1、1第 1 讲 直线与圆考情考向分析 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现热点一 直线的方程及应用1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 l1， l2的斜率 k1， k2存在，则 l1 l2k1 k2， l1 l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、斜截式方程要求直线不能与 x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线
2、 l1： Ax By C10，l2： Ax By C20 间的距离 d (A2 B20)|C1 C2|A2 B2(2)点( x0， y0)到直线 l： Ax By C0 的距离公式 d (A2 B20)|Ax0 By0 C|A2 B2例 1 (1)已知直线 l1： xsin y10，直线 l2： x3 ycos 10，若 l1 l2，则 sin 2 等于( )A. B C D.23 35 35 35答案 D解析 因为 l1 l2，所以 sin 3cos 0，所以 tan 3，所以 sin 2 2sin cos 2sin cos sin2 cos2 .2tan 1 tan2 35(2)在平面直角
3、坐标系 xOy 中，直线 l1： kx y20 与直线 l2： x ky20 相交于点 P，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x y40 的距离的最大值为_2答案 3 2解析 由题意得，当 k0 时，直线 l1： kx y20 的斜率为 k，且经过点 A(0,2)，直线l2： x ky20 的斜率为 ，且经过点 B(2,0)，且直线 l1 l2，所以点 P 落在以 AB 为直1k径的圆 C 上，其中圆心坐标为 C(1,1)，半径为 r ，2由圆心到直线 x y40 的距离为 d 2 ，|1 1 4|2 2所以点 P 到直线 x y40 的最大距离为d r2 3 .2 2 2当 k0 时，
4、l1 l2，此时点 P(2,2)点 P 到直线 x y40 的距离 d 2 .|2 2 4|2 2综上，点 P 到直线 x y40 的距离的最大值为 3 .2思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究跟踪演练 1 (1)直线 ax( a1) y10 与直线 4x ay20 互相平行，则实数a_.答案 2解析 当 a0 时， ，a4 a 1a 1 2解得 a2.当 a0 时，两直线显然不平行故 a2.(2)圆 x2 y22 x4 y30 的圆心到直线 x ay10 的距离为 2，则 a 等于( )A1 B0C1
5、 D2答案 B解析 因为( x1) 2 22，(y 2)所以 2，所以 a0.|1 2a 1|1 a2热点二 圆的方程及应用1圆的标准方程当圆心为( a， b)，半径为 r 时，其标准方程为( x a)2( y b)2 r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2 y2 r2.2圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F0，其中 D2 E24 F0，表示以 为圆心， 为半径(D2， E2) D2 E2 4F23的圆例 2 (1)圆心为(2,0)的圆 C 与圆 x2 y24 x6 y40 相外切，则 C 的方程为( )A x2 y24 x20B x2 y24 x20C x2 y24 x0D x2 y2
6、4 x0答案 D解析 圆 x2 y24 x6 y40，即( x2) 2( y3) 29，圆心为(2,3)，半径为 3.设圆 C 的半径为 r.由两圆外切知，圆心距为 53 r，2 22 0 32所以 r2.故圆 C 的方程为( x2) 2 y24，展开得 x2 y24 x0.(2)已知圆 M 与直线 3x4 y0 及 3x4 y100 都相切，圆心在直线 y x4 上，则圆M 的方程为( )A. 2( y1) 21(x 3)B. 2 21(x 3) (y 1)C. 2 21(x 3) (y 1)D. 2( y1) 21(x 3)答案 C解析 到两直线 3x4 y0 及 3x4 y100 的距离
7、都相等的直线方程为 3x4 y50，联立方程组Error!解得Error!两平行线之间的距离为 2，所以半径为 1，从而圆 M 的方程为2 21.故选 C.(x 3) (y 1)思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数跟踪演练 2 (1)(2016浙江)已知 aR，方程 a2x2( a2) y24 x8 y5 a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_答案 (2，4) 5解析 由已知方程表示圆，则 a2 a2，解得 a2 或 a1.4当 a2 时，方程
8、不满足表示圆的条件，故舍去当 a1 时，原方程为 x2 y24 x8 y50，化为标准方程为( x2) 2( y4) 225，表示以(2，4)为圆心，5 为半径的圆(2)(2018天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_答案 x2 y22 x0解析 方法一 设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0.圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，Error! 解得Error!圆的方程为 x2 y22 x0.方法二 画出示意图如图所示，则 OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为 1，所求圆的方程为( x1) 2 y21，即 x2 y2
