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重庆市南开中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题(含解析).doc

1、- 1 -2018-2019 学年重庆市南开中学高一(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)1.设集合 A=1,1,2,集合 B=x|x A 且 2xA,则 B=A. 1 B. 2C. 1,2 D. 1,2【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合的关系直接进行判断.【详解】集合 B x|x A 且 2 xA,集合 A1,1,2,当 x1 时,可得 2(1)3 A;当 x1 时,可得 211 A;当 x2 时,可得 220 A; B1,2;故选: C【点睛】本题主要考查元素与集合的关系,属于基础题2.函数 的定义域为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析

2、】根据根号下的式子非负,分母不等于 0,列出不等关系,解得函数的定义域即可【详解】由题意得: ,解得:1 x3,故选: D【点睛】本题考查了求函数的定义域问题,考查二次根式及分式的性质,是一道基础题3.下列各组的两个函数为相等函数的是 A. ,- 2 -B. ,C. ,D. ,【答案】D【解析】A 中,f(x) 的定义域为 x|x1,g(x) 的定义域为x|x1 或x1,它们的定义域不相同;B 中,f(x)( )2的定义域为 ,g(x)2x5 的定义域为 R,定义域不同,不是相等函数C 中,f(x) 与 g(x) 的对应关系不同,不相等D 中,f(x) x(x0)与 g(x) t(t0)的定义

3、域与对应关系都相同,它们相等,故选 D.4.已知函数 ,且 ,则 A. B. C. 2 D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意,先由换元法求出函数的解析式,结合函数的解析式可得若 f( a)5,即4a+35,解可得 a 的值,即可得答案【详解】根据题意,函数 f( x1)2 x1,令 t x1,则 x2( t+1) ,则 f( t)4( t+1)14 t+3,若 f( a)5,即 4a+35,解可得 a ;故选: B【点睛】本题考查函数的解析式的求法及函数值的运算,属于基础题- 3 -5.函数 的图象为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分离常数,结合反比例函数的图象可得答

4、案;【详解】函数 y ;可得 x , 0, y又 x3 时, y0结合反比例函数的图象,可得 x 时,函数图象单调性递减;故选: C【点睛】本题考查了函数图象变换及函数图像的识别,是基础题6.已知函数 是 R 上的奇函数,当 时, ,则 A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意,由函数的解析式可得 f( )的值,又由函数的奇偶性可得 f( ) f( ) ,进而可得答案【详解】根据题意,当 x0 时, f( x)4 x+x,- 4 -则 f( ) 1,又由函数为奇函数,则 f( ) f( )1;故选: A【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用,涉及函数的求值,属于基础题7.

5、函数 , 的值域为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可令 ,根据 x 的范围,可求出 ,并求出 x t21,原函数变成y2( t21)3 t,配方即可求出该函数的最值,从而得出 f( x)的值域【详解】令 ; ; ; x t21; ; 时, f( x)取最小值 ; t2 时, f( x)取最大值 0,但是取不到; f( x)的值域为: 故选: C【点睛】考查函数值域的概念及求法,换元法求函数的值域以及配方求二次函数值域的方法8.已知 是奇函数且在 R 上的单调递减,若方程 只有一个实数解,则实数 m 的值是 A. B. C. D. - 5 -【答案】B【解析】【分析】由已知函

6、数的奇偶性与单调性把方程 f( x2+1)+ f( m x)0 只有一个实数解转化为方程x2 x+m+10 只有一个实数解,再由判别式等于 0 求得 m 值【详解】 f( x)是奇函数,由 f( x2+1)+ f( m x)0,得 f( x2+1) f( m x) f( x m) ,又 f( x)在 R 上的单调递减, x2+1 x m,即 x2 x+m+10则(1) 24( m+1)0,解得 m 故选: B【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系,考查数学转化思想方法,是基础题9.已知开口向上的二次函数 对任意 都满足 ,若 在区间 上单调递减,则实数 a 的取值范围为 A. B. C. D

7、. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的对称轴,根据函数的单调性得到关于 a 的不等式,解出即可【详解】由题意函数的对称轴是 x ,图象开口向上,若 f( x)在区间( a,2 a1)上单调递减,则只需 2a1,解得: a ,而 a2 a1,解得: a1,故选: B【点睛】本题考查了二次函数的性质,考查函数的单调性问题,是一道基础题10.已知 是定义在 上的偶函数,若 对任意的 , 都满足,则不等式 的解集为 - 6 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意,由函数为偶函数可得 f( x+1) f(2 x1)0 f(| x+1|) f(|2 x1|) ,进而分析可得在0,+

