 x2 y21 相切，与(1)中所求点 Q的轨迹交于不同的两点 F， H， O是坐标原点，且 时，求 k的取值范围34 OF OH 45解析：(1)由题意知 MQ是线段 AP的垂直平分线，所以| CP| QC| QP| QC| QA|2 | CA|2，2所以点 Q的轨迹是以点 C， A为焦点，焦距为 2，长轴长为 2 的椭圆，2所以 a ， c1， b 1，2 a2 c2故点 Q的轨迹方程是 y21.x22(2)设直线 l： y kx t， F(x1， y1)， H(x2， y2)，直线 l与圆 x2 y21 相切 1 t2 k21.|t|k2 1联立，得Error!(12 k2)x24 ktx2 t220， 16 k2t24(12 k2)(2t22)8(2 k2 t21)8 k20 k0，x1 x2 ， x1x2 ， 4kt1 2k2 2t2 21 2k2所以 OF OH x1x2 y1y24(1 k2)x1x2 kt(x1 x2) t2 kt t2 1 k2 2t2 21 2k2 4kt1 2k2 k21 1 k2 2k21 2k2 4k2 k2 11 2k2 ，1 k21 2k2所以 k2 | k| ，34 1 k21 2k2 45 13 12 33 22所以 k 或 k .22 33 33 22故 k的取值范围是 ， ， 22 33 33 22
