1、 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 1 圆锥曲线的方程与性质 1椭圆 （ 1）椭圆概念 平面内与两个定点1F、 2F 的距离的和等于常数 2a （大于21|FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点，则有21| | | | 2M F M F a。 椭圆的标准方程为： 221xyab（ 0ab ）（焦点在 x 轴上）或 12222 bxay（ 0ab ）（焦点在 y 轴上）。 注：以上方程中 ,ab的大小 0ab ，其中 2 2 2b a c； 在 221xyab和 221yxab两个方程中都有 0ab
2、的条件，要分清焦点的位置，只要看 2x 和 2y 的分母的大小。例如椭圆 221xymn（ 0m ， 0n ， mn ）当 mn 时表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 mn 时表示焦点在 y 轴上的椭圆。 （ 2）椭圆的性质 范围：由标准方程 221xyab知 |xa ， |yb ，说明椭圆位于直 线 xa ， yb 所围成的矩形里； 对称性：在曲线方程里，若以 y 代替 y 方程不变，所以若点 ( , )xy 在曲线上时，点 ( , )xy 也在曲线上，所以曲线关于 x 轴对称，同理，以 x 代替 x 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。若同时以 x 代替 x ， y 代替 y方程也不变，则曲线关
3、于原点对称。 所以，椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆 的中心； 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x ，得 yb ，则 1(0, )Bb ， 2(0, )Bb是椭圆与 y 轴的两个交点。同理令 0y 得 xa ，即 1( ,0)Aa ，2( ,0)Aa 是椭圆与 x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 2 同时，线段21AA、21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，它
4、们的长分别为 2a 和 2b ， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ；在 22Rt OB F 中， 2|OB b ， 2|OF c ， 22|B F a ，且 2 2 22 2 2 2| | | | | |O F B F O B，即 2 2 2c a b； 离心率： 椭圆的焦距与长轴的比 cea叫椭圆的离心率 。 0ac ， 01e，且 e 越接近 1 ， c 就越接近 a ，从而 b 就越小，对应的椭圆越扁；反之， e 越接近于 0 ， c 就越接近于 0 ，从而 b 越接近于 a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当 ab 时，
5、0c ，两焦点重合，图形变为圆，方程为 2 2 2x y a。 2双曲线 （ 1）双曲线的概念 平面上与两点距离的 差的绝对值为非零常数的动点轨迹是 双曲线（ 12| | | | 2P F P F a）。 注意： 式中是差的绝对值，在 120 2 | |a F F 条件下； 12| | | | 2P F P F a时为双曲线的一支；21| | | | 2P F P F a时为双曲线的另一支（含 1F 的一支）； 当 122 | |a F F 时， 12| | | | 2P F P F a表示两条射线； 当 122 | |a F F 时， 12| | | | 2P F P F a不表示任何图形；
6、 两定点 12,FF叫做双曲线的焦点， 12|FF 叫做焦距。 （ 2）双曲线的性质 范围：从标准方程 12222 byax，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 ax 的外侧。即22 ax ， ax 即双曲线在两条直线 ax 的外侧。 对称性：双曲线 12222 byax关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线 12222 byax的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线 12222 byax的方程里，对称轴是 ,xy轴，所内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 3 以令 0
7、y 得 ax ，因此双曲线和 x 轴有两个交点 )0,()0,(2 aAaA ，他们是双曲线 12222 byax的顶点。 令 0x ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴：线段2AA叫做双曲线的实轴，它的长等于 2,aa叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2,bb 叫做双曲线的虚半轴长。 渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线 12222 byax的各支向外延伸时，与这两条 直线
8、逐渐接近。 等轴双曲线： 1）定义： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 定义式： ab ； 2） 等轴双曲线的性质：（ 1）渐近线方程为： xy ；（ 2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。 3）注意到等轴双曲线的特征 ab ，则 等轴双曲线可以设为： )0(22 yx ，当 0 时交点在 x 轴，当 0 时焦点在 y 轴上。 注意 191622 yx 与 2219 16yx的区别：三个量 ,abc中 ,ab不同（互换） c 相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。 3抛物线 （ 1）抛物线的概念 平面
9、内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (定点 F 不在定直线 l 上 )。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l叫做抛物线的准线。 方程 022 ppxy 叫做抛物线的标准方程。 注意 ： 它表示的抛物线的焦点在 x轴的正半轴上， 焦点坐标是 F（2p,0），它的准线方程是2px ； （ 2）抛物线的性质 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 4 一条抛物 线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式： pxy 22 ， pyx 22 ， pyx 22 .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以