8、)上为增函数,据此可得| x+1|2 x1|,解可得 x 的取值范围,即可得答案【详解】根据题意, f( x)是定义在(,+)上的偶函数,则 f( x+1) f(2 x1)0 f(| x+1|) f(|2 x1|) ,若 f( x)对任意的 x1, x20,+) ( x1 x2)都满足 0,则函数 f( x)在0,+)上为增函数,则 f(| x+1|) f(|2 x1|)| x+1|2 x1|,变形可得:( x+1) 2(2 x1) 2,解可得: x0 或 x2,即不等式的解集为(,0)(2,+) ;故选: C【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用,关键是得到关于 x 的不等式,属于

9、基础题11.已知函数 , 若存在实数 x,使得 与 均不是正数,则实数 m 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】存在实数 x, f( x)与 g( x)的值均不是正数,所以对 m 分类讨论,即 m0、 m0、 m0 讨论 f( x)与 g( x)的值的正负,求出满足题意的 m 的值【详解】分 3 类讨论 m0 时,对于任意 x,g( x)0 而 f( x)2( x+1) 2+2 值恒正,不满足题意- 7 - m0 时,对于 x 0 时, g ( x) 0 成立,只需考虑 x 0 时 f( x)的情况,由于函数 f( x)2 x2+(4 m) x+4 m,对称轴为 .

10、当 m0 时,对称轴在 y 轴左侧,故只需满足 f(0)0 即可,即 m4,不满足题意当 m0 时, g ( x) 0 在 x 0 时成立,只需考虑 x 0 时 f( x)的情况,若存在实数 x 使得 f( x)不是正数,则 ,即 m4.此时对称轴 ,所以只需 ,解得 m4综上所述 m 取值范围为 m4故选: A【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系,考查分类讨论思想,转化思想,是中档题12.已知函数 ,若关于 x 的不等式 恰有一个整数解,则实数 a 的最大值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】【分析】画出函数 f( x)的图象,对 b, a 分类讨论,利

11、用一元二次不等式解法可得解集,再利用数形结合即可得出【详解】函数 f( x) ,如图所示,当 b0 时, f( x) 2+af( x) b20 化为- 8 -f( x) 2+af( x)0,当 a0 时, a f( x)0,由于关于 x 的不等式 f( x) 2+af( x)0 恰有 1 个整数解,因此其整数解为 2,又 f(2)4+22, a20, a f(3)6,则 6 a2,a0 不必考虑当 b0 时,对于 f( x) 2+af( x) b20, a2+4b20,解得: f( x) ,只考虑 a0,则 0 ,由于 f( x)0 时,不等式的解集中含有多于一个整数解(例如,0,1) ,舍去

12、综上可得: a 的最大值为 6故选: C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象,考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力,属于中档题二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)13.已知 ,则 _【答案】【解析】【分析】根据题意,由函数的解析式计算 f( ) ,再次代入函数的解析式计算可得答案【详解】根据题意, f( x) ,- 9 -则 f( ) ,则 f( ) ;故答案为:【点睛】本题考查分段函数的求值,关键掌握函数的解析式,属于基础题14.函数 的单调减区间为_【答案】【解析】【分析】根据所给函数式,讨论去掉绝对值,得到一个分段函数,利用二次函数的单调性即可得到减

13、区间【详解】当 x2 时, f( x) x22 x,当 x2 时, f( x) x2+2x,故函数 f( x) f( x) x22 x 的对称轴为: x1,开口向上, x2 时是增函数;f( x) x2+2x,开口向下,对称轴为 x1,则 x1 时函数是增函数,1 x2 时函数是减函数即有函数的单调减区间是1,2故答案为:1,2【点睛】本题考查二次函数的性质,解题的关键是去掉绝对值,把函数化成基本初等函数,再通过函数的性质或者图象得到结果15.设函数 是定义在 R 上的奇函数, ,若 在 单调递减,则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】根据题意,分析可得在区间(0,2)或(,2)上, f(