9、2 x0.热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r，则 dr直线与圆相离(2)判别式法：设圆 C：( x a)2( y b)2 r2，直线 l： Ax By C0( A2 B20)，方程组Error!消去 y，得到关于 x 的一元二次方程，其根的判别式为 ，则直线与圆相离 0.2圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离设圆 C1：( x a1)2( y b1)2 r ，圆 C2：( x a2)2( y b2)2 r ，两圆心之间的距离为21 2d，则圆与
10、圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)dr1 r2两圆外离(2)d r1 r2两圆外切(3)|r1 r2|11，22 22 2故两圆外离(2)(2018湖州、衢州、丽水三地市模拟)若 cR，则“ c4”是“直线 3x4 y c0 与圆 x2 y22 x2 y10 相切”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 将圆的方程化为标准方程，得( x1) 2( y1) 21，若直线与圆相切，则有1，解得 c4 或 c6，所以“ c4”是“直线 3x4 y c0| 13 14 c|32 42与圆 x2 y22 x2 y10 相切”的充分不必要条件，故选 A.思
11、维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题跟踪演练 3 (1)已知直线 y ax 与圆 C： x2 y22 ax2 y20 交于两点 A， B，且 CAB为等边三角形，则圆 C 的面积为_答案 6解析 圆 C 化为( x a)2( y1) 2 a21，且圆心 C(a,1)，半径 R (a21)a2 1直线 y ax 与圆 C
12、相交，且 ABC 为等边三角形，圆心 C 到直线 ax y0 的距离为Rsin 60 ，32 a2 1即 d .|a2 1|a2 1 3a2 12解得 a27.6圆 C 的面积为 R2(71)6.(2)如果圆( x a)2( y a)28 上总存在到原点的距离为 的点，则实数 a 的取值范围是( )2A(3，1)(1,3)B(3,3)C1,1D3，11,3答案 D解析 圆心( a， a)到原点的距离为| a|，半径 r2 ，圆上的点到原点的距离为 d.因为2 2圆( x a)2( y a)28 上总存在到原点的距离为 的点，则圆( x a)2( y a)28 与圆2x2 y22 有公共点， r
13、 ，所以 r r| a| r r，即 1| a|3，解得2 21 a3 或3 a1，所以实数 a 的取值范围是3，11,3.真题体验1(2016山东改编)已知圆 M： x2 y22 ay0( a0)截直线 x y0 所得线段的长度是 2，则圆 M 与圆 N：( x1) 2( y1) 21 的位置关系是_2答案 相交解析 圆 M： x2( y a)2 a2，圆心坐标为 M(0， a)，半径 r1 a，圆心 M 到直线 x y0 的距离 d ，|a|2由几何知识得 2( )2 a2，解得 a2.(|a|2) 2 M(0,2)， r12.又圆 N 的圆心坐标为 N(1,1)，半径 r21，| MN|
14、 .1 02 1 22 2又 r1 r23， r1 r21， r1 r20，所以 t1 ，所以 mn32 .mn 2 2故 mn 有最小值 32 ，无最大值故选 B.23若圆 x2 y24 与圆 x2 y2 ax2 ay90( a0)相交，公共弦的长为 2 ，则2a_.押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路答案 102解析 联立两圆方程Error!可得公共弦所在直线方程为 ax2 ay50，故圆心(0,0)到直线 ax2 ay50 的距离为 (a0)| 5|a2 4a2 5a故 2 2 ，解得 a2 ，22 (5a)2 2 52因为 a0，所以 a .102A
15、组 专题通关1若 0，直线过(0，sin )，(cos ，0)两点，因而直线不过第二象限2设直线 l1： x2 y10 与直线 l2： mx y30 的交点为 A， P， Q 分别为 l1， l2上任意两点，点 M 为 P， Q 的中点，若| AM| |PQ|，则 m 的值为( )12A2 B2C3 D3答案 A解析 根据题意画出图形，如图所示直线 l1： x2 y10 与直线 l2： mx y30 的交点为 A， M 为 PQ 的中点，若| AM| |PQ|，12则 PA QA，即 l1 l2，1 m(2)10，解得 m2.3(2018浙江省温州六校协作体联考)直线 x ay20 与圆 x2
16、 y21 相切，则 a 的值为( )A. B333C D33 3答案 D解析 因为直线 x ay20 与圆 x2 y21 相切，所以圆心(0,0)到直线 x ay20 的距离等于圆的半径，即 1，解得 a ，故选 D.212 a2 34与直线 x y40 和圆 x2 y22 x2 y0 都相切的半径最小的圆的方程是( )A( x1) 2 22(y 1)B( x1) 2 24(y 1)10C( x1) 2 22(y 1)D( x1) 2 24(y 1)答案 C解析 圆 x2 y22 x2 y0 的圆心为(1,1)，半径为 ，过圆心(1,1)与直线2x y40 垂直的直线方程为 x y0，所求的圆
