1、1南昌二中 20182019 学年度上学期期中考试高二数学(理科)试卷一、选择题（每小题 5 分，共 60 分。 ）1. 抛物线 y212x 的准线方程是( )A x3 B x3 C y3 D y32. 当 时，方程 所表示的曲线是（ ）0ab2aybA焦点在 轴的椭圆 B焦点在 轴的双曲线xC焦点在 轴的椭圆 D焦点在 轴的双曲线yy3.若以双曲线 （ ）的左、右焦点和点（1， ）为顶点的三角形为直角2xb02三角形，则 b 等于（ ）A B1 C D2224.抛物线 上一点到直线 的距离最短的点的坐标是（ ）2yx240xyA（1，1） B C D（2，4）(,)39(,)245.圆的极坐
2、标方程为 ，圆心为 ，点 的极坐标为 ，则 ( )4cosP,3|CPA. B4 C2 D34 26.M 是椭圆上一动点，F 1和 F2是左右焦点，由 F2向 的外角平分线作垂线，垂足为21MN，则 N 点的轨迹为( )A.直线 B圆 C双曲线 D抛物线7.设椭圆 （ ）的离心率为 ，右焦点 F（ c，0） ，方21xyab0a12的两个根分别为 x1， x2，则点 P（ x1， x2）在( )02cA.圆 内 B圆 上 2yx yC圆 外 D以上三种都有可能28.过抛物线 （ ）的焦点 的直线与双曲线 的一条渐近线平行，2ypx0F213yx并交抛物线于 A，B 两点，若 ，且 ，则抛物线的
3、方程为（ ）|B|AA B C D2yx23yx24yx2yx9.已知圆 ， 是圆 上任意一点，过点 向 轴作垂线，垂足为 ，点:1OPOPP在线段 上，且 ，则点 的轨迹方程是（ ）Q2QA B C D 291xy14yx291xy219yx10. 分别是双曲线 的左右焦点，过 的直线 与双曲线的左右两支12F， 2(0)b1Fl分别交于 两点若 为等边三角形，则 的面积为（ ）， 2AF12BA. 8 B. C. D. 1683811.在直角坐标系 中,抛物线 的焦点为 ,准线为 ，点 是准线 上任一点，xOy24yxFlPl直线 交抛物线于 ， 两点，若 ，则 的面积 ( )PFABPA
4、OBSA.4 B. C. D. 282312.设双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，过点 作与 轴垂直的直线21xyab0abFx交两渐近线于 ， 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 ，设 为坐标原点，lABPO若 （ ， ） ， ，则该双曲线的离心率为（ ）OPR316A B C D 2335298二、填空题（每小题 5 分，共 20 分。 ）13.点 关于直线 10xy的对称点是_.(1,)314.已知双曲线 （ a0， b0）的两条渐近线均和圆 21xyab2:650Cxy相切，且双曲线的右焦点为圆 的圆心，则该双曲线的方程为_.C15.设 21,F分别是椭圆 )1(:2byxE的左、右焦点
5、，过点 1F的直线交椭圆E于 BA,两点，若 xAFB11,3轴，则 b 的值为_.16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在 轴上，左右焦点分别为 ，x12,且它们在第一象限的交点为 ， 是以 为底边的等腰三角形若 ，P12 1P0PF双曲线的离心率的取值范围为 则该椭圆的离心率的取值范围是 ,3、解答题（共 70 分） 17. （本小题 10 分） 已知 ABC的三个顶点 A(4,0） ， B(8,10） ， C(0,6）.（1）求 AC 边上的高所在的直线方程；（2）求过 点且与点 ,距离相等的直线方程。18. （本小题 12 分）在极坐标系中，极点为 ，已知曲线 ： 与曲线
6、： O1C22C交于不同的两点 ， sin24AB（1）求 的值；AB（2）求过点 且与直线 平行的直线 的极坐标方程1,0Cl419. （本小题 12 分）已知动圆 与定圆 内切，与直线 相切. C21xy3x（1）求动圆圆心 的轨迹方程；（2）若 是上述轨迹上一点，求 到点 距离的最小值QQ(,0)Pm20. （本小题 12 分）设直线 l：y=2x1 与双曲线 （ ， ）相交于 A、B 两个不21xyab0ab同的点，且 （O 为原点） 0BA（1）判断 是否为定值，并说明理由；21ba（2）当双曲线离心率 时，求双曲线实轴长的取值范围)3,(e521. （本小题 12 分）为抛物线 的
