1、同步 2014年人教 A版选修 2-1 第二章圆锥曲线与方程练习卷与答案（带解析） 选择题 （ 5分）设双曲线以椭圆 长轴上的两个端点为焦点，其一支上的动点到相应焦点的最短距离为 52 ，则双曲线的渐近线的斜率为（ ） A 2 B C D 答案： C 试题分析：求出椭圆长轴上的两个端点的坐标，即得双曲线焦点的坐标，从而求得 c值，再根据双曲线上的点到相应焦点的最短距离为 ca，求出 a值， 利用 b2=c2a2，求出 b，可得双曲线的渐近线方程 y= x 解：椭圆 长轴上的两个端点 A（ 5， 0）， B（ 5， 0）， 以 A、 B为焦点的双曲线， c=5， 其一支上的动点到相应焦点的最短距
2、离为 52 ， ca=52 ， a=2 ， b= = ， 双曲线的渐近线方程 y= x= x， 故选 C 点评：本题考查了双曲线的渐近线方程与焦点坐标，解题的关键是利用双曲线上的点到相应焦点的最短距离为 ca，求得 a值 （ 5分）抛物线 y2=10x的焦点到准线的距离是（ ） A B 5 C D 10 答案： B 试题分析：根据抛物线的标准方程，可求得 p，再根据抛物线焦点到准线的距离是 p，进而得到答案： 解： 2p=10， p=5，而焦点到准线的距离是 p 故抛物线 y2=10x的焦点到准线的距离是 5 故选 B 点评：本题主要考查了抛物线的性质属基础题 （ 5分）若方程 Ax2+By2
3、=1表示焦点在 y轴上的双曲线，则 A、 B满足的条件是（ ） A.A 0，且 B 0 B.A 0，且 B 0 C.A 0，且 B 0 D.A 0，且 B 0 答案： C 试题分析：先将方程 Ax2+By2=1化成标准形式： ，再结合方程Ax2+By2=1表示焦点在 y轴上的双曲线，得出 A， B的范围即可 解：方程 Ax2+By2=1化成： ， 方程 Ax2+By2=1表示焦点在 y轴上的双曲线， 即 A 0，且 B 0 故选 C 点评：本题考查双曲线的标准方程，由双曲线的标准方程判断焦点在 y轴上的双曲线的条件是解题的难点 （ 5 分）已知点（ x， y）在抛物线 y2=4x上，则 z=x
4、2+ y2+3 的最小值是（ ） A 2 B 0 C 4 D 3 答案： D 试题分析：由题意， z=x2+ y2+3=x2+2x+3=（ x+1） 2+2，结合 x0，即可求出z=x2+ y2+3的最小值 解：由题意， z=x2+ y2+3=x2+2x+3=（ x+1） 2+2， x0， z=x2+ y2+3的最小值是 3， 故选： D 点评：本题考查函数的最值及其几何意义，正确运用配方法是关键 （ 5分）（ 2008 浙江）若双曲线 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3： 2，则双曲线的离心率是（ ） A 3 B 5 C D 答案： D 试题分析：先取双曲线的一条准线，然后根据题意列方程，
5、整理即可 解：依题意，不妨取双曲线的右准线 ， 则左焦点 F1到右准线的距离为 ， 右焦点 F2到右准线的距离为 ， 可得 ，即 ， 双曲线的离心率 故选 D 点评：本题主要考查双曲线的性质及离心率定义 （ 5分）椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x=4，则该椭圆的方程为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：确定椭圆的焦点在 x轴上，根据焦距为 4，一条准线为 x=4，求出几何量，即可求得椭圆的方程 解：由题意，椭圆的焦点在 x轴上，且 c=2， a2=8 b2=a2c2=4 椭圆的方程为 故选 C 点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题 （ 5分）（ 2
6、014 甘肃二模）过抛物线 y2=4x的焦点作直线交抛物线于 A（ x1，y1） B（ x2， y2）两点，如果 x1+x2=6，那么 |AB|=（ ） A 6 B 8 C 9 D 10 答案： B 试题分析：抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（ x1， y1） B（ x2， y2）两点，故 |AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值 解：由题意， p=2，故抛物线的准线方程是 x=1， 抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（ x1， y1） B（ x2， y2）两点 |AB|=x1+x2+2， 又 x1+x2=6 |AB|=x1+x2+2=8 故选 B 点评：本题考查抛物