17、心在此直线上，又圆心(1,1)到直线x y40 的距离为 3 ，则所求圆的半径为 ，设所求圆心为( a， b)，且圆心在直线62 2 2x y40 的左上方，则 ，且 a b0，解得 a1， b1( a3， b3|a b 4|2 2不符合半径最小，舍去)，故所求圆的方程为( x1) 2 22.(y 1)5已知点 P 是直线 l： x y b0 上的动点，由点 P 向圆 O： x2 y21 引切线，切点分别为 M， N，且 MPN90，若满足以上条件的点 P 有且只有一个，则 b 等于( )A2 B2 C. D2 2答案 B解析 由题意得 PMO PNO MON90，| MO| ON|1，四边形
18、 PMON 是正方形，| PO| ，2满足以上条件的点 P 有且只有一个， OP 垂直于直线 x y b0， ， b2.2| b|1 16(2018浙江省温州六校协作体联考)过点 P(3,0)作直线 2ax( a b)y2 b0( a， b不同时为零)的垂线，垂足为 M，已知点 N(2,3)，则当 a， b 变化时，| MN|的取值范围是( )A5 ，5 B5 ，55 5 5C5,5 D0,5 5 5答案 A解析 直线 2ax( a b)y2 b0 过定点 D(1，2)，因为 PM MD，所以点 M 在以 PD 为直径的圆上运动，易得此圆的圆心为(1，1)，半径为 ，又因为点 N 与圆心的距离
19、为55，所以| MN|的取值范围为5 ，5 ，故选 A. 1 22 1 32 5 57已知圆 C1： x2 y2 kx2 y0 与圆 C2： x2 y2 ky40 的公共弦所在直线恒过定点P(a， b)，且点 P 在直线 mx ny20 上，则 mn 的取值范围是( )A. B.(0，14) (0， 14C. D.( ，14) ( ， 1411答案 D解析 由 x2 y2 kx2 y0 与 x2 y2 ky40，相减得公共弦所在直线方程为 kx y40，(k 2)即 k(x y) 0，(2y 4)所以由Error! 得 x2， y2，即 P ，因此 2m2 n20，(2， 2)所以 m n1，
20、 mn 2 (当且仅当 m n 时取最大值)(m n2 ) 148直线 x ysin 30( R)的倾斜角的取值范围是_答案 4， 34解析 若 sin 0，则直线的倾斜角为 ； 2若 sin 0，则直线的斜率 k ，1sin ( ， 1 1， )设直线的倾斜角为 ，则 tan ，( ， 1 1， )故 ， 4， 2) ( 2， 34综上可得直线的倾斜角的取值范围是 . 4， 349若过点(2,0)有两条直线与圆 x2 y22 x2 y m10 相切，则实数 m 的取值范围是_答案 (1,1)解析 由题意过点(2,0)有两条直线与圆 x2 y22 x2 y m10 相切，则点(2,0)在圆外，
21、即 2222 m10，解得 m1；由方程 x2 y22 x2 y m10 表示圆，则(2) 22 24( m1)0，解得 m0，解得 a6，故选 D.|3 4 a|51415为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为 A， B， C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理 A， B， C 三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站 M 只能建在与 A 村相距5 km，且与 C 村相距 km 的地方已知 B 村在 A 村的正东方向，相距 3 km， C 村在 B 村31的正北方向，相距 3 km，则垃圾处理站 M 与 B 村相距_ km.3答案 2 或 7解析 以 A 为坐标原点， AB 所在直线
22、为 x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则 A(0,0)， B(3,0)，C(3,3 )3由题意得垃圾处理站 M 在以 A(0,0)为圆心，5 为半径的圆 A 上，同时又在以 C(3,3 )为圆3心， 为半径的圆 C 上，两圆的方程分别为 x2 y225 和( x3) 2( y3 )231.31 3由Error!解得Error! 或Error!垃圾处理站 M 的坐标为(5,0)或 ，(52， 532)| MB|2 或| MB| 7，( 52 3)2 (532)2即垃圾处理站 M 与 B 村相距 2 km 或 7 km.16点 P(x， y)是直线 2x y40 上的动点， PA， PB 是圆 C
23、： x2( y1) 21 的两条切线，A， B 是切点，则 PAB 面积的最小值为_答案 85解析 由圆的方程 C： x2( y1) 21，可得圆心 C(0,1)，半径 r1，则圆心到直线 2x y40 的距离为 d ，522 12 5设| PC| m，则 m ，515则 S PAB |PA|2sin 2 APC12| PA|2sin APCcos APC| PA|2 ，1|PC| |PA|PC| (m2 1)3m2令 S ， m ，m2 13m2 5所以 Sm2 1(3m2 2m2 2)m3 0，m2 1(m2 2)m3所以函数 S 在 上单调递增，5， )所以 Smin S .(5)85即( S PAB)min .85
