1、专升本高等数学二（向量代数与空间解析几何）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 设 a=一 1，0，2，b=2，一 3，1，则向量 a 与 b 的夹角为 ( )2 若 a，b 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b= ( )（A）1（B）一 1（C） 0（D）ab3 平面 x+ky 一 2z=9 与平面 2x+4y+3z=3 垂直，则 k= ( )（A）1（B） 2（C）（D）4 对任意向量 a 与 b，下列表达式中错误的是 ( )（A）a=一 a（B） a+ba b（C） aba b （D）a b ab5 过点(0 ，2，4) 且平行于平面 x+2z=1，y 一 3z=2 的直线方程为
2、( )6 直线 的位置关系是 ( )（A）平行但不重合（B）重合（C）垂直（D）斜交7 直线 x=3y=5z 与平面 4x+12y+20z1=0 的关系是 ( )（A）平行（B）垂直（C）相交（D）在平面上8 直线 l： 与平面 ：4x2y2z 3=0 的位置关系是 ( )（A）平行（B）垂直相交（C）直线 l 在 上（D）相交但不垂直9 方程 z=x2+y2 表示的曲面是 ( )（A）椭球面（B）旋转抛物面（C）球面（D）圆锥面10 双曲线 绕 z 轴旋转所成的曲面方程为 ( )11 下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是 ( )（A） =1（B） z=x2 一 y2（C） y2
3、=xz2（D）z 2 一 x2=2y2二、填空题12 设向量 =1，1，0，=2，0，1，则 与 的数量积 =_ ，向量积 =_13 设 a=2，2，1，b=8，一 4，1，则同时垂直于向量 a 与向量 b 的单位向量 e=_14 设 a=2，一 3，1，b=1，一 2，3，则同时垂直于 a 和 b，且在向量c(2， 1，2)上投影为 14 的向量 e=_15 过坐标原点且与平面 2xy+z+1=0 平行的平面方程为_16 平面 3xy+2z1=0 与 xOy 坐标面夹角的余弦是_17 过点(4 ，一 1，3) 且平行于直线 的直线方程为_18 直线 的夹角为_19 曲线 L： 在 yOz 平
4、面上的投影曲线方程是 _，在 xOy 平面上的投影曲线方程是_20 设a= ，b=1，a，b= ，求向量 ab 与 a 一 b 的夹角21 已知两点 A(4， ，1)，B(3，0，2)，求 的模、方向余弦和方向角22 一直线过点 M(1，2，1)，垂直于直线 L1： ，且和直线 L2： 相交，求该直线方程23 求过点 M0(1，2，1)且与两平面 1：x+y2z=1 和 2：x+2yz=1 平行的直线方程24 已知两直线 L1： 和 L2： ，求过 L1 且平行于 L2 的平面的方程25 求直线 上一点(3，4，1)到此直线与平面 x+y+z=2 的交点的距离26 求通过点(1，1，1) 且与
5、直线 垂直，又与平面 2xz 一 5=0 平行的直线方程27 通过点 A(2，一 1，3)作平面 x2y2z+11=0 的垂线，求垂线方程并求垂足的坐标28 求曲线 C： 在三个坐标平面上的投影曲线方程专升本高等数学二（向量代数与空间解析几何）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 cos= =0，所以 a，b 夹角为 【知识模块】 向量代数与空间解析几何2 【正确答案】 D【试题解析】 由 a，b 共线可知， a，b =0 或 ，又a= b=1 ，故ab= ab cos a，b=cosa，b=1 或一 1，应选 D【知识模块】 向量代数与空间解析几何3 【正确答案
6、】 A【试题解析】 由题意可得 21+4k 一 23=0，所以 k=1，故选 A【知识模块】 向量代数与空间解析几何4 【正确答案】 B【试题解析】 (a+b) 2=a 2+b 2+2 ab(a+b)2= a 2+b 2+2ab=a 2+b 2+2abcosa，b，故a+ba+b，且等号在 a，b 两向量同向平行时成立，故 B 错【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 C【试题解析】 两平面的交线方向 S= =一 2，3，1，即为所求直线的方向，所以所求直线方程为 【知识模块】 向量代数与空间解析几何6 【正确答案】 D【试题解析】 直线 的方向向量是一 3，3，5，直线 的方向
7、向量是=1，一 3，一 5，一 31+3(3)5(5)=一 37，故两直线的位置关系是斜交【知识模块】 向量代数与空间解析几何7 【正确答案】 C【试题解析】 直线 x=3y=5z 可化为 ，又 154+512+320=180，故平面与直线相交【知识模块】 向量代数与空间解析几何8 【正确答案】 A【试题解析】 直线的方向向量为一 2，一 7，3 ，平面 的法向量为4 ，一 2，一2，(2)4( 7)(2)+3(2)=0，且直线 l： 上的点(一 3，一 4，0)不在平面 ：4x 2y2z 3=0 上，所以直线与平面平行【知识模块】 向量代数与空间解析几何9 【正确答案】 B【试题解析】 旋转
