1、专升本高等数学二（向量代数与空间解析几何）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 设 a、b 为两个非零向量， 为非零常数，若向量 a+b 垂直于向量 b，则 等于 ( )（A）（B）（C） 1（D）ab2 设有单位向量 a0，它同时与 b=3i+j+4k，c=i+k 垂直，则 a0 为 ( )（A）（B） i+jk（C）（D）ij+k3 在空间直角坐标系中，若向量 a 与 Ox 轴和 Oz 轴的正向夹角分别为 45和 60，则向量 a 与 Oy 轴正向夹角为 ( )（A）30（B） 45（C） 60（D）60或 1204 若两个非零向量 a 与 b 满足a+b=a+ b ，则 ( )（A）a
2、 与 b 平行（B） a 与 b 垂直（C） a 与 b 平行且同向（D）a 与 b 平行且反向5 直线 ( )（A）过原点且与 y 轴垂直（B）不过原点但与 y 轴垂直（C）过原点且与 y 轴平行（D）不过原点但与 y 轴平行6 平面 2x+3y+4z+4=0 与平面 2x3y+4z 4=0 的位置关系是 ( )（A）相交且垂直（B）相交但不重合，不垂直（C）平行（D）重合7 已知三平面的方程分别为1：x5y+2z+1=0， 2： 3x2y+3z+1=0 ， 3：4x+2y+3z9=0，则必有 ( )（A） 1 与 2 平行（B） 1 与 2 垂直（C） 2 与 3 平行（D） 1 与 3
3、垂直8 平面 1：x4y+z2=0 和平面 2：2x2yz5=0 的夹角为 ( )9 设球面方程为(x1) 2+(y+2)2+(z3) 2=4，则该球的球心坐标与半径分别为 ( )（A）(一 1，2，一 3)，2（B） (一 1，2，一 3)，4（C） (1，一 2，3)，2（D）(1 ，一 2，3) ，410 方程一 =z 在空间解析几何中表示 ( )（A）双曲抛物面（B）双叶双曲面（C）单叶双曲面（D）旋转抛物面11 方程(za) 2=x2+y2 表示 ( )（A）xOz 面内曲线 (za) 2=x2 绕 y 轴旋转而成（B） xOz 面内直线 za=x 绕 z 轴旋转而成（C） yOz
4、面内直线 za=y 绕 y 轴旋转而成（D）yOz 面内曲线 (za) 2=y2 绕 x 轴旋转而成12 下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是 ( )（A） =y2（B） z21=（C）（D）x 2y 2 一 2x=0二、填空题13 向量 a=3i+4jk 的模 a=_14 在空间直角坐标系中，以点 A(0，一 4，1)，B( 一 1，一 3，1)，C(2，一 4，0)为顶点的ABC 的面积为_15 (ab)2(ab) 2=_16 过点 P(4，1，一 1)且与点 P 和原点的连线垂直的平面方程为_17 通过 Oz 轴，且与已知平面 ：2x+y 一 7=0 垂直的平面方程为_18
5、直线 =z 与平面 x+2y+2z=5 的交点坐标是_ 19 点 P(3，7，5)关于平面 ：2x 一 6y+3z+42=0 对称的点 P的坐标为_20 求垂直于向量 a=2，2，1与 b=4，5，3的单位向量21 若a=3，b=4，且向量 a、b 垂直，求(a+b)(a 一 b)22 设平面 通过点 M(2，3，一 5)，且与已知平面 xy+z=1 垂直，又与直线平行，求平面 的方程23 求过点 A(1，0，4) 且平行于平面 ：3x 一 4yz10=0，又与直线 L0：相交的直线方程24 求直线 与平面 xy+z=0 的夹角25 求过点(2 ，1，1) ，平行于直线 且垂直于平面 x+2y
6、 一 3z+5=0 的平面方程26 求点(一 1，2，0) 在平面 x+2yz+1=0 的投影点坐标27 求直线 L： 绕 z 轴旋转所得旋转曲面的方程专升本高等数学二（向量代数与空间解析几何）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 向量 a+b 垂直于向量 b，则(a+b)b=0，则 = 【知识模块】 向量代数与空间解析几何2 【正确答案】 A【试题解析】 a=cb= =i+j 一 k，又 a0 为 a 的单位向量，故 a0= 【知识模块】 向量代数与空间解析几何3 【正确答案】 D【试题解析】 由 cos2+cos2+cos2=1，且 cos= ，所以向量 a
7、与 Oy 轴正向夹角为 60或 120【知识模块】 向量代数与空间解析几何4 【正确答案】 C【试题解析】 a+b= a+b，(a+ b)2= a 2+b 2+2ab=(a+b)2= a 2+b 2+2ab=a 2+b 2+2abcosa，b，即 cosa，b =1，故两向量平行，若二者反向则a+b a+b不满足条件，故两向量平行且同向【知识模块】 向量代数与空间解析几何5 【正确答案】 A【试题解析】 若直线方程为 ，令比例系数为 t，则直线可化为 本题x0=y0=z0=0 说明直线过原点，又 =0，则 y=0，即此直线在平面 xOz 内，即垂直于y 轴，故选 A【知识模块】 向量代数与空间
8、解析几何6 【正确答案】 B【试题解析】 223344=11 ，且两平面的法向量的对应分量不成比例，故两平面的位置关系是相交，但不垂直，不重合【知识模块】 向量代数与空间解析几何7 【正确答案】 D【试题解析】 三个平面的法向量分别为 n1=1，一 5，2，n 2=3，一 2，3，n3=4，2，3，n 1n 2=19，n 2n 3=17，n 1n 3=0，故 1 与 3 垂直【知识模块】 向量代数与空间解析几何8 【正确答案】 B【试题解析】 平面 1 的法向量，n 1=1，一 4，1，平面 2 的法向量 n2=2，一 2，一 1，cosn 1，n 2= ，故n 1，n 2= ，故选 B【知识
