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福建省龙海市程溪中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题理.doc

1、- 1 -2018-2019 学年上学期高二年期中考试卷 数学(理科)考试时间:120 分钟(注意:所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效,不予记分。 )一、选择题(本大题共 12 小题,共 60 分)1. 设向量 =(-1,-1,1) , =(-1,0,1) ,则 cos , =( )A. B. C. D.2. 已知 a R,则“ a2”是“ a22 a”成立的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 向量 =(2- x,-1, y), =(-1, x,-1)若 ,则 x+y=( )A. -2 B. 0 C. 1 D. 2

2、4 .已知双曲线 上有一点 M 到左焦点 F1的距离为 18,则点 M 到右焦点 F2的距离是( )A.8 B.28 C.12 D.8 或 285 .命题“x0,x 2+x0” 的否定是( )A.x0,x 2+x0 B.x0,x 2+x0 C.x00 ,x 02+x00 D.x00,x 02+x006. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, M、 N 分别是CD、 CC1的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是( )A. 30 B. 45 C. 60 D. 907. 抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是 ( )A. B. C. D. 8. 已知 ,则 的最小值是( )

3、A. B. C. D. 9. 已知双曲线 - =1( a0, b0)的离心率为 ,则双曲线的渐近线方程为( )A. y=2x B. y= x C. y= x D. y= x- 2 -10. 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, E 为 PD 中点,若 , ,则 =( )A. B. C. D. 11. 已知 P 是椭圆 +y2=1 上的动点,则 P 点到直线 l: x+y-2 =0 的距离的最小值为( )A. B. C. D. 12. 若双曲线的中心为原点, F(-2,0)是双曲线的焦点,过 F 直线 l 与双曲线交于 M, N两点,且 MN 的中点为 P(1,3),则双曲线的

4、方程为( )A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 4 小题,共 20 分)13. 已 (2,1,3), (4, y,2),且 ( ),则 y 的值为_14. 已知点 P 在抛物线 y2=8x 上运动, F 为抛物线的焦点,点 A 的坐标为(5,2),则 PA+PF的最小值是_15. 已知命题 p“ xR,sinx+cosxm”是真命题,那么实数 m 的取值范围是_16. 如图在四面体 ABCD 中,若截面 PQMN 是正方形,则在下列命题中正确的有_ (填上所有正确命题的序号) ACBDAC=BDAC截面 PQMN异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45- 3 -三、解答题(本大题共

5、 6 小题,共 70 分)17.(10 分)已知命题 p:方程 表示焦点在 y 轴的椭圆,命题 q:关于 x 的方程 x2-2x+4m=0 没有实数根若 p 为真, p q 为真,求实数 m 的取值范围18. (12 分)已知 O 为坐标原点, M 是椭圆 =1 上的点,设动点 P 满足()求动点 P 的轨迹 C 的方程;()若直线 l: y=x+m( m0)与曲线 C 相交于 A, B 两个不同点,求 OAB 面积的最大值19.(12 分)将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使得平面 ABD平面 CBD,AE平面 ABD,且 AE= ()求 DE 与平面 BEC 所成角的

6、正弦值;()直线 BE 上是否存在一点 M,使得 CM平面 ADE,若存在,求点 M 的位置,不存在请说明理由 20. (12 分)已知 p: x A=x|x2+ax+b0, a R, b R, q: x B=x|x2-2mx+m2-40, m R(1)若 A=x|-1 x4,求 a+b 的值;(2)在(1)的条件下,若 q 是 p 的必要条件,求实数 m 的取值范围- 4 -21.(12 分)如图,直二面角 D-AB-E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE上的点,且 BF平面 ACE()求证 AE平面 BCE;()求二面角 B-AC-E 的平面角的余弦值;

7、()求点 D 到平面 ACE 的距离22.(12 分) 已知抛物线 C1,: y2=2px 上一点 M(3, y0)到其焦点 F 的距离为 4,椭圆 C2:+ =1( a b0)的离心率 e= ,且过抛物线的焦点 F(1)求抛物线 C1和椭圆 C2的标准方程;(2)过点 F 的直线 l1交抛物线 C1交于 A, B 两不同点,交 y 轴于点 N,已知 = , =,求证:+ 为定值- 5 -20182019 学年上学期高二年期中考试卷数学(理科)答案一、选择题(本大题共 12 小题,共 60 分)112 D A D D C D B A D C A D二、填空题(本大题共 4 小题,共 20 分)