7、焦点，过点 的直线 与 交于 、 两点， 的准线与F2:4CyxFlCABC轴的交点为 ，动点 满足 xEPEBA（1）求点 的轨迹方程；（2）当四边形 的面积最小时，求直线 的方程Al22. （本小题 12 分）如图，已知椭圆 （ ）的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆21xyab0a2的左、右焦点 ， 为顶点的三角形的周长为 ，一等轴双曲线的顶点是该椭圆1F2 4(1)的焦点，设 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 、PPF2A和 、 BCD（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线 、 的斜率分别为 、 ，证明 为定值；1F21k212k（3）是否存在常数 ，使得
8、 恒成立？若存在，求 的|ABCDAB值；若不存在，请说明理由南昌二中 20182019 学年度上学期期中考试6高二数学(理科)试卷参考答案1-12 B D B A D B A A C C D A13. (2,)14.15 6316 16. 12,517.解：（1） .5 分 3+4=0xy（2） 10 分-7-6或18.解：（1） ， ，24xy又 ，可得 , ，sin4(sinco)2yx圆心(0,0)到直线 的距离为2yxd 224ABrd6 分（2）曲线 的斜率为 1，过点 且与曲线 平行的直线 的直角坐标方程为2C,02Cl，1yx直线 的极坐标为 ，即 12lsincos1cos4
9、2分19.解：（）设动圆 的圆心 ，C(,)xy动圆 与定圆 内切，与直线 相切，21xy37 ，231xy化简得 45 分（）设 ，则 ，(,)Qxy24x 82 2| ()Pm2()4xm分当 时， 时上式取得最小值 ，即 取得最小值 ；1x2(1)|PQ|1|当 时， 时上式取得最小值 ，即 取得最小值 24| 2m.11 分12 分min|1|,|2.PQ20.【解答】解：（） 为定值 5理由如下：y=2x1 与双曲线 联立，可得（b 24a 2）x 2+4a2xa 2a 2b2=0， （b2a） ，即有=16a 4+4（b 24a 2） （a 2+a2b2）0，化为 1+b24a 2
10、0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x2= ，x 1x2= ，由 （O 为原点） ，可得x1x2+y1y2=0，即有 x1x2+（2x 11） （2x 21）=5x 1x22（x 1+x2）+1=0，即 5 2 +1=0，化为 5a2b2+a2b 2=0，即有 =5，为定值 6 分8（）由双曲线离心率 时，即为 ，即有 2a2c 23a 2，由 c2=a2+b2，可得 a2b 22a 2，即 ，由 =5，可得 5 ，化简可得 a ，则双曲线实轴长的取值范围为（0， ） .12 分21.解：（I）抛物线 y2=4x 的焦点为 F（1，0），E（1，0）设直线 l 的
11、方程为 xmy1=0联立方程组 ，消元得：y 24my4=0设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），P（x，y），则 y1+y2=4m，x 1+x2=m（y 1+y2）+2=4m 2+2AB 的中点坐标为 M（2m 2+1，2m） = + =2 ，M 为 EP 的中点 ， ，即 y2=4x12点 P 的轨迹方程为 y2=4x12 6 分（II）由（I）得 y1+y2=4m，y 1y2=4|AB|= = =4（m 2+1）E 到直线 l：xmy1=0 的距离 d= ，S ABE = |AB|d=4 ， = + ，四边形 EAPB 是平行四边形，平行四边形 EAPB 的面积 S=2SABE
12、 =8 9当 m=0 时，S 取得最小值 8此时直线 l 的方程为 x1=0.12 分22.解：（）由题意知，椭圆离心率为 = ，得 ，又 2a+2c= ，所以可解得 ，c=2，所以 b2=a2c 2=4，所以椭圆的标准方程为 ；所以椭圆的焦点坐标为（2，0） ，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为 .2 分（）设点 P（x 0，y 0） ，则 k1= ，k 2= ，k 1k2= = ，又点 P（x 0，y 0）在双曲线上， ，即 y02=x024，k 1k2= =1 .6 分（）假设存在常数 ，使得得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立，则由（II）知 k1k2=1，设直线 AB 的方程为 y=k（x+2） ，则直线 CD 的方程为 y= （x2） ，由方程组 消 y 得：（2k 2+1）x 2+8k2x+8k28=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则由韦达定理得， ，10AB= = ，同理可得 CD= = = ，|AB|+|CD|=|AB|CD|，= = = = ，存在常数 = ，使得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立 12 分