10、及准线方程如下表： 标准方程 2 2( 0)y pxp2 2( 0)y pxp2 2( 0)x pyp2 2( 0)x pyp图形 焦点坐标 ( ,0)2p( ,0)2p(0, )2p(0, )2p准线方程 2px2px2py2py范围 0x 0x 0y 0y 对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 1e 1e 1e 1e 说明：（ 1）通径： 过抛物线的 焦点且垂直于对称轴的弦称为通径 ； （ 2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线 ；（ 3） 注意强调 p 的几何意义：是焦
11、点到准线的距离。 o F x y l o x y F l x y o F l 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 5 4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、 方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那 么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线 C的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0)在曲线 C上 f(x0,y 0)=0；点
12、P0(x0,y0)不在曲线C上 f(x0,y0) 0。 两条曲线的交点：若曲线 C1， C2的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)是 C1， C2的交点 0),(0),(002001 yxf yxf 方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆： 1、定义： 点集 M OM =r，其中定点 O为圆心，定长 r为半径 . 2、方程： (1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为 r的圆方程是 x2+y2=r2 (2)一般方程：当
13、 D2+E2-4F 0时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆 心为 )2,2( ED 半径是2 422 FED 。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0化为 (x+2D)2+(y+2E)2=4 4F-ED22 当 D2+E2-4F=0时，方程表示一个点 (-2D,-2E); 当 D2+E2-4F 0时，方程不表示任何图形 . （ 3） 点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M的坐标为 (x0,y0)，则 MC r 点 M在圆 C内，MC =r 点 M在圆 C上， MC r 点 M在圆 C内，其中 MC = 2020 b)-(ya)-(x
14、。 （ 4） 直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交 有两个公共点；直线与圆相切 有一个公共点；直线与圆相离 没有公共点。 直线和圆的位置关系的判定： (i)判别式法； (ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0的距离22 BACBbAad与半径 r的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定 点的一条定直线 l的距离之 比是一个常数 e(e 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线 l称为准线，正常数 e称为离心率。当 0 e 1时，轨迹为椭
15、圆；当 e=1时，轨迹为抛物线；当 e 1时，轨迹为双曲线。 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 6 四、椭圆、双曲线、抛物线： 椭圆 双曲线 抛物线 定义 1到两定点 F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹 2与定点和直线的距离之比为定值 e的点的轨迹 .（ 01） 与定点和直线的距离相等的点的轨迹 . 轨迹条件 点集： (M MF1+ MF2=2a, F 1F2 2a. 点集： M MF1 - MF2 . = 2a, F2F2 2a. 点集 M MF =点 M到直线 l的距离 . 图形 方 程 标准方程 12222 byax ( ba 0) 1
16、2222 byax (a0,b0) pxy 22 参数方程 为离心角）参数 (s inc os by ax 为离心角）参数 (tans ec by ax pty ptx 22 2 (t为参数 ) 范围 axa， byb |x| a， yR x0 中心 原点 O（ 0， 0） 原点 O（ 0， 0） 顶点 (a,0), ( a,0), (0,b) , (0, b) (a,0), ( a,0) (0,0) 对称轴 x轴， y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b x轴， y轴 ; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x轴 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 7 焦点 F1(c,0),
17、 F2( c,0) F1(c,0), F2( c,0) )0,2(pF准 线 x=ca2 准线垂直于长轴，且在椭圆外 . x=ca2 准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧 . x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等 .焦距 2c （ c= 22 ba ） 2c （ c= 22 ba ） 离心率 )10( eace)1( eacee=1 【备注 1】双曲线： 等轴双曲线：双曲线 222 ayx 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy ，离心率 2e . 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线 . 2222byax与 2222 byax 互为共
18、轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 02222 byax . 共渐近线的双曲线系方 程： )0(2222 byax的渐近线方程为 02222 byax如果双曲线的渐近线为 0byax时，它的双曲线方程可设为 )0(2222 byax. 【备注 2】抛物线： （ 1）抛物线 2y =2px(p0)的焦点坐标是 (2p,0)，准线方程 x=-2p，开口向右；抛物线2y =-2px(p0)的焦点坐标是 (-2p,0)，准线方程 x=2p，开口向左；抛物线 2x =2py(p0)的焦点坐标是 (0,2p)，准线方程 y=-2p，开口向上； 抛物线 2x =-2py（ p0）的焦点坐标是（ 0,-2p），
