圆锥曲线常用结论总结.pdf_麦多课文库mydoc123.com

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1、第1页共12页圆锥曲线及其常用结论1 椭圆（ 1）椭圆概念平面内与两个定点 1F 、 2F 的距离的和等于常数 2a（大于 21| |FF ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 2c叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点，则有 21| | | | 2MF MF a 。椭圆的标准方程为： 2 22 2 1x ya b （ 0a b ）（焦点在 x 轴上）或 12222 bxay （ 0a b

2、）（焦点在 y 轴上）。注：以上方程中 ,a b的大小 0a b ，其中 2 2 2b a c ；在 2 22 2 1x ya b 和 2 22 2 1y xa b 两个方程中都有 0a b 的条件，要分清焦点的位置，只要看 2x 和 2y 的分母的大小。例如椭圆 2 2 1x ym n （ 0m ， 0n ， m n ）当 m n 时表示焦点在 x轴上的椭圆；当 m n 时表示焦点在 y 轴上的椭圆。（ 2）椭圆的性质范围：由标准方

3、程 2 22 2 1x ya b 知 | |x a ， | |y b ，说明椭圆位于直线 x a ， y b 所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以 y 代替 y 方程不变，所以若点 ( , )x y 在曲线上时，点 ( , )x y 也在曲线上，所以曲线关于 x轴对称，同理，以 x 代替 x方程不变，则曲线关于 y 轴对称。若同时以 x 代替 x， y 代替 y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，

4、椭圆关于 x轴、 y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 x轴、 y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x ，得 y b ，则 1(0, )B b ， 2(0, )B b 是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令 0y 得 x a ，即 1( ,0)A a ，2( ,0)A a 是椭圆与

5、x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段 21A A 、 21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 2a和 2b， a和 b分别叫做椭圆的长第2页共12页半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a；在 2 2Rt OB F 中， 2| |OB b ， 2| |OF c ， 2 2| |B F a ，且 2 2 22 2 2

6、2| | | | | |OF B F OB ，即 2 2 2c a b ；离心率：椭圆的焦距与长轴的比 ce a 叫椭圆的离心率。 0a c ， 0 1e ，且 e越接近 1， c就越接近 a，从而 b 就越小，对应的椭圆越扁；反之， e越接近于 0 ， c就越接近于 0 ，从而 b 越接近于 a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a b 时， 0c ，两焦点重合，图形变为圆，方程为 2 2 2x y a 。2 双曲线（ 1）

8、时， 1 2| | | | 2PF PF a 不表示任何图形；两定点 1 2,F F 叫做双曲线的焦点， 1 2| |FF 叫做焦距。（ 2）双曲线的性质范围：从标准方程 12222 byax ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 ax 的外侧。即22 ax ， ax 即双曲线在两条直线 ax 的外侧。对称性：双曲线 12222 byax 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是

9、双曲线的对称轴，原点是双曲线 12222 byax 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 12222 byax 的方程里，对称轴是 ,x y轴，所以令 0y 得 ax ，因此双曲线和 x轴有两个交点 )0,()0,( 2 aAaA ，他们是双曲线 12222 byax 的顶点。令 0x ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交

10、点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个第3页共12页端点。2）实轴：线段 2AA 叫做双曲线的实轴，它的长等于 2 ,a a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 2BB 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2 ,b b叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对

11、角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线 12222 byax 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式： a b ；2）等轴双曲线的性质：（ 1）渐近线方程为： xy ；（ 2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，

12、即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征 a b ，则等轴双曲线可以设为： )0(22 yx ，当 0 时交点在 x轴，当 0 时焦点在 y 轴上。注意 1916 22 yx 与 2 2 19 16y x 的区别：三个量 , ,a b c中 ,a b不同（互换） c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3 抛物线（ 1）抛物线的概念平面内与一定点 F和一条定直线

13、l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (定点 F不在定直线 l 上 )。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l叫做抛物线的准线。方程 022 ppxy 叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在 x轴的正半轴上，焦点坐标是 F（ 2p ,0），它的准线方程是 2px ；（ 2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情