8、13. 12 14. 7 15 (-, ) 16. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(10 分)【答案】解: p:若方程 表示焦点在 y 轴的椭圆,则 m-12,得 m3(2 分)q:若 x2-2x+4m=0 没有实数根,则判别式=4-16 m0,得 m (4 分)若 p 为真,则 p 为假命题,若 p q 为真,则 q 是真命题,即 p 假 q 真 (7分) - 6 -则 , 得 m3,所以 m 的取值范围是( ,3(10 分)18. (12 分)【答案】解:()设点 P( x, y), M( x1, y1),由 ,得 x=2x1, y=2y1,因为点 M 在椭圆圆 =1

9、 上,所以 ,故 ,即动点 P 的轨迹 C 的方程为 (4 分)()由曲线 C 与直线 l 联立得 ,消 y 得 3x2+4mx+2m2-8=0,因为直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,所以=16 m2-43(2 m2-8)0,又 m0,所以 0 m212 (6 分)设设 A( x3, y3), B( x4, y4),则 , ,因为点 O 到直线 A: x-y+m=0 的距离 d= ,(8 分)|AB|= = = ,所以 S = , (10 分) =2 ,当且仅当 m2=12-m2,即 m2=6 时取等号,所以 OAB 面积的最大值为 2 (12 分)19. (12 分)【答案】解 (

10、) )以 A 为坐标原点,以 AB,AD,AE 所在的直线分别为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则 E(0,0, ),B(2,0,0),D(0,2,0),设平面 BCE 的法向量为 则,即 令 x=1,得: 又- 7 -设平面 DE 与平面 BCE 所成角为 ,则(6 分)()假设存在点 M 使得 CM面 ADE,则, 得: 又因为 AE平面 ABD,ABAD 所以 AB平面 ADE因为 CM面 ADE,则 即得:2-1=0故点 M 为 BE 的中点时 CM面 ADE (12 分)20.(12 分)【答案】解(1)若 A=x|-1 x4,则方程 x2+ax+b=0 的两根为-1 和 4(2

11、 分)由根与系数的关系,得 ,解得 a=-3, b=-4,所以 a+b=-7(4 分)(2)由 x2-2mx+m2-40 得 m-2 x m+2,即 q: m-2 x m+2,(6 分) q: x m+2 或 x m-2,(8 分)因为 q 是 p 的必要条件,所以 AC(10 分)故 m-24 或 m+2-1解得 m6,或 m-3故实数 m 的取值范围是(-,-36,+)(12 分)21. (12 分)【答案】解:(I)BF平面 ACE,BFAE,二面角 D-AB-E 为直二面角,平面 ABCD平面 ABE,又 BCAB,BC平面 ABE,BCAE,又 BF平面 BCE,BFBC=B, AE

12、平面 BCE (4 分)()以线段 AB 的中点为原点 O,OE 所在直线为 x 轴,AB 所在直线为 y 轴,过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz,如图AE面 BCE,BE面 BCE, AEBE,在 RtAEB 中,AB=2,O 为 AB 的中点,OE=1A(0,-1,0) ,E(1,0,0) ,C(0,1,2) , =(1,1,0) , =(0,2,2)设平面 AEC 的一个法向量为 =(x,y,z) ,则 ,即 , 解得 ,令 x=1,得 =(1,-1,1)是平面 AEC 的一个法向量- 8 -又平面 BAC 的一个法向量为 =(1,0,0) ,cos

13、( , )= = = 二面角 B-AC-E 的平面角的余弦值为 (8 分)(III)ADz 轴,AD=2, =(0,0,2) ,点 D 到平面 ACE 的距离 d=| |cos , = = = (12 分)22.(12 分)【答案】解(1)抛物线 C1: y2=2px 上一点 M(3, y0)到其焦点 F 的距离为 4;抛物线的准线为 x=-抛物线上点 M(3, y0)到其焦点 F 的距离| MF|等于到准线的距离 d所以 d=3+ =4,所以 p=2抛物线 C1的方程为 y2=4x (3 分)C2: + =1( a b0)的离心率 e= ,且过抛物线的焦点 F(1,0)所以 b=1, ,解得 a2=2所以椭圆的标准方程为 =1; (3 分)(2)证明:直线 l1的斜率必存在,设为 k,设直线 l 与椭圆 C2交于 A( x1, y1),B( x2, y2)则直线 l 的方程为 y=k( x-1), N(0,- k)联立方程组,得到 k2x2-(2 k2+4) x+k2=0,=16 k2+160,所以 x1+x2= , x1x2=1(*) 由 = , = ,得:(1- x1)= x1,(1- x2)= x2得:= ,= ,所以 += + = ,将(*)代入上式,得 +=-1. (12 分)

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