1、数学归纳法,请问：以上三个结论正确吗？为什么?得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点, 共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2是用的不完全 归纳法，问题3是用的完全归纳法。,一、提出问题, 1、错,2、对,3、对,问题情境二：数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例,猜想：都是质数,法国的数学家费马（Pierre de Fermat）(1601年1665年) 。 十七世纪最卓越的数学家之一， 他在数学许多领域中都有极大的贡献， 因为他的本行是专业的律师， 为了表彰他的数学造诣， 世人冠以“业余王子”之美称，,学习目标,1、理解数学归纳法的原理，并掌 握它的基本步骤与方法；
2、2、能用数学归纳证明一些简单的与正整数n有关的数学命题。,问题情境,多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示,二、挖掘内涵、形成概念：,证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,(2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。,【归纳奠基】,【归纳递推】,3、数学归纳法,思考题： （1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？ （2）数学归纳法有几个步骤？每个步骤说明什么问题？（3）为什么这些步骤缺一不可
3、4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？,（二）、数学归纳法的步骤,根据(1)(2)知对任意的 时命题成立。,注：,（1）证明当 取第一个值 或 时结论正确,两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了递推的依据。,只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个总的结论。,（3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。,（1）,（2）,证明：1、当n=1时,左=12=1，右= n=1时，等式成立 2、假设n=k时，等式成立，即 那么，当n=k+1时 左=12+22+k2+(k+1)2=右 n=k+1时，原等式成立 由
4、1、2知当nN*时，原等式都成立,类型一：用数学归纳法证明等式,第二步的证明要用上归纳假设!,方法技巧：,用数学归纳法证明与正整数有关的等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时等式两边会增加多少项，增加怎样的项 在步骤(2)的证明过程中，突出两个“凑”字：一凑假设，二凑结论，关键是明确nk1时证明的目标，充分考虑由nk到nk1时，命题形式之间的区别和联系,用数学归纳法证明：,证明：,请你来批作业,第二步的证明没有用上归纳假设!,题型二 用数学归纳法证明不等式问题,例2、求证：当 时，,小结：,巩固练习2： 求证：,1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）； 2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式； 3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； 4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等； 5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉,课堂小结：用数学归纳法证明命题的步骤及注意事项：,