7、线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度 （ 5 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1（ c， 0），F2（ c， 0），若椭圆上存在点 P使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） A（ 0， ） B（ ） C（ 0， ） D（ ， 1） 答案： D 试题分析：由 “ ”的结构特征，联想到在 PF1F2中运用由正弦定理得： 两者结合起来，可得到 ，再由焦点半径公式，代入可得到： a（ a+ex0） =c（ aex0）解出 x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解要注意椭圆离心率的范围 解：在 PF1
8、F2中，由正弦定理得： 则由已知得： ， 即： aPF1=cPF2 设点 P（ x0， y0）由焦点半径公式， 得： PF1=a+ex0， PF2=aex0 则 a（ a+ex0） =c（ aex0） 解得： x0= = 由椭圆的几何性质知： x0 a则 a， 整理得 e2+2e1 0，解得： e 1或 e 1，又 e （ 0， 1）， 故椭圆的离心率： e （ 1， 1）， 故选 D 点评：本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用 a， b， c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围 （ 5分）双曲线 y2=1的渐近线方程是（ ） A x2y
9、=0 B 2xy=0 C 4xy=0 D x4y=0 答案： A 试题分析：渐近线方程是 y2=0，整理后就得到双曲线的渐近线 解：双曲线 其渐近线方程是 y2=0 整理得 x2y=0 故选 A 点评：本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的 “1”转化成 “0”即可求出渐进方程属于基础题 （ 5分）（ 2012 安徽模拟）下列四个命题中不正确的是（ ） A.若动点 P 与定点 A（ 4， 0）、 B（ 4， 0）连线 PA、 PB 的斜率之积为定值 ，则动点 P的轨迹为双曲线的一部分 B.设 m， n R，常数 a 0，定义运算 “*”： m*n=（ m+n） 2（ mn） 2，若
10、 x0，则动点 的轨迹是抛物线的一部分 C.已知两圆 A：（ x+1） 2+y2=1、圆 B：（ x1） 2+y2=25，动圆 M与圆 A外切、与圆 B内切，则动圆的圆心 M的轨迹是椭圆 D.已知 A（ 7， 0）， B（ 7， 0）， C（ 2， 12），椭圆过 A， B两点且以 C为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线 答案： D 试题分析：利用直译法，求 A 选项中动点 P 的轨迹方程，进而判断表示的曲线；利用新定义运算，利用直译法求选项 B 中曲线的轨迹方程，进而判断轨迹图形；利用圆与圆的位置关系，利用定义法判断选项 C 中动点的轨迹；利用椭圆定义，由定义法判断 D中动点的轨迹
11、即可 解： A：设 P（ x， y），因为直线 PA、 PB的斜率存在，所以 x4，直线 PA、PB的斜率分别是 k1= ， k2= ， = ，化简得 9y2=4x264， 即 （ x4）， 动点 P的轨迹为双曲线的一部分， A正确； B： m*n=（ m+n） 2（ mn） 2， = = ，设P（ x， y），则 y= ，即 y2=4ax（ x0， y0），即动点 的轨迹是抛物线的一部分， B正确； C：由题意可知，动圆 M与定圆 A相外切与定圆 B相内切 MA=r+1， MB=5r MA+MB=6 AB=2 动圆圆心 M的轨迹是以 A， B为焦点的椭圆， C正确； D设此椭圆的另一焦点的坐
12、标 D （ x， y）， 椭圆过 A、 B两点，则 CA+DA=CB+DB， 15+DA=13+DB， DBDA=2 AB， 椭圆的另一焦 点的轨迹是以 A、 B为焦点的双曲线一支， D错误 故选 D 点评：本题综合考查了求动点轨迹的两种方法：直译法和定义法，考查了圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，有一定难度 （ 5分）椭圆 5x2+ky2=5的一个焦点是（ 0， 2），则 k的值为（ ） A 1 B 1 C D 答案： A 试题分析：把椭圆化为标准方程后，找出 a与 b的值，然后根据 a2=b2+c2，表示出 c，并根据焦点坐标求出 c的值，两者相等即可列出关于
13、 k的方程，求出方程的解即可得到 k的值 解：把椭圆方程化为标准方程得： x2+ =1， 因为焦点坐标为（ 0， 2），所以长半轴在 y轴上， 则 c= =2，解得 k=1 故选： A 点评：此题考查学生掌握椭圆的简单性质化简求值，是基础题 （ 5分）若 2 ， 2 ， 2 成等比数列，则点（ x， y ）在平面直角坐标系内的轨迹是（ ） A一段圆弧 B椭圆的一部分 C双曲线一支的一部分 D抛物线的一部分 答案： C 试题分析：首先求出 x， y的范围，再根据等比数列的性质得出方程，然后整理化简即可得出答案： 解： 算术平方根有意义， 3x0， x0 x+y0， yx x+10， x1 综上，
