1、 圆锥曲线 概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义 ： （ 1） 第一定义 中要 重视“括号”内的限制条件 ： 椭圆中 ，与两个定点 F1 ， F2 的距离的和等于常数2a ，且此 常数 2a 一定要大于 21FF ，当常数等于 21FF 时，轨迹是线段 F1 F2 ，当常数小于 21FF时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点 F1 ， F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数 2a 一定要小于|F1 F2 |， 定义中的 “绝对值”与 2a |F1 F2 |不可忽视 。若 2a |F1 F2 |，则轨迹是以 F1 ， F2 为端点的两条射线，若 2a |F1 F2 |
2、，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如 方程 2 2 2 2( 6 ) ( 6 ) 8x y x y 表示的曲线是 _（答：双曲线的左支） （ 2） 第二定义 中要 注意定点和定直线是相应的焦点和准线 ，且 “ 点点距为分子、点线距为分母 ”，其商即是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线 距离间的关系，要善于 运用第二定义对它们进行相互转化 。 如 已知点 )0,22(Q 及抛物线42xy 上一动点 P（ x,y） ,则 y+|PQ|的最小值是 _（答 2） 2.圆锥曲线的标准方程 （ 标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标
3、轴为对称轴时的标准位置的方程） ： （ 1） 椭圆 ： 焦点在 x 轴上时 12222 byax（ 0ab ），焦点在 y 轴上时2222bxay 1（ 0ab ）。方程 22Ax By C表示椭圆的充要条件是什么？（ ABC 0，且 A， B， C 同号， A B）。 如（ 1 ） 已知方程 12322 kykx表示椭圆，则 k 的取值范围为 _ （答：11( 3 , ) ( , 2 )22 ）； （ 2） 若 Ryx , ，且 623 22 yx ，则 yx 的最大值是 _， 22 yx 的最小值是 _（答：5,2 ） （ 2） 双曲线 ： 焦点在 x 轴上：2222byax =1，焦点在
4、 y 轴上：2222bxay 1（ 0, 0ab）。方程 22Ax By C表示双曲线的充要条件是什么？ （ ABC 0，且 A， B 异号 ）。 如 设中心在坐标原点 O ，焦点 1F 、 2F 在坐标轴上，离心率 2e 的双曲线 C 过点 )10,4( P ，则 C 的 方程为 _（答： 226xy） （ 3） 抛物线 ：开口向右时 2 2 ( 0 )y p x p，开口向左时 2 2 ( 0 )y p x p ，开口向上时2 2 ( 0 )x p y p，开口向下时 2 2 ( 0 )x p y p 。 如 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动， AB 中点为 M，求
5、点 M 到 x 轴的最短距离。453.圆锥曲线焦点位置的 判断 （首先化成标准方程，然后再判断） ： （ 1） 椭圆 ：由 x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 如 已知方程 12122 mymx 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 _（答：)23,1()1,( ） （ 2） 双曲线 ： 由 x 2 ,y 2 项系数的正负决定， 焦点在系数为正的坐标轴上； （ 3） 抛物线 ： 焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒 ： （ 1） 在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F1 ， F2 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决
6、定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中 的两个参数 ,ab，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （ 2） 在椭圆中， a 最大， 2 2 2a b c，在双曲线中， c 最大， 2 2 2c a b。 4.圆锥曲线的几何性质 ： （ 1） 椭圆 （以 12222 byax（ 0ab ）为例）： 范围 ： ,a x a b y b ； 焦点 ：两个焦点 ( ,0)c ； 对称性 ： 两条对称轴 0, 0xy，一个对称中心（ 0,0）， 四个顶点( , 0 ), (0, )ab，其中长轴长为 2a ，短轴长为 2b ； 准线 ： 两条
7、准线 2ax c ； 离心率 ： ce a ，椭圆 01e， e 越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁。 如（ 1） 若椭圆 1522 myx的离心率510e，则 m 的值是 _（答： 3 或325）； （ 2） 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为 _（答： 22 ） （ 2） 双曲线 （以 221xyab（ 0, 0ab）为例）： 范围 ： xa 或 ,x a y R； 焦点 ： 两个焦点 ( ,0)c ； 对称性 ： 两条对称轴 0, 0xy，一个对称中心（ 0,0）， 两个顶点 ( ,0)a ，其中实轴长为 2a ，虚轴长为 2b ， 特别
