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(浙江专用)2019高考数学二轮复习专题四解析几何第1讲直线与圆学案.doc

1、1第 1 讲 直线与圆考情考向分析 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)此类问题难度属于中低档,一般以选择题、填空题的形式出现热点一 直线的方程及应用1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 l1, l2的斜率 k1, k2存在,则 l1 l2k1 k2, l1 l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、斜截式方程要求直线不能与 x 轴垂直,两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线

2、 l1: Ax By C10,l2: Ax By C20 间的距离 d (A2 B20)|C1 C2|A2 B2(2)点( x0, y0)到直线 l: Ax By C0 的距离公式 d (A2 B20)|Ax0 By0 C|A2 B2例 1 (1)已知直线 l1: xsin y10,直线 l2: x3 ycos 10,若 l1 l2,则 sin 2 等于( )A. B C D.23 35 35 35答案 D解析 因为 l1 l2,所以 sin 3cos 0,所以 tan 3,所以 sin 2 2sin cos 2sin cos sin2 cos2 .2tan 1 tan2 35(2)在平面直角

3、坐标系 xOy 中,直线 l1: kx y20 与直线 l2: x ky20 相交于点 P,则当实数 k 变化时,点 P 到直线 x y40 的距离的最大值为_2答案 3 2解析 由题意得,当 k0 时,直线 l1: kx y20 的斜率为 k,且经过点 A(0,2),直线l2: x ky20 的斜率为 ,且经过点 B(2,0),且直线 l1 l2,所以点 P 落在以 AB 为直1k径的圆 C 上,其中圆心坐标为 C(1,1),半径为 r ,2由圆心到直线 x y40 的距离为 d 2 ,|1 1 4|2 2所以点 P 到直线 x y40 的最大距离为d r2 3 .2 2 2当 k0 时,

4、l1 l2,此时点 P(2,2)点 P 到直线 x y40 的距离 d 2 .|2 2 4|2 2综上,点 P 到直线 x y40 的距离的最大值为 3 .2思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况(2)对解题中可能出现的特殊情况,可用数形结合的方法分析研究跟踪演练 1 (1)直线 ax( a1) y10 与直线 4x ay20 互相平行,则实数a_.答案 2解析 当 a0 时, ,a4 a 1a 1 2解得 a2.当 a0 时,两直线显然不平行故 a2.(2)圆 x2 y22 x4 y30 的圆心到直线 x ay10 的距离为 2,则 a 等于( )A1 B0C1

5、 D2答案 B解析 因为( x1) 2 22,(y 2)所以 2,所以 a0.|1 2a 1|1 a2热点二 圆的方程及应用1圆的标准方程当圆心为( a, b),半径为 r 时,其标准方程为( x a)2( y b)2 r2,特别地,当圆心在原点时,方程为 x2 y2 r2.2圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F0,其中 D2 E24 F0,表示以 为圆心, 为半径(D2, E2) D2 E2 4F23的圆例 2 (1)圆心为(2,0)的圆 C 与圆 x2 y24 x6 y40 相外切,则 C 的方程为( )A x2 y24 x20B x2 y24 x20C x2 y24 x0D x2 y2

6、4 x0答案 D解析 圆 x2 y24 x6 y40,即( x2) 2( y3) 29,圆心为(2,3),半径为 3.设圆 C 的半径为 r.由两圆外切知,圆心距为 53 r,2 22 0 32所以 r2.故圆 C 的方程为( x2) 2 y24,展开得 x2 y24 x0.(2)已知圆 M 与直线 3x4 y0 及 3x4 y100 都相切,圆心在直线 y x4 上,则圆M 的方程为( )A. 2( y1) 21(x 3)B. 2 21(x 3) (y 1)C. 2 21(x 3) (y 1)D. 2( y1) 21(x 3)答案 C解析 到两直线 3x4 y0 及 3x4 y100 的距离

7、都相等的直线方程为 3x4 y50,联立方程组Error!解得Error!两平行线之间的距离为 2,所以半径为 1,从而圆 M 的方程为2 21.故选 C.(x 3) (y 1)思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程(2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数跟踪演练 2 (1)(2016浙江)已知 aR,方程 a2x2( a2) y24 x8 y5 a0 表示圆,则圆心坐标是_,半径是_答案 (2,4) 5解析 由已知方程表示圆,则 a2 a2,解得 a2 或 a1.4当 a2 时,方程

8、不满足表示圆的条件,故舍去当 a1 时,原方程为 x2 y24 x8 y50,化为标准方程为( x2) 2( y4) 225,表示以(2,4)为圆心,5 为半径的圆(2)(2018天津)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为_答案 x2 y22 x0解析 方法一 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0.圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),Error! 解得Error!圆的方程为 x2 y22 x0.方法二 画出示意图如图所示,则 OAB 为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为 1,所求圆的方程为( x1) 2 y21,即 x2 y2