14、得 x0， yx 2 ， 2 ， 2 成等比数列 2 = + ， 整理得 （ x0） 所求轨迹方程为双曲线的一支 故选 C 点评：本题考查了等比数列的性质以及轨迹方程，解题过程中要注意 x的取值范围，属于中档题 填空题 （ 5分）（ 2008 嘉定区二模）已知双曲线 x2 =1的一条渐近线与直线x2y+3=0垂直，则 a= 答案： 试题分析：首先根据题意，由双曲线的方程判断出 a 0，进而可得其渐近线的方程；再求得直线 x2y+3=0的斜率，根据直线垂直判断方法，可得 =2，解可得答案： 解：根据题意，已知双曲线的方程为 ，则 a 0； 双曲线 的渐近线方程为 y= x； 直线 x2y+3=0
15、的斜率为 ， 若双曲线的一条渐近线与直线 x2y+3=0垂直，必有双曲线 的一条渐近线的斜率为 2； 即 =2，即 a=4； 故答案：为： 4 点评：本题考查双曲线的性质，要求学生掌握由双曲线的方程求其渐近线方程的基本方法 （ 5分）若方程 =1表示双曲线，则 k的取值范围是 答案： 2 k 5 试题分析：由双曲线方程的特点可得（ 5k）（ k+2） 0，解之可得 解：若方程 =1表示的曲线为双曲线， 则（ 5k）（ k+2） 0，解得 2 k 5 故答案：为： 2 k 5 点评：本题考查双曲线的标准方程，得出（ 5k）（ k+2） 0是解决问题的关键，属基础题 （ 5 分）（ 2011 沈阳
16、二模）已知双曲线 =1 左、右焦点分别为 F1， F2，过点 F2作与 x轴垂直的直线与双曲线一个交点为 P，且 PF1F2= ，则双曲线的渐近线方程为 答案： y= x 试题分析：先求出 |PF2|的值， Rt PF1F2中，由 tan PF1F2 = =tan ，求出的值，进而得到渐近线方程 解：把 x=c 代入双曲线 =1 可得 |y|=|PF2|= ， Rt PF1F2中， tan PF1F2 = = = =tan = ， = ， 渐近线方程为 y= x= x， 故答案：为 y= x 点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，直角三角形中的边角关系，求 的值是解题的关键 （ 5分）（ 20
17、14 台州一模）双曲线 x2 =1的两条渐近线方程为 答案： y= x 试题分析：由双曲线方程，得 a=1， b= ，结合双曲线 =1的渐近线方程为 y= ，可得所求渐近线方程为 y= x 解： 双曲线的方程为 ， a2=1， b2=3，得 a=1， b= 双曲线的渐近线方程为 y= 该双曲线的渐近线方程为： y= x 故答案：为： y= x 点评：本题给出双曲线的方程，求它的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题 解答题 （ 10分）（ 2004 北京）已知点 A（ 2， 8）， B（ x1， y1）， C（ x2， y2）在抛物线 y2=2px上， ABC的
18、重心与此抛物线的焦点 F重合（如图） （ 1）写出该抛物线的方程和焦点 F的坐标； （ 2）求线段 BC中点 M的坐标 （ 3）求 BC所在直线的方程 答案：（ 1）抛物线方程为 y2=32x，焦点 F的坐标为（ 8， 0） （ 2）（ 11， 4） （ 3） 4x+y40=0 试题分析：（ 1）由点 A（ 2， 8）在抛物线 y2=2px上，将 A点坐标代入，易求出参数 p的值，代入即得抛物线的方程和焦点 F的坐标； （ 2）又由， ABC的重心与此抛物线的焦点 F重合，由重心坐标公式，易得线段 BC中点 M的坐标； （ 3）设出过 BC中点 M的直线方程，根据联立方程、设而不求、余弦定理易
19、构造关于直线斜率 k的方程，解方程求出 k值，进而可以得 到直线的方程 解：（ 1）由点 A（ 2， 8）在抛物线 y2=2px上，有 82=2p 2解得 p=16 所以抛物线方程为 y2=32x，焦点 F的坐标为（ 8， 0） （ 2）如图，由 F（ 8， 0）是 ABC的重心， M是 BC的中点， AM是 BC上的中线，由重心的性质可得 ； 设点 M的坐标为（ x0， y0），则 解得 x0=11， y0=4所以点M的坐标为（ 11， 4） （ 3）由于线段 BC的中点 M不在 x轴上，所以 BC所在的直线不垂直于 x轴 设 BC所成直线的方程为 y+4=k（ x11）（ k0） 由 消
