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江西省南昌市第二中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理.doc

1、1南昌二中 20182019 学年度上学期期中考试高二数学(理科)试卷一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。 )1. 抛物线 y212x 的准线方程是( )A x3 B x3 C y3 D y32. 当 时,方程 所表示的曲线是( )0ab2aybA焦点在 轴的椭圆 B焦点在 轴的双曲线xC焦点在 轴的椭圆 D焦点在 轴的双曲线yy3.若以双曲线 ( )的左、右焦点和点(1, )为顶点的三角形为直角2xb02三角形,则 b 等于( )A B1 C D2224.抛物线 上一点到直线 的距离最短的点的坐标是( )2yx240xyA(1,1) B C D(2,4)(,)39(,)245.圆的极坐

2、标方程为 ,圆心为 ,点 的极坐标为 ,则 ( )4cosP,3|CPA. B4 C2 D34 26.M 是椭圆上一动点,F 1和 F2是左右焦点,由 F2向 的外角平分线作垂线,垂足为21MN,则 N 点的轨迹为( )A.直线 B圆 C双曲线 D抛物线7.设椭圆 ( )的离心率为 ,右焦点 F( c,0) ,方21xyab0a12的两个根分别为 x1, x2,则点 P( x1, x2)在( )02cA.圆 内 B圆 上 2yx yC圆 外 D以上三种都有可能28.过抛物线 ( )的焦点 的直线与双曲线 的一条渐近线平行,2ypx0F213yx并交抛物线于 A,B 两点,若 ,且 ,则抛物线的

3、方程为( )|B|AA B C D2yx23yx24yx2yx9.已知圆 , 是圆 上任意一点,过点 向 轴作垂线,垂足为 ,点:1OPOPP在线段 上,且 ,则点 的轨迹方程是( )Q2QA B C D 291xy14yx291xy219yx10. 分别是双曲线 的左右焦点,过 的直线 与双曲线的左右两支12F, 2(0)b1Fl分别交于 两点若 为等边三角形,则 的面积为( ), 2AF12BA. 8 B. C. D. 1683811.在直角坐标系 中,抛物线 的焦点为 ,准线为 ,点 是准线 上任一点,xOy24yxFlPl直线 交抛物线于 , 两点,若 ,则 的面积 ( )PFABPA

4、OBSA.4 B. C. D. 282312.设双曲线 ( , )的右焦点为 ,过点 作与 轴垂直的直线21xyab0abFx交两渐近线于 , 两点,且与双曲线在第一象限的交点为 ,设 为坐标原点,lABPO若 ( , ) , ,则该双曲线的离心率为( )OPR316A B C D 2335298二、填空题(每小题 5 分,共 20 分。 )13.点 关于直线 10xy的对称点是_.(1,)314.已知双曲线 ( a0, b0)的两条渐近线均和圆 21xyab2:650Cxy相切,且双曲线的右焦点为圆 的圆心,则该双曲线的方程为_.C15.设 21,F分别是椭圆 )1(:2byxE的左、右焦点

5、,过点 1F的直线交椭圆E于 BA,两点,若 xAFB11,3轴,则 b 的值为_.16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在 轴上,左右焦点分别为 ,x12,且它们在第一象限的交点为 , 是以 为底边的等腰三角形若 ,P12 1P0PF双曲线的离心率的取值范围为 则该椭圆的离心率的取值范围是 ,3、解答题(共 70 分) 17. (本小题 10 分) 已知 ABC的三个顶点 A(4,0) , B(8,10) , C(0,6).(1)求 AC 边上的高所在的直线方程;(2)求过 点且与点 ,距离相等的直线方程。18. (本小题 12 分)在极坐标系中,极点为 ,已知曲线 : 与曲线

6、: O1C22C交于不同的两点 , sin24AB(1)求 的值;AB(2)求过点 且与直线 平行的直线 的极坐标方程1,0Cl419. (本小题 12 分)已知动圆 与定圆 内切,与直线 相切. C21xy3x(1)求动圆圆心 的轨迹方程;(2)若 是上述轨迹上一点,求 到点 距离的最小值QQ(,0)Pm20. (本小题 12 分)设直线 l:y=2x1 与双曲线 ( , )相交于 A、B 两个不21xyab0ab同的点,且 (O 为原点) 0BA(1)判断 是否为定值,并说明理由;21ba(2)当双曲线离心率 时,求双曲线实轴长的取值范围)3,(e521. (本小题 12 分)为抛物线 的