8、抛物面的方程为 2pz=x2+y2，故题中方程表示的是旋转抛物面，【知识模块】 向量代数与空间解析几何10 【正确答案】 A【试题解析】 双曲线 绕 z 轴旋转所成的曲面方程为 =1，故选 A【知识模块】 向量代数与空间解析几何11 【正确答案】 C【试题解析】 f(x，z)=0 绕 x 轴旋转一周得到的曲面方程为 f(x， )=0，所以选项 C 符合题意，其他选项不合题意，应选 C【知识模块】 向量代数与空间解析几何二、填空题12 【正确答案】 2，1，一 1，一 2【试题解析】 =12+10+01=2 ，= =ij 一 2k=1，一 1，一 2【知识模块】 向量代数与空间解析几何13 【正
9、确答案】 e=【试题解析】 ab= k=6，6，一 24，所以 e= 【知识模块】 向量代数与空间解析几何14 【正确答案】 14，10，2【试题解析】 据题意设 e=(ab)=一 7，一 5，一 ，则 e 在 c 上的投影为ecose ，c= =14解得 =一 2，故 e=14，10，2【知识模块】 向量代数与空间解析几何15 【正确答案】 2xyz=0【试题解析】 平面 2xyz+1=0 的法向量，n=2，一 1，1，因为所求平面与已知平面平行，故所求平面的法向量也为，n=2，一 1，1，设所求平面方程为 2xy+z+a=0，又因所求平面过原点，故 a=0，即所求平面方程为 2xy+z=0
10、【知识模块】 向量代数与空间解析几何16 【正确答案】 【试题解析】 令 xOy 坐标面的法向量为 n1=0，0，1，该坐标面恒过(0，0，0)点，所以 xOy 坐标面可表示为 z=0，又 n2=3，一 1，2，设所以两平面夹角为，则 cos= 【知识模块】 向量代数与空间解析几何17 【正确答案】 【试题解析】 由题可知所求直线与已知直线平行，则其方向向量为2，1，5，又直线过点(4 ，一 1，3) ，故直线方程为 【知识模块】 向量代数与空间解析几何18 【正确答案】 【试题解析】 两直线的方向向量为 n1=1，一 4，1，n 2=2，一 2，一 1，cosn 1，n 2= = ，所以两直
11、线夹角为 【知识模块】 向量代数与空间解析几何19 【正确答案】 【试题解析】 由曲线 L 的一般方程消去 x，得方程 (3y+z1) 24y 2=4，所以L 在 yOz 平面上的投影曲线方程为 (3yz 1) 24y 2=4，x=0 对于第二个问题，L 本身就在柱面 x24y 2=4 上，L 在 xOy 平面上的投影曲线就是柱面 x2+4y2=4与 z=0 的交线，所以 L 在 xOy 平面上的投影曲线方程为【知识模块】 向量代数与空间解析几何20 【正确答案】 a b= abcosa，b= 所以所求夹角为=arccos 【知识模块】 向量代数与空间解析几何21 【正确答案】 【知识模块】
12、向量代数与空间解析几何22 【正确答案】 设所求直线的方向向量为 s，取直线 L2 上的点 M2(0，0，0)，而L2 的方向向量为 s2=2，1 ，一 1，直线 L1 的方向向量为 s1=3，2，1过点M(1，2，1) 及直线 L2 作平面 ， =1，2，1，则法向量 n 为，n ，ns 2，n= =一 31，一 1，1，取 n=1，一 1，1，而所求直线的方向向量 s，sn，s s1，取 s=s1n1= =3，一 2，一 5，所求直线方程为【知识模块】 向量代数与空间解析几何23 【正确答案】 设所求直线的方向向量为 s=m，n，p，因为 n1=1，1，一2，n 2=1 ，2，一 1，所求
13、直线 l 与 1、 2 平行，所以 sn1，sn 2，取s=n1n2=1，1，一 21，2，一 1= =3i 一 j+k=3，一 1，1，故所求直线的方程为 【知识模块】 向量代数与空间解析几何24 【正确答案】 过 L1 且平行于 L2 的平面 的法向量 n 应垂直于 L1，L 2，故 n=i 一 3j+k=1，一 3，1，由平面过 L1，故其过点(1，2，3)，所以平面方程为(x 一 1)一 3(y 一 2)+(z 一 3)=0，即 x 一 3y+z+2=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何25 【正确答案】 设直线 与平面 x+y+z=2 的交点为 M令 =t，则有x=2t+1，y=4
14、t，z=1将上式代入平面方程 x+y+z=2，得 t=0，故交点为M(1，0，1) 于是点 M 与点(3，4，1)的距离为 d= 【知识模块】 向量代数与空间解析几何26 【正确答案】 由已知得，直线 的方向向量为 s0=1，2，3，平面 2xz5=0 的法向量 n=2，0，一 1，则所求直线的方向向量 s=s0n= =一2，7，一 4，由点向式方程知，所求直线方程为 【知识模块】 向量代数与空间解析几何27 【正确答案】 取已知平面的法向量 n=1，一 2，一 2作垂线的方向向量，由点向式可知垂线方程为 ，设垂足为 Q(t+2，一 2t1，一 2t+3)，则 Q平面 ，所以 t+22(2t1)2(2t+3)+11=0 解得 t=一 1，故垂足的坐标为(1，1，5)【知识模块】 向量代数与空间解析几何28 【正确答案】 两式联立，消去 x，得 y2+z22yz=0，这是曲线 C 向 yOz平面的投影柱面，此投影柱面与 yOz 面的交线即为曲线 C 在 yOz 面上的投影曲线故 即为所求同理，消去 y 可得曲线 C 向 xOz 面的投影曲线 消去 z可得曲线 C 向 zOy 面的投影曲线【知识模块】 向量代数与空间解析几何