20、x得 ky232y32（ 11k+4） =0 所以 由（ 2）的结论得 解得 k=4 因此 BC所在直线的方程为 y+4=4（ x11）即 4x+y40=0 点评：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用几何的方法分析问题和解决问题的能力 （ 12分）已知动圆 M过定点 F（ 0， ），且与直线 y= 相切，椭圆 N的对称轴为坐标轴，一个焦点为 F，点 A（ 1， ）在椭圆 N上 （ 1）求动圆圆心 M的轨迹 的方程及椭圆 N的方程； （ 2）若动直线 l与轨迹 在 x=4处的切线平行，且直线 l与椭圆 N交于 B， C两点，试求当 ABC面积取到最大值时直线 l的方程 答案：（ 1）
21、；（ 2） y= x2 试题分析：（ 1）由抛物线定义得，点 M的轨迹是以 F（ 0， ）为焦点，直线 y= 为准线的抛物线，由此可得轨迹 的方程；设出椭圆方程，利用点 A（ 1， ）在椭圆 N上，可得椭圆 N的方程； （ 2）设出切线方程，代入椭圆方程，求得 |BC|，点 A到直线的距离，表示出面积，利用基本不等式，即可求得 ABC面积取到最大值时直线 l的方程 解：（ 1）过圆心 M作直线 y= 的垂线，垂足为 H 由题意得， |MH|=|MF|，由抛物线定义得，点 M的轨迹是以 F（ 0， ）为焦点，直线 y= 为准线的抛物线， 其方程为 设椭圆方程为 ，将点 A代入方程 整理得 a45
22、a2+4=0，解得 a2=4或 a2=1（舍去） 故所求的椭圆方程为 ； （ 2）轨迹 的方程为 ，即 ，则 ，所以轨迹轨迹 在 x=4处的切线斜率为 k= ， 设直线 l方程为 y= x+m，代入椭圆方程整理得 4x2+2 mx+m24=0 因为 =8m216（ m24） 0，解得 2 m 2； 设 B（ x1， y1）， C（ x2， y2），则 x1+x2= ， x1x2= 所以 BC|= = 点 A到直线的距离为 d= ，所以 S ABC= = 当且仅当 ，即 m=2时等号成立，此时直线 l的方程为 y= x2 点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，
23、考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键 （ 12分）已知某椭圆 C，它的中心在坐标原点，左焦点为 F（ ， 0），且过点 D（ 2， 0） （ 1）求椭圆 C的标准方程； （ 2）若已知点 A（ 1， ），当点 P在椭圆 C上变动时，求出线段 PA中点 M的轨迹方程 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）根据题意椭圆的焦点在 x轴上， a=2且 c= ，从而 b=1，得到椭圆的标准方程； （ 2）设点 P（ x0， y0），线段 PA的中点为 M（ x， y），根据中点坐标公式将x0、 y0表示成关于 x、 y的式子，将 P（ x0， y0）关于 x、 y的坐标形式代入已知椭圆
24、的方程，化简整理即可得到线段 PA的中点 M的轨迹方程 解：（ 1）由题意知椭圆的焦点在 x轴上， 椭圆经过点 D（ 2， 0），左焦点为 F（ ， 0）， a=2， c= ，可得 b=1 因此，椭圆的标准方程为 （ 2）设点 P的坐标是（ x0， y0），线段 PA的中点为 M（ x， y）， 由根据中点坐标公式，可得 ， 点 P（ x0， y0）在椭圆上， 可得 ，化简整理得 ， 线段 PA中点 M的轨迹方程是 点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题 （ 12分）已知直线 l： mx2y
25、+2m=0（ m R）和椭圆 C： （ a b 0），椭圆 C 的离心率为 ，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为 2 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）设直线 l经过的定点为 Q，过点 Q作斜率为 k的直线 l与椭圆 C有两个不同的交点，求实数 k的取值范围； （ 3）设直线 l与 y轴的交点为 P， M为椭圆 C上的动点，线段 PM长度的最大值为 f（ m），求 f（ m）的表达式 答案：（ 1） （ 2） （ 3） f（ m） = 试题分析：（ 1）直接利用离心率为 ，以及连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为 2 列出关于 a， b， c方程，求出 a， b， c即可得到椭圆方程； （
26、 2）先求出直线所过的顶点坐标，再联立直线方程与椭圆方程，利用判别式大于 0即可求实数 k的取值范围； （ 3）先求出点 P的坐标（ 0， m），设出点 M，根据两点间的距离公式求出|PM|2的 表达式，根据 M为椭圆 C上的动点的限制对 m分情况讨论即可求出 f（ m）的表达式 解：（ 1）由离心率 ，得 又因为 ，所以 ，即椭圆标准方程为 （ 4分） （ 2）由 l： mx2y+2m=0经过定点 Q（ 2， 0），则直线 l： y=k（ x+2）， 由 有（ 2k2+1） x2+8k2x+8k22=0 所以 =64k48（ 2k2+1）（ 4k21） 0，可化为 2k21 0 解得 （ 8