7、焦点,过点 的直线 与 交于 、 两点, 的准线与F2:4CyxFlCABC轴的交点为 ,动点 满足 xEPEBA(1)求点 的轨迹方程;(2)当四边形 的面积最小时,求直线 的方程Al22. (本小题 12 分)如图,已知椭圆 ( )的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆21xyab0a2的左、右焦点 , 为顶点的三角形的周长为 ,一等轴双曲线的顶点是该椭圆1F2 4(1)的焦点,设 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 和 与椭圆的交点分别为 、PPF2A和 、 BCD(1)求椭圆和双曲线的标准方程;(2)设直线 、 的斜率分别为 、 ,证明 为定值;1F21k212k(3)是否存在常数 ,使得

8、 恒成立?若存在,求 的|ABCDAB值;若不存在,请说明理由南昌二中 20182019 学年度上学期期中考试6高二数学(理科)试卷参考答案1-12 B D B A D B A A C C D A13. (2,)14.15 6316 16. 12,517.解:(1) .5 分 3+4=0xy(2) 10 分-7-6或18.解:(1) , ,24xy又 ,可得 , ,sin4(sinco)2yx圆心(0,0)到直线 的距离为2yxd 224ABrd6 分(2)曲线 的斜率为 1,过点 且与曲线 平行的直线 的直角坐标方程为2C,02Cl,1yx直线 的极坐标为 ,即 12lsincos1cos4

9、2分19.解:()设动圆 的圆心 ,C(,)xy动圆 与定圆 内切,与直线 相切,21xy37 ,231xy化简得 45 分()设 ,则 ,(,)Qxy24x 82 2| ()Pm2()4xm分当 时, 时上式取得最小值 ,即 取得最小值 ;1x2(1)|PQ|1|当 时, 时上式取得最小值 ,即 取得最小值 24| 2m.11 分12 分min|1|,|2.PQ20.【解答】解:() 为定值 5理由如下:y=2x1 与双曲线 联立,可得(b 24a 2)x 2+4a2xa 2a 2b2=0, (b2a) ,即有=16a 4+4(b 24a 2) (a 2+a2b2)0,化为 1+b24a 2

10、0,设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,则 x1+x2= ,x 1x2= ,由 (O 为原点) ,可得x1x2+y1y2=0,即有 x1x2+(2x 11) (2x 21)=5x 1x22(x 1+x2)+1=0,即 5 2 +1=0,化为 5a2b2+a2b 2=0,即有 =5,为定值 6 分8()由双曲线离心率 时,即为 ,即有 2a2c 23a 2,由 c2=a2+b2,可得 a2b 22a 2,即 ,由 =5,可得 5 ,化简可得 a ,则双曲线实轴长的取值范围为(0, ) .12 分21.解:(I)抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),E(1,0)设直线 l 的

11、方程为 xmy1=0联立方程组 ,消元得:y 24my4=0设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x,y),则 y1+y2=4m,x 1+x2=m(y 1+y2)+2=4m 2+2AB 的中点坐标为 M(2m 2+1,2m) = + =2 ,M 为 EP 的中点 , ,即 y2=4x12点 P 的轨迹方程为 y2=4x12 6 分(II)由(I)得 y1+y2=4m,y 1y2=4|AB|= = =4(m 2+1)E 到直线 l:xmy1=0 的距离 d= ,S ABE = |AB|d=4 , = + ,四边形 EAPB 是平行四边形,平行四边形 EAPB 的面积 S=2SABE

12、 =8 9当 m=0 时,S 取得最小值 8此时直线 l 的方程为 x1=0.12 分22.解:()由题意知,椭圆离心率为 = ,得 ,又 2a+2c= ,所以可解得 ,c=2,所以 b2=a2c 2=4,所以椭圆的标准方程为 ;所以椭圆的焦点坐标为(2,0) ,因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为 .2 分()设点 P(x 0,y 0) ,则 k1= ,k 2= ,k 1k2= = ,又点 P(x 0,y 0)在双曲线上, ,即 y02=x024,k 1k2= =1 .6 分()假设存在常数 ,使得得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立,则由(II)知 k1k2=1,设直线 AB 的方程为 y=k(x+2) ,则直线 CD 的方程为 y= (x2) ,由方程组 消 y 得:(2k 2+1)x 2+8k2x+8k28=0,设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,则由韦达定理得, ,10AB= = ,同理可得 CD= = = ,|AB|+|CD|=|AB|CD|,= = = = ,存在常数 = ,使得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立 12 分

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