1、 一方法综述 圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法 ： （ 1）几何法 ， 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； （ 2）代数法 ， 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： 利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围； 利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围； 利用基本不等式求出取值范围； 利用函数的值域的求法，确定取值范围 二解题策略 类型一 利用题设条件 ，结合几何特征与性质求范围 【例 1】 【安徽省淮北一中 2017 2018第四次月考 】若
2、 A 点坐标为 1,1 ，1F是椭圆 225 9 4 5yx的下焦点，点 P 是该椭圆上的动点，则1PA PF的最大值为 M ，最小 值为 N ，则 MN_ 【答案】 22 【指点迷津】 本题求最值的方法采用了几何法，在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷 【举一反三】 【湖北省重点高中联考协作体 2016-2017 期中考试】已知双曲线 2 22: 4 1 ( 0 )xC y aa 的右顶点到其 一条渐近线的距离等于 34，抛物线 2:2E y px 的焦点与双曲线 C 的右焦点重合，则抛物线 E 上的动点
3、 M 到直线1 : 4 3 6 0l x y 和2 :1lx的距离之和的最小值为 _ 【答案】 2 类型 二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围 【例 2】 【 2017届云南省云南师范大学附属中学适应性月考（五）】抛物线 上一点到抛物线准线的距离为 ，点 关于 轴的对称点为 ， 为坐标原点， 的内切圆与 切于点 ，点 为内切圆上任意一点，则 的取值范围为 _ 【答案】 【解析】因为点 在抛物线上，所以 ，点 A到准线的距离为 ，解得 或当 时， ，故 舍去，所以抛物线方程为 ，所以是正三角形，边长为 ，其内切圆方程为 ，如图所示， 设点 （为参数），则 ， 【指点迷津】 本题
4、主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到 为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点 的坐标，可利用内切圆的方程设出点 含参数的坐标，进而得到 ，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键 【举一反三】 【河南省漯河市高级中学 2018届上学期第三次模拟】已知椭圆 是椭圆上的两点，线段 的垂直平分线与 轴相交于点 ，则 的取值范围是 _（用 表示） 【答案 】 即答案为 . 类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围 【例 3】 【江西省九江市 2017 年三模】在平面直
5、角坐标系 xOy 中，已知抛物线 2:4C x y ，点 P 是 C 的准线 l 上的动点，过点 P 作 C 的两条切线，切点分别为 ,AB，则 AOB 面积的最小值为（ ） A 2 B 2 C 22 D 4 【答案】 B 【指点迷津】 解决本题的难点在于利用导数的几 何意义确定两个切点 ,AB的横坐标间的关系，便于确定直线 AB 在 y 轴上的解截距 【举一反三】 【 2016-2017学年江苏泰州中学月考】已知直线 1yx 与椭圆 22 10xy abab 相交于 ,AB两点，且 OA OB （ O 为坐标原点），若椭圆的离心率 13,22e ，则 a 的最大值为 _ 【答案】 102类型
6、四 利用 基本不等式求范围 【例 4】 【江西省南昌市第二中学 2017-2018期中 考试 】如图，已知抛物线 2 4yx 的焦点为 F ，直 线 l 过 F且依次交抛物线及圆 2 2 114xy 于点 , , ,A B C D 四点，则 4AB CD 的最小值为（ ） A 172B 152C 132D 112【答案】 C 【解析】由题意得 1,0F ，即为圆的圆心，准线方程为 1x 由抛物线的定义得 1AAF x，又 12AF AB，所以 12AAB x 同理 12DCD x 当直线 l 与 x轴垂直时，则有 1ADxx， 3 3 1 5442 2 2A B C D 当直线 l 与 x轴不
7、垂直时，设直线 l 方程为 1y k x， 由 21 4y k xyx消去 y整理得 2 2 2 22 4 0k x k x k ， 22241,A D A Dkx x x x k ， 5 5 1 34 4 2 42 2 2A D A DA B C D x x x x ，当且仅当 4ADxx时等号成立 综上可得 1342A B C D选 C 【指点迷津】 （ 1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简 “ 看到准线想焦点，看到焦点想准线 ” ，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 （ 2）圆锥曲线中的最