19、准线方程 y=2p，开口向下 . （ 2）抛物线 2y =2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F的距离20 pxMF ；抛物线 2y =-2px(p0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F的距离02 xpMF （ 3）设抛物线的标准方程为 2y =2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p， 焦点到准线的距离为 p. （ 4） 已知过抛物线 2y =2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、 B 两点，则线段 AB称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB = 21 xx +p 或2sin2 pAB (为直线 AB 的倾斜角 )， 22
20、1 pyy ，2,4 1221pxAFpxx (AF叫做焦半径 ). 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 8 五、坐标的变换： （ 1）坐标变换：在解析几何中，把 坐标系的变换 (如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向 )叫做坐标变换 .实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程 . （ 2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。 （ 3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点 M，它在原坐标系 xOy中的坐标是 （ x,y)，在新坐标系 x O y中的坐标是 ),
21、( yx .设新坐标系的原点 O在原坐标系 xOy中的坐标是 (h,k)，则 kyyhxx 或 kyyhxx 叫做平移 (或移轴 )公式 . （ 4） 中心或顶点在 (h,k)的圆锥曲线方程见下表： 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 椭圆 22h)-(xa+22k)-(yb=1 ( c+h,k) x=ca2 +h x=h y=k 22h)-(xb+22k)-(ya=1 (h, c+k) y=ca2 +k x=h y=k 双曲线 22h)-(xa-22k)-(yb=1 ( c+h,k) x=ca2 +k x=h y=k 22k)-(ya-22h)-(xb=1 (h, c+h) y=ca2 +k x
22、=h y=k 抛物线 (y-k)2=2p(x-h) (2p+h,k) x=-2p+h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (-2p+h,k) x=2p+h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, 2p+k) y=-2p+k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- 2p+k) y=2p+k x=h 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 9 六、椭圆的常用结论： 1. 点 P处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P处的外角 . 2. PT平分 PF1F2在点 P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . 3.
23、 以焦点弦 PQ 为直径的 圆必与对应准线相离 . 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 5. 若0 0 0( , )P x y在椭圆 221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是 00221x x y yab. 6. 若0 0 0( , )P x y在椭圆 221xyab外，则过0P作椭圆的两条切线切点为 P1、 P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x x y yab. 7. 椭圆 221xyab(a b 0)的左右焦点分别为 F1， F 2，点 P为椭圆上任意一点12F PF ，则椭圆的焦点角形的面积为122 t a n 2F P FSb . 8. 椭圆
24、 221xyab（ a b 0）的焦半径公式10|M F a ex,20|M F a ex(1( ,0)Fc,2( ,0)Fc 00( , )M x y). 9. 设过椭圆焦点 F作直线与椭圆相交 P、 Q两点， A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F的椭圆准线于 M、 N两点，则 MF NF. 10. 过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点 P、 Q, A1、 A2为椭圆长轴上的顶点， A1P和 A2Q交于点 M， A2P和 A1Q交于点 N，则 MF NF. 11. AB是椭圆 221xyab的不平行于对称轴的弦， M ),(00 yx为 AB的中点，则 22O
25、M A Bbkk a ，即0202 ya xbK AB 。 12. 若0 0 0( , )P x y在椭圆 221xyab内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 220 0 0 02 2 2 2x x y y x ya b a b ； 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 10 【 推论】： 1、若0 0 0( , )P x y在椭圆 221xyab内，则过 Po的弦中点的轨迹方程是 22 002 2 2 2x x y yxya b a b 。椭圆 221xyab（ a b o）的两个顶点为1( ,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y轴平行的直线交椭圆于 P1、 P2时 A1
26、P1与 A2P2交点的轨迹方程是 221xyab. 2、过椭圆 221xyab(a 0, b 0)上任一点00( , )A x y任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC有定向且 2020BCbxkay（常数） . 3、若 P为椭圆 221xyab（ a b 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2是焦点 , 12PF F , 21PF F ，则 t a n t22ac coac . 4、设椭圆 221xyab（ a b 0）的两个焦点为 F1、 F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在 PF1F2中，记12F PF , 12PF F ,12F F P ，则有 s
27、 i ns i n s i n c ea. 5、若椭圆 221xyab（ a b 0）的左、右焦点分别为 F1、 F2，左准线为 L，则当 0 e 21 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d与 PF2的比例中项 . 6、 P为椭圆 221xyab（ a b 0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A为椭圆内一定点，则2 1 12 | | | | | | 2 | |a A F P A P F a A F ,当且仅当2,AF三点共线时，等号成立 . 7、椭圆 220022( ) ( ) 1x x y yab与直线 0A x B y C 有公共点的充要条件是2 2 2 2 2