14、况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式： pxy 22 ， pyx 22 ， pyx 22 .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：第4页共12页标准方程 2 2( 0)y pxp 2 2( 0)y pxp 2 2( 0)x pyp 2 2( 0)x pyp图形焦点坐标 ( ,0)2p ( ,0)2p (0, )2p (0, )2p准线方程 2px 2px 2py 2py 范围 0x 0x 0y 0y 对称性 x轴 x轴 y 轴 y 轴顶点 (0,0)

15、(0,0) (0,0) (0,0)离心率 1e 1e 1e 1e说明：（ 1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（ 2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（ 3）注意强调 p 的几何意义：是焦点到准线的距离。一、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义 1 到两定点 F1,F2的距离

16、之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2 与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹 .（ 01）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 .轨迹条件点集： (M MF1+ MF2=2a, F 1F2 2a. 点集： M MF1 - MF2 .= 2a, F2F2 2a. 点集 M MF =点 M 到直线 l 的距离 .o F xyl o xyF l xy oFl第5页共12页图形方程标准方程 12222 byax ( ba 0) 12222 byax (a0,b0) pxy 22 参

17、数方程为离心角）参数 ( sincos by ax为离心角）参数 ( tansec by ax pty ptx 22 2 (t为参数 )范围 axa， byb |x| a， yR x0中心原点 O（ 0， 0）原点 O（ 0， 0）顶点 (a,0), ( a,0),(0,b) , (0, b) (a,0), ( a,0) (0,0)对称轴 x 轴， y轴；长轴长 2a,短轴长 2b x轴， y 轴 ;实轴长 2a, 虚轴长 2b. x轴焦点 F1(c,0), F2( c,0) F1(c,0), F2( c,0) )0,2( pF准线 x= ca

18、2准线垂直于长轴，且在椭圆外 . x= ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧 . x=- 2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等 .焦距 2c （ c= 22 ba ） 2c （ c= 22 ba ）离心率 )10( eace )1( eace e=1【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线 222 ayx 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy ，离心率 2e .第6页共12页共轭双曲线：以已知双曲线的

19、虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线 . 2222 byax 与 2222 byax 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 02222 byax . 共渐近线的双曲线系方程： )0(2222 byax 的渐近线方程为 02222 byax 如果双曲线的渐近线为 0 byax 时，它的双曲线方程可设为 )0(2222 byax .【备注 2】抛物线：（ 1）抛物线 2y =2px(p0)的焦

20、点坐标是 ( 2p ,0)，准线方程 x=- 2p ，开口向右；抛物线 2y =-2px(p0)的焦点坐标是 (- 2p ,0)，准线方程 x= 2p ，开口向左；抛物线 2x =2py(p0)的焦点坐标是 (0, 2p )，准线方程 y=- 2p ，开口向上；抛物线 2x =-2py（ p0）的焦点坐标是（ 0,- 2p ），准线方程 y= 2p ，开口向下 .（ 2）抛物线 2y =2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F的距离 20 px

21、MF ；抛物线 2y =-2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 02 xpMF （ 3）设抛物线的标准方程为 2y =2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 2p ，顶点到准线的距离 2p ，焦点到准线的距离为 p.（ 4）已知过抛物线 2y =2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、 B 两点，则线段 AB称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB = 21 xx +p 或 2sin2pA

22、B ( 为直线 AB 的倾斜角 )， 221 pyy ， 2,4 1221 pxAFpxx ( AF叫做焦半径 ).-你看不见的分割 -划重点，敲黑板 -椭圆的常用结论：1. 点 P 处的切线 PT平分 PF1F2在点 P 处的外角 .2. PT平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 .4. 以

23、焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .5. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 22 2 1x ya b 上，则过 0P 的椭圆的切线方程是 0 02 2 1x x y ya b .第7页共12页6. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 22 2 1x ya b 外，则过 0P 作椭圆的两条切线切点为 P1、 P2，则切点弦 P1P2的直线方程是0 02 2 1x x y ya b .7. 椭圆 2 22 2 1x ya b (a b 0)的

24、左右焦点分别为 F1， F2，点 P为椭圆上任意一点 1 2FPF ，则椭圆的焦点角形的面积为 1 2 2 tan 2F PFS b .8. 椭圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0）的焦半径公式1 0| |MF a ex , 2 0| |MF a ex ( 1( ,0)F c , 2( ,0)F c 0 0( , )M x y ).9. 设过椭圆焦点 F作直线与椭圆相交 P、 Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ分别交相应于焦点F