8、值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不 等式成立的条件 【举一反三】 【吉林省普通中学 2018届第二次调研】已知 F 为抛物线 2yx 的焦点，点 ,AB在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，而且 6OAOB （ O 为坐标原点），若 ABO 与 AFO 的面积分别为1S和2S，则124SS最小值是（ ） A 732B 6 C 132D 43 【答案】 B 设点 A 在 x 轴的上方，则1 0y ， 1 ,04F 1 2 1 2 1 1 1 1111 1 1 3 3 1 94 3 4 2 62 2 4 2 2 2S S y y y y y yyy 当且仅当1 192 2y y ，即 1 32y
9、 时取等号 124SS的最小值是 6， 故选 B. 类型五 求解 函数值域得范围 【例 5】 【云南省师范大学附属中学 2018 届 12 月适应性月考】已知椭圆 C ： 22143xy的右焦点为 F ，过点 F 的两条互相垂直的直线1l，2l， 1l与椭圆 C 相交于点 A ， B ，2l与椭圆 C 相交于点 C ， D ，则下列叙述不正确的是（ ） A 存在直线1l，2l使得 AB CD 值为 7 B 存在直线1l，2l使得 AB CD 值为 487C 弦长 AB 存在最大值，且最大值为 4 D 弦长 AB 不存在最小值 【答案】 D 221 2 134kCDk，特别地当 2 1k 时，
10、247A B C D，即 487A B C D，则 B 正确 ；由 2221 2 1 333 4 3 4kABkk ，故当 0k 时， AB 取到最大值 4 ，则 C正确；由233334AB k ，但当弦 AB 的斜率不存在时， 3AB ，故 AB 存在最小值 3 ，故 D选项不对，故选 D 【指点迷津】 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个 (或者多个 )变量 的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决 【举一反三】 【河南省 2018届 12 月联考】已知过抛物线 C ：
11、2 8yx 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 P ， Q两点，若 R 为线段 PQ 的中点，连接 OR 并延长交抛物线 C 于点 S ，则 OSOR的取值范围是（ ） A 0,2 B 2, C 0,2 D 2, 【答案】 D 类型六 利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围 【例 6】 【福建省 2016届高三毕业班总复习形成性测试】设直线 l与抛物线 2 2y px 相交于 A， B两点，与圆 2 225 ( 0 )x y r r 相切于点 M，且 M为线段 AB的中点 若这样的直线 l恰有 4条，则 r的取值范围是（ ） A 1,3 B 1,4 C 2,3 D 2,4 【答案】 D 【举
12、一反三】 【 2017-2018学年黑龙江省黑河市孙吴一中期中 考试 】已知椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为 B2、 B1、 A、 F，延长 B1F 与 AB2交于点 P，若 B1PA 为钝角，则此椭圆的离心率 e的取值范围为 _ 【答案】 15,12【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为 a、 b、 c，（ c= 22ab ） 可得 B 1PA等于向量2BA与21FB的夹角， A （ a， 0）， B1（ 0， b）， B2（ 0， b）， F2（ c， 0） 2BA=（ a， b），21FB=（ c， b）， B 1PA为钝角， 2B
13、A与21FB的夹角大于2， 由此可得2BA21FB 0，即 ac+b2 0， 将 b2=a2 c2代入上式得： a2 ac c2 0， 不等式两边都除以 a2，可得 1 e e2 0，即 e2+e 1 0， 解之得 e 152或 e 152， 结合椭圆的离心率 e （ 0， 1），可得 152 e 1，即椭圆离心率的取值范围为（ 152， 1）故答案为（ 152， 1） 三强化训练 1 【辽宁省凌源市 2018届上学期期末】已知直线 : 1 0l x y 截圆 2 2 2:0x y r r 所得的弦长为14 ，点 ,MN在圆 上，且直线 : 1 2 1 3 0l m x m y m 过定点 P