28、00()A a B b A x B y C . 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 11 8、已知椭圆 221xyab（ a b 0）， O为坐标原点， P、 Q为椭圆上两动点，且 OP OQ .（ 1）2 2 2 21 1 1 1| | | |O P O Q a b ;（ 2） |OP|2+|OQ|2的最大值为22224abab ;（ 3） OPQS 的最小值是 2222abab . 9、过椭圆 221xyab（ a b 0）的右焦点 F作直线交该椭圆右支于 M,N两点，弦 MN的垂直平分线交 x轴于 P，则 | | 2PF eMN. 10、已知椭圆 221xyab（
29、a b 0） ,A、 B、是椭圆上的两点，线段 AB的垂直平分线与 x轴相交于点0( ,0)Px, 则 2 2 2 20a b a bxaa . 11、设 P点是椭圆 221xyab（ a b 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1、 F2为其焦点记12F PF ，则(1) 2122| | | | 1 c o sbP F P F .(2) 122 t a n 2P F FSb . 12、设 A、 B是椭圆 221xyab（ a b 0）的长轴两端点， P是椭圆上的一点， PAB , PBA , BPA ， c、 e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有 (1) 22 2 22 | c o s |sabP
30、Aa c c o .(2) 2t a n t a n 1 e.(3) 22222 c o tPABabS ba . 13、已知椭圆 221xyab（ a b 0）的右准线 l 与 x轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BC x 轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点 . 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的 圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 . 16、椭圆焦三角形中 ,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的
31、焦半径之比为常数 e(离心率 ). （注 :在椭圆焦三角形中 ,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 .） 17、椭圆焦三角形中 ,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18、椭圆焦三角形中 ,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 . 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 12 七、双曲线的常用结论： 1、 点 P处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P处的 内角 . 2、 PT平分 PF1F2在点 P处的内角，则焦点在直线 PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . 3、以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 相交 . 4、以焦点
32、半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切 .（内切： P在右支；外切： P在左支） 5、若0 0 0( , )P x y在双曲线 221xyab（ a 0,b 0）上，则过0P的双曲线的切线方程是 00221x x y yab. 6、若0 0 0( , )P x y在双曲线 221xyab（ a 0,b 0）外 ，则过 Po作双曲线的两条切线切点为 P1、 P2，则切点弦P1P2的直线方程是 00221x x y yab. 7、双曲线 221xyab（ a 0,b o）的左右焦点分别为 F1， F 2，点 P为双曲线上任意一点12F PF ，则双曲线的焦 点角形的面积为122 t 2F
33、 P FS b co . 8、双曲线 221xyab（ a 0,b o）的焦半径公式： (1( ,0)Fc, 2( ,0)Fc）当00( , )M x y在右支上时，10|M F ex a,20|M F ex a；当00( , )M x y在左支上时，10|M F ex a ,20|M F ex a 。 9、设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交 P、 Q两点， A为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M、 N两点，则 MF NF. 10、过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点 P、 Q, A1、 A2为双曲线实轴上的顶点， A1P和 A2Q交于点
34、 M， A2P和 A1Q交于点 N，则 MF NF. 11、 AB是双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦， M ),(00 yx为 AB的中点，则0202 ya xbKK ABOM ，即0202 ya xbK AB 。 12、若0 0 0( , )P x y在双曲线 221xyab（ a 0,b 0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 220 0 0 02 2 2 2x x y y x ya b a b . 13、若0 0 0( , )P x y在双曲线 221xyab（ a 0,b 0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 002 2 2 2x x y y
35、xya b a b . 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 13 【推论】： 1、双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的两个顶点为1( ,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y轴平行的直线交双曲线于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 221xyab. 2、过双曲线 221xyab（ a 0,b o）上任一点00( , )A x y任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C两点，则直线 BC有定向且 2020BCbxkay（常数） . 3、若 P为双曲线 221xyab（ a 0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点 ,F1, F 2是焦点 , 1
