1、- 1 -2018-2019 学年上学期高二年期中考试卷 数学（理科）考试时间：120 分钟（注意：所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。 ）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1. 设向量 =（-1，-1，1） ， =（-1，0，1） ，则 cos ， =（ ）A. B. C. D.2. 已知 a R，则“ a2”是“ a22 a”成立的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 向量 =（2- x，-1， y）， =（-1， x，-1）若 ，则 x+y=（ ）A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
2、4 .已知双曲线 上有一点 M 到左焦点 F1的距离为 18，则点 M 到右焦点 F2的距离是（ ）A.8 B.28 C.12 D.8 或 285 .命题“x0，x 2+x0” 的否定是（ ）A.x0，x 2+x0 B.x0，x 2+x0 C.x00 ，x 02+x00 D.x00，x 02+x006. 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， M、 N 分别是CD、 CC1的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 907. 抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是 ( ）A. B. C. D. 8. 已知 ，则 的最小值是（ ）
3、A. B. C. D. 9. 已知双曲线 - =1（ a0， b0）的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. y=2x B. y= x C. y= x D. y= x- 2 -10. 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， E 为 PD 中点，若 ， ，则 =（ ）A. B. C. D. 11. 已知 P 是椭圆 +y2=1 上的动点，则 P 点到直线 l： x+y-2 =0 的距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 12. 若双曲线的中心为原点， F（-2，0）是双曲线的焦点，过 F 直线 l 与双曲线交于 M， N两点，且 MN 的中点为 P（1，3），则双曲线的
4、方程为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13. 已 （2，1，3）， （4， y，2），且 （ ），则 y 的值为_14. 已知点 P 在抛物线 y2=8x 上运动， F 为抛物线的焦点，点 A 的坐标为（5，2），则 PA+PF的最小值是_15. 已知命题 p“ xR,sinx+cosxm”是真命题,那么实数 m 的取值范围是_16. 如图在四面体 ABCD 中，若截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中正确的有_ （填上所有正确命题的序号） ACBDAC=BDAC截面 PQMN异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45- 3 -三、解答题（本大题共
5、 6 小题，共 70 分）17.（10 分）已知命题 p：方程 表示焦点在 y 轴的椭圆，命题 q：关于 x 的方程 x2-2x+4m=0 没有实数根若 p 为真， p q 为真，求实数 m 的取值范围18. （12 分）已知 O 为坐标原点， M 是椭圆 =1 上的点，设动点 P 满足（）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（）若直线 l： y=x+m（ m0）与曲线 C 相交于 A， B 两个不同点，求 OAB 面积的最大值19.（12 分）将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使得平面 ABD平面 CBD，AE平面 ABD，且 AE= ()求 DE 与平面 BEC 所成角的
6、正弦值；()直线 BE 上是否存在一点 M，使得 CM平面 ADE，若存在，求点 M 的位置，不存在请说明理由 20. （12 分）已知 p： x A=x|x2+ax+b0， a R， b R， q： x B=x|x2-2mx+m2-40， m R（1）若 A=x|-1 x4，求 a+b 的值；（2）在（1）的条件下，若 q 是 p 的必要条件，求实数 m 的取值范围- 4 -21.（12 分）如图，直二面角 D-AB-E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB，F 为 CE上的点，且 BF平面 ACE（）求证 AE平面 BCE；（）求二面角 B-AC-E 的平面角的余弦值；