27、分） （ 3）由 l： mx2y+2m=0，设 x=0，则 y=m，所以 P（ 0， m） 设 M（ x， y）满足 ， 则 |PM|2=x2+（ ym） 2=22y2+（ ym ） 2=y22my+m2+2=（ y+m） 2+2m2+2， 因为 1y1，所以 当 |m| 1时， |MP|的最大值 f（ m） =1+|m|； 当 |m|1时， |MP|的最大值 f（ m） = ； 所以 f（ m） = （ 12分） 点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力 （ 12分）（ 20
28、08 崇文区一模）已知抛物线 C： y=ax2，点 P（ 1， 1）在抛物线 C上，过点 P作 斜率为 k1、 k2的两条直线，分别交抛物线 C于异于点 P的两点 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），且满足 k1+k2=0 （ 1）求抛物线 C的焦点坐标； （ 2）若点 M满足 ，求点 M的轨迹方程 答案：（ 1）（ 0， ）（ 2）： x=1（ y1且 y5） 试题分析：（ 1）将 P代入抛物线 C 的方程即可求得 a，进而抛物线的方程可得 （ 2）设直线 PA的方程为 y+1=k1（ x1），与抛物线方程联立消去 y，得到关于 x1的一元二次方程根据韦达定理求得 x1与 k1的关
29、系，同样设直线 PB的方程为 y+1=k2（ x1）与抛物线方程联立消去 y，进而可得 x2与 k2的关系，设点 M的坐标为（ x， y）根据向量 的关系求得 x=1，得出 M的轨迹 解：（ 1）将 P（ 1， 1）代入抛物线 C的方程 y=ax2得 a=1， 抛物线 C的方程为 y=x2，即 x2=y 焦点坐标为 F（ 0， ） （ 2）设直线 PA的方程为 y+1=k1（ x1）， 联立方程 消去 y得 x2+k1xk11=0， 则 1 x1=k11，即 x1=k11 由 =k124（ k11） =（ k1+2） 2 0，得 k12 同理直线 PB的方程为 y+1=k2（ x1）， 联立方
30、程 消去 y得 x2+k2xk21=0， 则 1 x2=k21，即 x2=k21且 k22 又 k1+k2=0， k12 设点 M的坐标为（ x， y），由又 k1+k2=0， x=1 =（ k12+1） 1， 又 k12， y5 所求 M的轨迹方程为： x=1（ y1且 y5） 点评：本题主要考查抛物线与直线之间的关系，考查学生综合分析和运用所学知识的能力 （ 12分）（ 2010 安徽）已知椭圆 E经过点 A（ 2， 3），对称轴为坐标轴，焦点 F1， F2在 x轴上，离心率 （ 1）求椭圆 E的方程； （ 2）求 F1AF2的平分线所在直线 l的方程； （ 3）在椭圆 E上是否存在关于直
31、线 l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） 2xy1=0； （ 3） BC中点为（ 2， 3）与 A重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点 试题分析：（ 1）设出椭圆方程，根据椭圆 E经过点 A（ 2， 3），离心率 ，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆 E的方程； （ 2）求得 AF1方程、 AF2方程，利用角平分线性质，即可求得 F1AF2的平分线所在直线 l的方程； （ 3）假设存在 B（ x1， y1） C（ x2， y2）两点关于直线 l对称，设出直线 BC方程代入 ，求得 BC中点代入直线 2xy1=0上，即可得到结论 解：（
32、1）设椭圆方程为 椭圆 E经过点 A（ 2， 3），离心率 ， a2=16， b2=12 椭圆方程 E为： ； （ 2） F1（ 2， 0）， F2（ 2， 0）， A（ 2， 3）， AF1方程为： 3x4y+6=0， AF2方程为： x=2 设角平分线上任意一点为 P（ x， y），则 得 2xy1=0或 x+2y8=0 斜率为正， 直线方程为 2xy1=0； （ 3）假设存在 B（ x1， y1） C（ x2， y2）两点关于直线 l对称， 直线 BC方程为 代入 得 x2mx+m212=0， BC中点为 代入直线 2xy1=0上，得 m=4 BC中点为（ 2， 3）与 A重合，不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点 点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