14、 ，若 PM PN ，则 MN 的取值范围为 _ 【答案】 6 2 , 6 2 所以 MN 的 取值范围是 6 2 , 6 2 2 【福建省莆田市第二十四中学 2017-2018期第二次月考】已知椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 上一点 A 关于原点的对称点为点 ,BF为其右焦点，若 AF BF ，设 ABF ，且 ,64 ，则该椭圆的离心 率 e 的取值范围是 _ 【答案】 2 , 3 12故答案为： 2 , 3 12 3 【江西省临川第二中学 2018 届上学期第四次月考】如图所示，点 F 是抛物线 2 8yx 的焦点，点 ,AB分别在抛物线 2 8yx 及圆 2 22 1 6xy
15、 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 x 轴，则 FAB 的周长的取值范围是 _ 【答案】 8,12 5【福建省 2016届高三毕业班总复习形成性测试】如图， P是双曲线 221xyab(a0， b0， xy 0)上的动点， F1， F2是双曲线的焦点， M是 F 1PF2的平分线上一点，且2 0F M MP某同学用以下方法研究 |OM|：延长 F2M 交 PF1于点 N，可知 PNF 2为等腰三角形，且 M 为 F2N 的中点，得 |OM|=12|NF1|=a 类似地： P是椭圆 221xyab(ab0， xy 0)上的动点， F1， F2 是椭圆的焦点， M 是 F 1PF2 的平分线
16、上一点，且2 0F M MP，则 |OM|的取值范围是 _ 【答案】 0 |OM| c 【解析】延长 F2M交 PF1于点 N，可知 PNF 2为等腰三角形，且 M为 F2N的中点， 得 |OM|= |NF1|= （ |PF1|-|PF2|）， |PF 1|+|PF2|=2a， |OM|= a-|PF2|， a-c|PF 2| a+c， P 、 F1、 F2三点不共线 0 a-|PF2| c， 0 |OM| c 6【贵州省凯里市第一中学 2016-2017 效果检测】点 P 是圆 222 5 1xy 上的点，点 Q 是抛物线2 4yx 上的点，则点 Q 到直线 1x 的距离与到点 P 的距离之
17、和的最小值是 _ 【答案】 26 1 【解析】如下图， 1 2 6 1d P Q Q M A Q Q F A F ，所以填 26 1 7【山东省日照第一中学 2017届高三 4月考试】过抛物线 2 2 ( 0 )y px p的焦点的直线交抛物线于 A， B两点，且 4AB ，这样的直线可以作 2条，则 P的取值范围是 _ 【答案】 02p 1 1 2 2, , ,A x y B x y，则 212 2 2k p pxx k ， 根 据 抛 物 线 性 质 ， 得 12 2222pA B A F B F p x x p pk 则抛物线的焦点弦中通径长最短，则要使满足4AB 的直线可以作 2 条，
18、则通径 24p ，即 2p 那么 p 的取值范围是 0,2 故本题应填 02p 8【 2017届上海市奉贤区 4月调研测试（二模）】双曲线 22 13yx 的左右两焦点分别是12,FF，若点 P 在双曲线上，且12FPF为锐角，则点 P 的横坐标的取值范围是 _ 【答案】 77,22 ； 9【河南省豫南六市 2016-2017第一次联考】已知椭圆 C： 22 1 ( 0 )xy abab 的左右焦点分别为1F，2F，点 P在椭圆 C上，线段2PF与圆： 2 2 2xyb相切于点 Q，若 Q是线段2PF的中点， e为 C的离心率，则 223aeb的最小值是 _ 【答案】 53【解析】 连接1,P
19、F OQ， 由 OQ 为中位线，可得1/OQ PF，112OQ PF， 圆 2 2 2xyb，可得 OQ b 且1 2PF b， 由椭圆的定义可得122P F P F a，可得2 22PF a b， 又2OQ PF，可得12PF PF， 即有 2 2 22 2 2 2b a b c ，即为 2 2 2 2 2 22b a a b b c a b ， 化为 23ab ，即 23ba， 22 53c a b a ，即有 53ce a ， 则 22251 5 1 5 59 23 2 2 9 2 9 3aaeaab a a a ， 当且仅当 59a a时，即 53a时等号成立，所以 223aeb的最小
20、值为 53 10【 2016-2017 学年湖北省黄冈市黄冈中学上学期期末】如图，已知抛物线 的焦点为 ，直线 过 且依次交抛物线及圆 于点 四点，则 的最小值为 _ 【答案】 ， ，所以，应填答案 11【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2017-2018上学期期末】 抛物线 2 20y px p的焦点为 F ，已知点 ,AB为抛物线上的两个动点，且满足 120AFB ，过弦 AB的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为 N ，则 MNAB的最大值为 _ 【答案】 33 132332abMNAB ab故 MNAB的最大值为 33 答案： 3312【 2017届河南省师范大学附属中学 12月月考】在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A在椭圆 22125 9xy上，点 P 满足 ( 1)A P O A ()R ，且 72OA OP，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 【答案】 15