8、地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22 ,0x y k k ； 准线 ： 两条准线 2ax c ； 离心率： ce a ， 双曲线 1e ， 等轴双曲线 2e ， e 越小，开口越小， e 越大，开口越大； 两条渐近线 ： byxa。 如 （ 1） 双曲线的渐近线方程是 023 yx ，则该双曲线的离心率等于 _（答： 132或 133）； （ 2） 双曲线 221ax by的离心率为 5 ，则 :ab= （答： 4 或 14）； （ 3） 已知 F1、 F2 为 双曲线 2212 0 1 0 2 0 0 9xy的 左 焦点 ,顶点为 A1、 A2, P 是双曲线上任意一
9、点 ,则分别以线段 PF1、 A1A2 为直径的两圆一定 （ b ） A 相交 B 相切 C 相离 D 以上情况均有可能 （ 3） 抛物线 （以 2 2 ( 0 )y p x p为例）： 范围 ： 0,x y R； 焦点： 一个焦点 ( ,0)2p，其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离； 对称性 ： 一条对称轴 0y ，没有对称中心，只有 一个顶点（ 0,0） ； 准线 ： 一条准线2px； 离心率 ： cea，抛物线 1e 。 如 设 Raa ,0 ，则抛物线 24axy 的焦点坐标为 _（答： )161,0( a）； 5、点00( , )P x y和椭圆 12222 byax（ 0ab
10、 ）的关系 ：（ 1）点00( , )P x y在椭圆外 22001xyab；（ 2）点 00( , )P x y 在椭圆上 220220byax 1；（ 3）点00( , )P x y在椭圆内 22001xyab 6 直线与圆锥曲线的位置关系 ： （ 1）相交 ： 0 直线与椭圆相交； 0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 0 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0 也仅是直线
11、与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 如（ 1） 若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是 _（答：(-315,-1)）； （ 2） 直线 y kx 1=0 与椭圆 2215xym恒有公共点，则 m 的取值范围是 _（答： 1， 5）（ 5， +）； （ 3） 过双曲线 12122 yx 的右焦点直线交双曲线于 A、 B 两点，若 AB 4，则这样的直线有_条 （答： 3）； （ 2） 相切： 0 直线与椭圆相切； 0 直线与双曲线相切； 0 直线与抛物线相切； （ 3） 相离 ： 0 直线与椭圆相离； 0 直线与双曲线相离； 0 直线与
12、抛物线相离。 特别提醒 ： （ 1） 直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两 种情形 ：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时 ,直线与双曲线 相交 ,但 只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时 ,直线与抛物线 相交 ,也 只有一个交点 ； （ 2） 过 双曲线2222byax 1 外一点00( , )P x y的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相 切的两条切线，共四条；
13、 P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； P 为原点时不存在这样的直线； （ 3） 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如（ 1） 过点 )4,2( 作直线与抛物线 xy 82 只有一个公共点，这样的直线有 _（答： 2）； （ 2） 过点 (0,2)与双曲线 116922 yx 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值 范围为 _（答：4 4 5,33）； （ 3） 过双曲线 1222 yx 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、 B 两点，若 AB 4，则满足条件的直线 l 有 _条（答： 3）； （
14、 4） 对于抛物线 C： xy 42 ，我们称满足020 4xy 的点 ),(00 yxM在抛物线的内部，若点),( 00 yxM 在抛物线的内部，则直线 l ： )(2 00 xxyy 与抛物线 C 的位置关系是 _（答：相离）； （ 5） 过抛物线 xy 42 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、q ，则 qp 11 _（答： 1）； （ 6） 设双曲线 191622 yx 的右焦点为 F ，右准线为 l ，设某直线 m 交其左支、右支和右准线分别于 RQP , ，则 PFR 和 QFR 的大小关系为 _(填大于、小于或等于 ) （答：