36、2PF F , 21PF F ，则 t a n t22ca coca （或 t a n t22ca coca ） . 4、设双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的两个焦点为 F1、 F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在 PF1F2中，记12F PF , 12PF F ,12F F P ，则有 s i n( s i n s i n ) c ea . 5、若双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的左、右焦点分别为 F1、 F2，左准线为 L，则当 1 e 21 时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d与 PF2的比例中项 . 6、 P为双曲线 221xy
37、ab（ a 0,b 0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A为双曲线内一定点，则21| | 2 | | | |A F a P A P F ,当且仅当2,AF P三点共线且 P 和2,AF在 y轴同侧时，等号成立 . 7、双曲线 221xyab（ a 0,b 0）与直线 0A x B y C 有公共点的充要条件是 2 2 2 2 2A a B b C. 8、已知双曲线 221xyab（ b a 0）， O为坐标原点， P、 Q为双曲线上两动点，且 OP OQ . （ 1）2 2 2 21 1 1 1| | | |O P O Q a b ;（ 2） |OP|2+|OQ|2的最小值为22224abb
38、a ;（ 3） OPQS 的最小值是 2222abba . 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 14 9、过双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的右焦点 F作直线交该双曲线的右支于 M,N两点，弦 MN的垂 直平分线交x轴于 P，则 | | 2PF eMN. 10、已知双曲线 221xyab（ a 0,b 0） ,A、 B是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与 x轴相交于点0( ,0)Px, 则 220abx a 或 220abx a . 11、设 P点是双曲线 221xyab（ a 0,b 0）上异于实轴端点的任 一点 ,F1、 F2为其焦点记12F PF ，
39、则(1) 2122| | | | 1 c o sbP F P F .(2) 122 c o t 2P F FSb . 12、设 A、 B是双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的长轴两端点， P是双曲线上的一点， PAB , PBA , BPA ， c、 e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1) 22 2 22 | c o s | s |abPAa c c o . (2) 2t a n t a n 1 e.(3) 22222 c o tPABabS ba . 13、已知双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的右准线 l 与 x轴相交于点 E ，过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交
40、于 A、 B两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BC x 轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点 . 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 . 16、双曲线焦三角形中 ,外点到一焦点的距离与以该焦点 为端点的焦半径之比为常数 e(离心率 ). (注 :在双曲线焦三角形中 ,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 ). 17、双曲线焦三角形中 ,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18双曲线焦三角形
41、中 ,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项 . 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 15 抛物线的常用结论： xcbyay 2 顶点 )244(2ababac . )0(22 ppxy 则焦点半径2PxPF ; )0(22 ppyx 则焦点半径为2PyPF . 通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的 . pxy 22 （或 pyx 22 ）的参数方程为ptyptx22 2 （或222ptyptx ）（ t 为参数） . pxy 22 pxy 22 pyx 22 pyx 22 图形 yxO yxO yxO yxO焦点 )0,2(pF)0,2( pF )2,0( pF)
42、2,0( pF 准线 2px 2px2py 2py范围 Ryx ,0 Ryx ,0 0, yRx 0, yRx 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 （ 0,0） 离心率 1e 焦点 12 xpPF 12 xpPF 12 ypPF 12 ypPF 内部资料，请勿外传 星海中学： 勤奋、自律、和 谐、创新 16 圆锥曲线的性质对比 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 (x2/a2)+(y2/b2)=1 ab0 (x2/a2)-(y2/b2)=1 a0,b0 y2=2px p0 范围 x -a,a y -b,b x( -, -aa,+) yR x0,+) yR 对称性 关于 x轴 ,y 轴 ,原点对
43、称 关于 x轴 ,y 轴 ,原点对称 关于 x轴对称 顶点 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦点 (c,0),(-c,0) 【其中 c2=a2-b2】 (c,0),(-c,0) 【其中 c2=a2+b2】 (p/2,0) 准线 x=(a2)/c x=(a2)/c x=-p/2 渐近线 y=(b/a)x 离心率 e=c/a,e(0,1) e=c/a,e(1,+) e=1 焦半径 PF1=a+ex PF2=a -ex PF1=ex+aPF2 =ex -a PF=x+p/2 焦准距 p=(b2)/c p=(b2)/c p 通径 (2b2)/a (2b2)/a 2p 参数方程 x=acos y=bsin ， 为参数 x=asec y=btan, 为参数 x=2pt2 y=2pt,t为参数 过圆锥曲线上一点 (x0x/a2)+(y0y/b2)=1 (x0,y0)的 切线 方程 (x0x/a2)-(y0y/b2)=1 y0y=p(x+x0) 斜率 为 k的切线方程 y=kx(a2)(k2)+b2 y=kx(a2)(k2) -b2 y=kx+p/2k