7、（）求点 D 到平面 ACE 的距离22.（12 分） 已知抛物线 C1，： y2=2px 上一点 M（3， y0）到其焦点 F 的距离为 4，椭圆 C2：+ =1（ a b0）的离心率 e= ，且过抛物线的焦点 F（1）求抛物线 C1和椭圆 C2的标准方程；（2）过点 F 的直线 l1交抛物线 C1交于 A， B 两不同点，交 y 轴于点 N，已知 = ， =，求证：+ 为定值- 5 -20182019 学年上学期高二年期中考试卷数学（理科）答案一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）112 D A D D C D B A D C A D二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
8、13. 12 14. 7 15 （-， ) 16. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17.（10 分）【答案】解： p：若方程 表示焦点在 y 轴的椭圆，则 m-12，得 m3（2 分）q：若 x2-2x+4m=0 没有实数根，则判别式=4-16 m0，得 m （4 分）若 p 为真，则 p 为假命题，若 p q 为真，则 q 是真命题，即 p 假 q 真 （7分） - 6 -则 ， 得 m3，所以 m 的取值范围是（ ，3（10 分）18. （12 分）【答案】解：（）设点 P（ x， y）， M（ x1， y1），由 ，得 x=2x1， y=2y1，因为点 M 在椭圆圆 =1
9、 上，所以 ，故 ，即动点 P 的轨迹 C 的方程为 (4 分)（）由曲线 C 与直线 l 联立得 ，消 y 得 3x2+4mx+2m2-8=0，因为直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，所以=16 m2-43（2 m2-8）0，又 m0，所以 0 m212 (6 分)设设 A（ x3， y3）， B（ x4， y4），则 ， ，因为点 O 到直线 A： x-y+m=0 的距离 d= ，(8 分)|AB|= = = ，所以 S = ， (10 分) =2 ，当且仅当 m2=12-m2，即 m2=6 时取等号，所以 OAB 面积的最大值为 2 (12 分)19. （12 分）【答案】解 (
10、) )以 A 为坐标原点，以 AB，AD，AE 所在的直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 E(0，0， )，B(2，0，0)，D(0，2，0)，设平面 BCE 的法向量为 则，即 令 x=1，得： 又- 7 -设平面 DE 与平面 BCE 所成角为 ，则(6 分)()假设存在点 M 使得 CM面 ADE，则， 得: 又因为 AE平面 ABD，ABAD 所以 AB平面 ADE因为 CM面 ADE，则 即得:2-1=0故点 M 为 BE 的中点时 CM面 ADE (12 分)20.（12 分）【答案】解（1）若 A=x|-1 x4，则方程 x2+ax+b=0 的两根为-1 和 4（2
11、 分）由根与系数的关系，得 ，解得 a=-3， b=-4，所以 a+b=-7（4 分）（2）由 x2-2mx+m2-40 得 m-2 x m+2，即 q： m-2 x m+2，（6 分） q： x m+2 或 x m-2，（8 分）因为 q 是 p 的必要条件，所以 AC（10 分）故 m-24 或 m+2-1解得 m6，或 m-3故实数 m 的取值范围是（-，-36，+）（12 分）21. （12 分）【答案】解：（I）BF平面 ACE，BFAE，二面角 D-AB-E 为直二面角，平面 ABCD平面 ABE，又 BCAB，BC平面 ABE，BCAE，又 BF平面 BCE，BFBC=B， AE
12、平面 BCE (4 分)（）以线段 AB 的中点为原点 O，OE 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，过 O 点平行于 AD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz，如图AE面 BCE，BE面 BCE， AEBE，在 RtAEB 中，AB=2，O 为 AB 的中点，OE=1A（0，-1，0） ，E（1，0，0） ，C（0，1，2） ， =（1，1，0） ， =（0，2，2）设平面 AEC 的一个法向量为 =（x，y，z） ，则 ，即 ， 解得 ，令 x=1，得 =（1，-1，1）是平面 AEC 的一个法向量- 8 -又平面 BAC 的一个法向量为 =（1，0，0） ，cos
13、（ ， ）= = = 二面角 B-AC-E 的平面角的余弦值为 (8 分)（III）ADz 轴，AD=2， =（0，0，2） ，点 D 到平面 ACE 的距离 d=| |cos ， = = = (12 分)22.（12 分）【答案】解（1）抛物线 C1： y2=2px 上一点 M（3， y0）到其焦点 F 的距离为 4；抛物线的准线为 x=-抛物线上点 M（3， y0）到其焦点 F 的距离| MF|等于到准线的距离 d所以 d=3+ =4，所以 p=2抛物线 C1的方程为 y2=4x (3 分)C2： + =1（ a b0）的离心率 e= ，且过抛物线的焦点 F（1，0）所以 b=1， ，解得 a2=2所以椭圆的标准方程为 =1； (3 分)（2）证明：直线 l1的斜率必存在，设为 k，设直线 l 与椭圆 C2交于 A（ x1， y1），B（ x2， y2）则直线 l 的方程为 y=k（ x-1）， N（0，- k）联立方程组，得到 k2x2-（2 k2+4） x+k2=0，=16 k2+160，所以 x1+x2= ， x1x2=1（*） 由 = ， = ，得：（1- x1）= x1，（1- x2）= x2得：= ，= ，所以 += + = ，将（*）代入上式，得 +=-1. (12 分)