25、的椭圆准线于 M、 N两点，则 MF NF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、 Q, A1、 A2为椭圆长轴上的顶点， A1P 和 A2Q交于点 M， A2P 和 A1Q交于点 N，则 MF NF.11. AB是椭圆 2 22 2 1x ya b 的不平行于对称轴的弦， M ),( 00 yx 为 AB的中点，则 22OM AB bk k a ，即02 02 ya xbKAB 。12. 若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 22 2 1x ya b 内

26、，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 2 20 0 0 02 2 2 2x x y y x ya b a b ；【推论】：1、若 0 0 0( , )P x y 在椭圆 2 22 2 1x ya b 内，则过 Po的弦中点的轨迹方程是 2 2 0 02 2 2 2x x y yx ya b a b 。椭圆 2 22 2 1x ya b （ a b o）的两个顶点为 1( ,0)A a , 2( ,0)A a ，与 y轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方

27、程是 2 22 2 1x ya b .2、过椭圆 2 22 2 1x ya b (a 0, b 0)上任一点 0 0( , )A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C两点，则直线 BC 有定向且 2 02 0BC b xk a y （常数） .3、若 P 为椭圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2是焦点 , 1 2PFF , 2 1PF F ，第8页共12页则 tan t2 2a c coa c .4、设椭圆 2 22 2 1x

28、 ya b （ a b 0）的两个焦点为 F1、 F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在 PF1F2中，记1 2FPF , 1 2PFF , 1 2FF P ，则有 sinsin sin c ea .5、若椭圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0）的左、右焦点分别为 F1、 F2，左准线为 L，则当 0 e 2 1 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d与 PF2的比例中项 .6、 P 为椭圆 2 22 2 1x ya b

29、（ a b 0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A 为椭圆内一定点，则2 1 12 | | | | | | 2 | |a AF PA PF a AF ,当且仅当 2, ,A F P三点共线时，等号成立 .7、椭圆 2 20 02 2( ) ( ) 1x x y ya b 与直线 0Ax By C 有公共点的充要条件是2 2 2 2 20 0( )A a B b Ax By C .8、已知椭圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0）， O 为坐标原点， P、 Q 为椭圆上两

30、动点，且 OP OQ .（ 1）2 2 2 21 1 1 1| | | |OP OQ a b ;（ 2） |OP|2+|OQ|2的最大值为 2 22 24a ba b ;（ 3） OPQS 的最小值是 2 22 2a ba b .9、过椭圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N两点，弦 MN的垂直平分线交 x轴于 P，则 | | | 2PF eMN .10、已知椭圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0） ,A、 B、是椭圆上的两点，线

31、段 AB的垂直平分线与 x轴相交于点 0( ,0)P x ,则 2 2 2 20a b a bxa a .11、设 P 点是椭圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1、 F2为其焦点记 1 2FPF ，则(1) 21 2 2| | | 1 cosbPF PF .(2) 1 2 2 tan 2PF FS b .第9页共12页12、设 A、 B 是椭圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0）的长轴两端点， P 是椭圆上的一点， PAB ,PBA , BPA

32、， c、 e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有 (1) 22 2 22 | cos | | sabPA a c co .(2)2tan tan 1 e .(3) 2 22 22 cotPAB a bS b a .13、已知椭圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0）的右准线 l与 x 轴相交于点 E，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B两点 ,点 C在右准线 l上，且 BC x 轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点 .14、过椭圆焦半径的端点作椭

33、圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 .15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 .16、椭圆焦三角形中 ,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率 ).（注 :在椭圆焦三角形中 ,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点

34、分别称为内、外点 .）17、椭圆焦三角形中 ,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18、椭圆焦三角形中 ,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 .双曲线的常用结论：1、点 P 处的切线 PT平分 PF1F2在点 P 处的内角 .2、 PT平分 PF1F2在点 P处的内角，则焦点在直线 PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3、以焦点弦 PQ

35、为直径的圆必与对应准线相交 .4、以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切： P 在右支；外切： P在左支）5、若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0）上，则过 0P 的双曲线的切线方程是 0 02 2 1x x y ya b .6、若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0）外，则过 Po 作双曲线的两条切线