9、模块】 向量代数与空间解析几何9 【正确答案】 C【试题解析】 (x1) 2+y 一(一 2)2(z3) 2=22，所以，该球的球心坐标与半径分别为(1 ，一 2，3) ，2【知识模块】 向量代数与空间解析几何10 【正确答案】 A【试题解析】 方程一 =z 满足双曲抛物面 =z(p 和 q 同号)的形式，故方程=z 在空间解析几何中表示双曲抛物面【知识模块】 向量代数与空间解析几何11 【正确答案】 B【试题解析】 方程(za) 2=x2+y2 形式表示旋转后的曲面方程形式是 h(z， )=0，其是 xOz 面上的曲线 za=x 绕 z 轴旋转得到的曲面方程，故选 B【知识模块】 向量代数与
10、空间解析几何12 【正确答案】 D【试题解析】 A 项表示的是正锥面，B 项表示的是单叶双曲面， C 项表示的是椭球面，D 项可写为(x1) 2+y2=1，其图形为圆柱面，故选 D【知识模块】 向量代数与空间解析几何二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 a= 【知识模块】 向量代数与空间解析几何14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 向量代数与空间解析几何15 【正确答案】 a 2b 2【试题解析】 (ab) 2=a 2b 2sin2，(ab) 2=a 2b 2cos2，=a，b，(ab)2+(ab) 2=a 2b 2=a2b 2【知识模块】 向量代数与空间解析几何16 【正确答
11、案】 4z+yz18=0【试题解析】 由点 P 与原点的连线和所求平面垂直，因此 就是平面的法向量所以 n= =4，1，一 1，平面又过点 P，所以由点法式得平面的方程为4(x4)+(y 1)(z+1)=0 ，即 4x+y 一 218=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何17 【正确答案】 x 一 2y=0【试题解析】 过 Oz 轴的平面方程可设为 Ax+By=0(A，B 不全为零)，则法向量n= A，B，0，因为所求平面与已知平面垂直，又已知平面法向量为2，1，故可知 2A+B=0，即 B=一 2A，因此，所求平面方程为 x 一 2y=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何18 【正确答案
12、】 (1，1，1)【试题解析】 设 =z=t，则交点 Q(3t 一 2，一 2t+3，t)，又点 Q平面 ，即3t2 2(2t+3)+2t=5，解得 t=1，故交点为 Q(1，1，1)【知识模块】 向量代数与空间解析几何19 【正确答案】 【试题解析】 过点 P(3， 7，5)且垂直于平面 ：2x 一 6y+3z+42=0 的直线方程可写为 ，设点 P的坐标为 (2t+3，一 6t+7，3t+5)，故 PP的中点坐标为(t+3 ，一3t+7， +5)，且该点在平面内，即 2(t+3)一 6(一 3t+7)+3( +5)+42=0，解得t=一 ，故 P= 【知识模块】 向量代数与空间解析几何20
13、 【正确答案】 由向量积的定义可知，向量 c=ab 是既垂直于向量 a，又垂直于向量 b 的向量，因此 为所求单位向量由于 c= =i 一 2j+2k，因此 为所求单位向量【知识模块】 向量代数与空间解析几何21 【正确答案】 因为(a+b)(ab)=一 abba=2ba，所以(a+b)(ab)=2 ba sina ，b=24【知识模块】 向量代数与空间解析几何22 【正确答案】 用一般式求之设平面 的方程为 Ax+By+Cz+D=0，则 从而，平面 的方程为 x 一 2y 一 3z=11【知识模块】 向量代数与空间解析几何23 【正确答案】 用两点式求之过点 A(1，0，4)与已知平面 ：3
14、x 一 4y+z 一10=0 平行的平面 1 的方程为 3(x+1)一 4y+(z 一 4)=0，将直线 L0 的方程化为参数式并代入 1 中，求得 t=16于是直线 L0 与平面 1 的交点 B 为 B(15，19，32)，= 16， 19，28，所求直线方程为 【知识模块】 向量代数与空间解析几何24 【正确答案】 因为直线的方向向量为 s=2，3，2，平面的法向量为n=1，一 1， 1，所以直线与平面的夹角 的正弦为 sin= 所以 =arcsin【知识模块】 向量代数与空间解析几何25 【正确答案】 直线的方向向量为 s=3，2，一 1，平面的法向量为n1=1 ，2，一 3，sn 1=
15、 =一 4i+8j+4k，于是所求平面方程为(x 一 2)一 2(y一 1) (z1)=0，即 x 一 2yz+1=0【知识模块】 向量代数与空间解析几何26 【正确答案】 过点(一 1，2，0)且与平面 x+2yz+1=0 垂直的直线方程为 ，所以设该垂线与平面 x+2yz+1=0 的交点为 Q(t 一 1，2t+2，一 t)，即点 Q 就是点(一 1， 2，0)在平面 ：x+2yz+1=0 上的投影点，由点 Q，将 Q(t 一 1，2t+2 ，一 t)代入到平面方程中可得 t1+2(2t+2)t1=0，解之得 t=一 【知识模块】 向量代数与空间解析几何27 【正确答案】 设(x，y，z) 是旋转曲面上任何一点，它对应于 L 上的点为(x0，y 0，z 0)，由 L 的参数式可得 由于(x，y， z)与(x 0，y 0，z 0)到 z 轴的距离相等，所以有关系式 x2y 2=x02+y02=1t 2，另外 z=z0，所以 z=1+2t，t= ，得x2+y2 一 =1，即为一单叶双曲面方程【知识模块】 向量代数与空间解析几何