15、等于）； （ 7） 求椭圆 2847 22 yx 上的点到直线 01623 yx 的最短距离（答： 8 1313）； （ 8） 直线 1 axy 与双曲线 13 22 yx 交于 A 、 B 两点。 当 a 为何值时， A 、 B 分别在双曲线的两支上？ 当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？（答： 3, 3 ； 1a ）； 7、焦半径 （圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 r ed ，其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。 如（ 1） 已知椭圆 1162522 yx 上一点 P 到椭圆左焦点的
16、距离为 3，则点 P 到右准线的距离为 _（答：353 ）； （ 2） 已知抛物线方程为 xy 82 ，若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离等于 _； （ 3） 若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4，则点 M 的坐标为 _（答： 7,(2, 4) ）； （ 4） 点 P 在椭圆 192522 yx 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P 的横坐标为 _（答： 2512）； （ 5） 抛物线 xy 22 上的两点 A、 B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 _（答： 2）； （ 6） 椭圆 13422 yx 内有一点 )1
17、,1( P ， F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使 MFMP 2 之值最小，则点 M 的坐标为 _（答： )1,362( ）； 8、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形） 问题 ： 20t a n | |2S b c y，当0|yb即 P 为短轴端点 时，maxS的最大值为 bc； 对于双曲线2tan2bS 。 如 （ 1） 短轴长为 5 ，离心率32e的椭圆的两焦点为 1F 、 2F ，过 1F 作直线交椭圆于 A、 B 两 点，则 2ABF 的周长为_（答： 6）； （ 2） 设 P 是等轴双曲线 )0(222 aayx 右支上一点， F1、 F2 是左右焦点，若 0
18、212 FFPF ，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答： 224xy） ； （ 3） 椭圆 22194xy的焦点为 F1、 F2，点 P 为椭圆上的动点，当 PF2 PF1 0)上异于原点的两点， 0OA OB，点 C 坐标为（ 0， 2p） （ 1） 求证： A,B,C 三点共线； （ 2）若 AM BM （ R ）且 0OM AB试求点 M 的轨迹方程。 （ 1）证明：设 221212( , ) , ( , )xxA x B xpp，由 0OA OB得 22 2121 2 1 20 , 422xxx x x x ppp ，又 2 2 21 2 11 2 1( , 2 ) , ( ,
19、)22x x xA C x p A B x xpp 2 2 22 1 11 2 1( 2 ) ( ) 022x x xx p x xpp ， /AC AB ，即 A,B,C 三点 共线。 （ 2）由（ 1）知直线 AB 过定点 C，又由 0OM AB及 AM BM （ R ）知 OMAB，垂足为 M，所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆，除去坐标原点。即点 M 的轨迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。 15.圆锥曲线中线段的最值问题： 例 1、 (1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小 ,则点 P 的坐标为_ (2)抛物线 C:
20、y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为 。 FAPH BQFFP Hy0 xA分析： （ 1） A 在抛物线外，如图，连 PF，则 PFPH ，因而易发现，当 A、P、 F 三点共线时，距离和最小。 （ 2） B 在抛物线内，如图，作 QR l 交于 R，则当 B、 Q、 R 三点共线时，距离和最小。 解：（ 1）（ 2， 2 ）（ 2）（ 1,41） 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。 例 2、 F 是椭圆 13422 yx 的右焦点， A(1,1)为椭圆内一定点， P 为椭圆上一动点。 （
21、1） PFPA 的最小值为 （ 2） PFPA 2 的最小值为 分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径 FP 或准线作出来考虑问题。 解：（ 1） 4- 5 设另一焦点为 F ，则 F (-1,0)连 AF ,PF 542)(22 FAaPAFPaFPaPAPFPA 当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时 , PFPA 取得最 小值为 4- 5 。 （ 2） 3 作出右准线 l，作 PH l 交于 H，因 a2=4， b2=3， c2=1， a=2， c=1， e=21， PHPFPHPF 2,21 即 PHPAPFPA 2 当 A、 P、 H 三点共线时，其和最小，最小值为 3142 Axca