36、切点为 P1、 P2，则切点弦P1P2的直线方程是 0 02 2 1x x y ya b .7、双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b o）的左右焦点分别为 F1， F2，点 P 为双曲线上任意一点 1 2FPF ，则双曲线的焦点角形的面积为 1 2 2 t 2F PFS b co .8、双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b o）的焦半径公式： ( 1( ,0)F c , 2( ,0)F c ）当 0 0( , )M x y 在右支上时，1 0|

37、|MF ex a , 2 0| |MF ex a ；当 0 0( , )M x y 在左支上时， 1 0| |MF ex a , 2 0| |MF ex a 。第10页共12页9、设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交 P、 Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M、 N 两点，则 MF NF.10、过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、 Q, A1、 A2为双曲线实轴上的

38、顶点， A1P 和 A2Q交于点 M， A2P和 A1Q交于点 N，则 MF NF.11、 AB 是双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦， M ),( 00 yx 为 AB的中点，则 02 02 ya xbKK ABOM ，即 02 02 ya xbKAB 。12、若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 2 20 0 0 02 2 2 2x x y y x ya b a b

39、 .13、若 0 0 0( , )P x y 在双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 2 0 02 2 2 2x x y yx ya b a b .【推论】：1、双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0）的两个顶点为 1( ,0)A a , 2( ,0)A a ，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、 P2时A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 2 22 2 1x ya b .2、过双曲线 2 22 2 1x ya

40、 b （ a 0,b o）上任一点 0 0( , )A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C两点，则直线 BC 有定向且 2 02 0BC b xk a y （常数） .3、若 P 为双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点 ,F1, F 2是焦点 , 1 2PFF ,2 1PF F ，则 tan t2 2c a coc a （或 tan t2 2c a coc a ） .4、设双曲线 2 22 2 1x ya b

41、（ a 0,b 0）的两个焦点为 F1、 F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在 PF1F2中，记 1 2FPF , 1 2PFF , 1 2FF P ，则有 sin(sin sin ) c ea .5、若双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0）的左、右焦点分别为 F1、 F2，左准线为 L，则当 1 e 2 1 时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d与 PF2的比例中项 .第11页共12页6、 P 为双

42、曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A 为双曲线内一定点，则2 1| | 2 | | | |AF a PA PF ,当且仅当 2, ,A F P三点共线且 P和 2,A F 在 y 轴同侧时，等号成立 .7、双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0）与直线 0Ax By C 有公共点的充要条件是 2 2 2 2 2A a B b C .8、已知双曲线 2 22 2 1x ya b （ b a 0）， O 为坐标原

43、点， P、 Q 为双曲线上两动点，且 OP OQ .（ 1） 2 2 2 21 1 1 1| | | |OP OQ a b ;（ 2） |OP|2+|OQ|2的最小值为 2 22 24a bb a ;（ 3） OPQS 的最小值是 2 22 2a bb a .9、过双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0）的右焦点 F作直线交该双曲线的右支于 M,N两点，弦 MN的垂直平分线交x轴于 P，则 | | | 2PF eMN .10、已知双曲线 2 22 2 1x ya b （

44、 a 0,b 0） ,A、 B是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与 x轴相交于点 0( ,0)P x ,则 2 20 a bx a 或 2 20 a bx a .11、设 P 点是双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0）上异于实轴端点的任一点 ,F1、 F2为其焦点记 1 2FPF ，则(1) 21 2 2| | | 1 cosbPF PF .(2) 1 2 2 cot 2PF FS b .12、设 A、 B 是双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0）的长轴

45、两端点， P 是双曲线上的一点， PAB ,PBA , BPA ， c、 e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1) 22 2 22 | cos | | | s |abPA a c co .(2) 2tan tan 1 e .(3) 2 22 22 cotPAB a bS b a .13、已知双曲线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0）的右准线 l与 x 轴相交于点 E，过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、 B 两点 ,点 C 在右准线 l上，且

46、BC x 轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点 .14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线第12页共12页垂直 .15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 .16、双曲线焦三角形中 ,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率 ).(注 :在双曲线焦三角形中 ,非焦顶点的内、外角平

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