9、2 x0.热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系:相交、相切和相离,判断的方法主要有点线距离法和判别式法(1)点线距离法:设圆心到直线的距离为 d,圆的半径为 r,则 dr直线与圆相离(2)判别式法:设圆 C:( x a)2( y b)2 r2,直线 l: Ax By C0( A2 B20),方程组Error!消去 y,得到关于 x 的一元二次方程,其根的判别式为 ,则直线与圆相离 0.2圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外离设圆 C1:( x a1)2( y b1)2 r ,圆 C2:( x a2)2( y b2)2 r ,两圆心之间的距离为21 2d,则圆与

10、圆的五种位置关系的判断方法如下:(1)dr1 r2两圆外离(2)d r1 r2两圆外切(3)|r1 r2|11,22 22 2故两圆外离(2)(2018湖州、衢州、丽水三地市模拟)若 cR,则“ c4”是“直线 3x4 y c0 与圆 x2 y22 x2 y10 相切”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 将圆的方程化为标准方程,得( x1) 2( y1) 21,若直线与圆相切,则有1,解得 c4 或 c6,所以“ c4”是“直线 3x4 y c0| 13 14 c|32 42与圆 x2 y22 x2 y10 相切”的充分不必要条件,故选 A.思

11、维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题跟踪演练 3 (1)已知直线 y ax 与圆 C: x2 y22 ax2 y20 交于两点 A, B,且 CAB为等边三角形,则圆 C 的面积为_答案 6解析 圆 C 化为( x a)2( y1) 2 a21,且圆心 C(a,1),半径 R (a21)a2 1直线 y ax 与圆 C

12、相交,且 ABC 为等边三角形,圆心 C 到直线 ax y0 的距离为Rsin 60 ,32 a2 1即 d .|a2 1|a2 1 3a2 12解得 a27.6圆 C 的面积为 R2(71)6.(2)如果圆( x a)2( y a)28 上总存在到原点的距离为 的点,则实数 a 的取值范围是( )2A(3,1)(1,3)B(3,3)C1,1D3,11,3答案 D解析 圆心( a, a)到原点的距离为| a|,半径 r2 ,圆上的点到原点的距离为 d.因为2 2圆( x a)2( y a)28 上总存在到原点的距离为 的点,则圆( x a)2( y a)28 与圆2x2 y22 有公共点, r

13、 ,所以 r r| a| r r,即 1| a|3,解得2 21 a3 或3 a1,所以实数 a 的取值范围是3,11,3.真题体验1(2016山东改编)已知圆 M: x2 y22 ay0( a0)截直线 x y0 所得线段的长度是 2,则圆 M 与圆 N:( x1) 2( y1) 21 的位置关系是_2答案 相交解析 圆 M: x2( y a)2 a2,圆心坐标为 M(0, a),半径 r1 a,圆心 M 到直线 x y0 的距离 d ,|a|2由几何知识得 2( )2 a2,解得 a2.(|a|2) 2 M(0,2), r12.又圆 N 的圆心坐标为 N(1,1),半径 r21,| MN|

14、 .1 02 1 22 2又 r1 r23, r1 r21, r1 r20,所以 t1 ,所以 mn32 .mn 2 2故 mn 有最小值 32 ,无最大值故选 B.23若圆 x2 y24 与圆 x2 y2 ax2 ay90( a0)相交,公共弦的长为 2 ,则2a_.押题依据 本题已知公共弦长,求参数的范围,情境新颖,符合高考命题的思路答案 102解析 联立两圆方程Error!可得公共弦所在直线方程为 ax2 ay50,故圆心(0,0)到直线 ax2 ay50 的距离为 (a0)| 5|a2 4a2 5a故 2 2 ,解得 a2 ,22 (5a)2 2 52因为 a0,所以 a .102A

15、组 专题通关1若 0,直线过(0,sin ),(cos ,0)两点,因而直线不过第二象限2设直线 l1: x2 y10 与直线 l2: mx y30 的交点为 A, P, Q 分别为 l1, l2上任意两点,点 M 为 P, Q 的中点,若| AM| |PQ|,则 m 的值为( )12A2 B2C3 D3答案 A解析 根据题意画出图形,如图所示直线 l1: x2 y10 与直线 l2: mx y30 的交点为 A, M 为 PQ 的中点,若| AM| |PQ|,12则 PA QA,即 l1 l2,1 m(2)10,解得 m2.3(2018浙江省温州六校协作体联考)直线 x ay20 与圆 x2

16、 y21 相切,则 a 的值为( )A. B333C D33 3答案 D解析 因为直线 x ay20 与圆 x2 y21 相切,所以圆心(0,0)到直线 x ay20 的距离等于圆的半径,即 1,解得 a ,故选 D.212 a2 34与直线 x y40 和圆 x2 y22 x2 y0 都相切的半径最小的圆的方程是( )A( x1) 2 22(y 1)B( x1) 2 24(y 1)10C( x1) 2 22(y 1)D( x1) 2 24(y 1)答案 C解析 圆 x2 y22 x2 y0 的圆心为(1,1),半径为 ,过圆心(1,1)与直线2x y40 垂直的直线方程为 x y0,所求的圆

17、心在此直线上,又圆心(1,1)到直线x y40 的距离为 3 ,则所求圆的半径为 ,设所求圆心为( a, b),且圆心在直线62 2 2x y40 的左上方,则 ,且 a b0,解得 a1, b1( a3, b3|a b 4|2 2不符合半径最小,舍去),故所求圆的方程为( x1) 2 22.(y 1)5已知点 P 是直线 l: x y b0 上的动点,由点 P 向圆 O: x2 y21 引切线,切点分别为 M, N,且 MPN90,若满足以上条件的点 P 有且只有一个,则 b 等于( )A2 B2 C. D2 2答案 B解析 由题意得 PMO PNO MON90,| MO| ON|1,四边形

18、 PMON 是正方形,| PO| ,2满足以上条件的点 P 有且只有一个, OP 垂直于直线 x y b0, , b2.2| b|1 16(2018浙江省温州六校协作体联考)过点 P(3,0)作直线 2ax( a b)y2 b0( a, b不同时为零)的垂线,垂足为 M,已知点 N(2,3),则当 a, b 变化时,| MN|的取值范围是( )A5 ,5 B5 ,55 5 5C5,5 D0,5 5 5答案 A解析 直线 2ax( a b)y2 b0 过定点 D(1,2),因为 PM MD,所以点 M 在以 PD 为直径的圆上运动,易得此圆的圆心为(1,1),半径为 ,又因为点 N 与圆心的距离

19、为55,所以| MN|的取值范围为5 ,5 ,故选 A. 1 22 1 32 5 57已知圆 C1: x2 y2 kx2 y0 与圆 C2: x2 y2 ky40 的公共弦所在直线恒过定点P(a, b),且点 P 在直线 mx ny20 上,则 mn 的取值范围是( )A. B.(0,14) (0, 14C. D.( ,14) ( , 1411答案 D解析 由 x2 y2 kx2 y0 与 x2 y2 ky40,相减得公共弦所在直线方程为 kx y40,(k 2)即 k(x y) 0,(2y 4)所以由Error! 得 x2, y2,即 P ,因此 2m2 n20,(2, 2)所以 m n1,

20、 mn 2 (当且仅当 m n 时取最大值)(m n2 ) 148直线 x ysin 30( R)的倾斜角的取值范围是_答案 4, 34解析 若 sin 0,则直线的倾斜角为 ; 2若 sin 0,则直线的斜率 k ,1sin ( , 1 1, )设直线的倾斜角为 ,则 tan ,( , 1 1, )故 , 4, 2) ( 2, 34综上可得直线的倾斜角的取值范围是 . 4, 349若过点(2,0)有两条直线与圆 x2 y22 x2 y m10 相切,则实数 m 的取值范围是_答案 (1,1)解析 由题意过点(2,0)有两条直线与圆 x2 y22 x2 y m10 相切,则点(2,0)在圆外,

21、即 2222 m10,解得 m1;由方程 x2 y22 x2 y m10 表示圆,则(2) 22 24( m1)0,解得 m0,解得 a6,故选 D.|3 4 a|51415为保护环境,建设美丽乡村,镇政府决定为 A, B, C 三个自然村建造一座垃圾处理站,集中处理 A, B, C 三个自然村的垃圾,受当地条件限制,垃圾处理站 M 只能建在与 A 村相距5 km,且与 C 村相距 km 的地方已知 B 村在 A 村的正东方向,相距 3 km, C 村在 B 村31的正北方向,相距 3 km,则垃圾处理站 M 与 B 村相距_ km.3答案 2 或 7解析 以 A 为坐标原点, AB 所在直线

22、为 x 轴建立平面直角坐标系(图略),则 A(0,0), B(3,0),C(3,3 )3由题意得垃圾处理站 M 在以 A(0,0)为圆心,5 为半径的圆 A 上,同时又在以 C(3,3 )为圆3心, 为半径的圆 C 上,两圆的方程分别为 x2 y225 和( x3) 2( y3 )231.31 3由Error!解得Error! 或Error!垃圾处理站 M 的坐标为(5,0)或 ,(52, 532)| MB|2 或| MB| 7,( 52 3)2 (532)2即垃圾处理站 M 与 B 村相距 2 km 或 7 km.16点 P(x, y)是直线 2x y40 上的动点, PA, PB 是圆 C

23、: x2( y1) 21 的两条切线,A, B 是切点,则 PAB 面积的最小值为_答案 85解析 由圆的方程 C: x2( y1) 21,可得圆心 C(0,1),半径 r1,则圆心到直线 2x y40 的距离为 d ,522 12 5设| PC| m,则 m ,515则 S PAB |PA|2sin 2 APC12| PA|2sin APCcos APC| PA|2 ,1|PC| |PA|PC| (m2 1)3m2令 S , m ,m2 13m2 5所以 Sm2 1(3m2 2m2 2)m3 0,m2 1(m2 2)m3所以函数 S 在 上单调递增,5, )所以 Smin S .(5)85即( S PAB)min .85

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