14、 x)0;在(2,+)或(2,0)上, f( x)0,又由原不等式等价于 或 ,分析可得不等式- 10 -的解集,即可得答案【详解】根据题意,函数 f( x)是定义在 R 上的奇函数,且在(0,+)单调递减,又由 f(2)0,则 f(2) f(2)0,则在区间(0,2)上, f( x)0,则(2,+)上, f( x)0,又由 f( x)为 R 上的奇函数,则在区间(,2)上, f( x)0,则(2,0)上,f( x)0,则在区间(0,2)或(,2)上, f( x)0;在(2,+)或(2,0)上, f( x)0, ( x+1) f( x1)0 或 ,解可得:1 x3,即 x 的取值范围为(1,3

15、) ;故答案为:(1,3) 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意将原不等式转化为关于 x 的不等式,属于基础题16.已知函数 对任意的实数 x, y 都满足 且 ,则的值为_【答案】【解析】【分析】可令 x y0,计算可得 f(0)1,再令 x y1,求得 f(2) ;令 x0, y1,求得f(1) ,再令 x y1,求得 f(2) ,即可得到所求和【详解】对任意的实数 x, y 都满足 f( x+y)+ f( x y)2 f( x) f( y)且 f(1) ,令 x y0,可得 f(0)+ f(0)2 f(0) f(0) ,可得 f(0)0 或 f(0)1,若 f(0)0,可

16、令 y0,则 f( x)+ f( x)2 f( x) f(0)0,即 f( x)0,这与f(1) 矛盾,则 f(0)0 不成立,则 f(0)1,令 x y1,可得 f(2)+ f(0)2 f(1) f(1) ,可得 f(2)2 1 ,- 11 -令 x0, y1 可得 f(1)+ f(1)2 f(0) f(1) ,即有 f(1)21 ,令 x y1 可得 f(2)+ f(0)2 f(1) f(1) ,即有 f(2)2 1 ,则 f(2)+ f(2)1故答案为:1【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求法,注意运用赋值法,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题三、解答题(本大题共 6 小题,共 70

17、.0 分)17.已知集合 , , ,其中 设全集为 R,求 ;若 ,求实数 m 的取值范围【答案】(1) ;(2) 实数 m 的取值范围是 .【解析】【分析】(1)求解集合 A、 B,根据补集,交集的定义求解 A( RB) ;(2)根据并集的定义 A B C R,即可实数 m 的取值范围【详解】由集合或 ,(1)由条件可得 ,.由(1)可知 或 ,由 ,即 或,解得:解得实数 m 的取值范围是 - 12 -【点睛】本题考查了交、并、补集及其运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键18. ;设 ,化简: ;若 ,求 的值【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】【分析】根据指数幂的性质

18、求出代数式的值即可利用根式与分数指数幂互化进行化简即可.由已知先计算 ,再平方计算 ,代入计算即可.【详解】 原式 ;原式 ;若 ,则 , ,故 【点睛】本题考查了指数幂的运算及根式与分数指数幂互化,考查转化思想,是一道常规题19.已知函数 是定义在 上的奇函数,且 求 的解析式;求函数 的值域- 13 -【答案】(1) ;(2) 值域为 .【解析】【分析】(1)根据奇函数得 f(0)0,解得 b0;根据 f( ) ,解得 a2;(2)利用一元二次方程有解,判别式大于等于 0 解得【详解】 由已知得 ,即 , ,再由 ,得 ,解得 ,当 时, ;当 时,一元二次方程 对 x 有解,所以 ,解得

19、且 ,综上所述:所求函数的值域为【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用,考查了分式型函数求值域的方法,属中档题20.已知集合 , 若 ,求实数 a 的取值集合;若 ,求实数 a 的取值范围【答案】(1) 实数 a 的取值集合为 ;(2)实数 a 的取值范围为 .【解析】【分析】(1)由 B1,2, A B,得 1 A 或 2 A,得关于 a 的方程,求得 a;(2)由 C(3,2)与 AC,分类讨论 A与 A两种情况下满足条件的不等式组,从- 14 -而求出 a 的取值范围【详解】 (1)根据题意得到若 ,则, ,此时 , ,此时 ,实数 a 的取值集合为 ;,设 ,若 ,则, , , ,综上可知

20、,实数 a 的取值范围为 【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,集合关系中的参数问题,需注意不要漏掉空集,难度中档21.定义在 上的函数 满足 对所有的正数 x、 y 都成立, 且当, 求 的值判断并证明函数 在 上的单调性若关于 x 的不等式 在 上恒成立,求实数 k 的取值范围【答案】 (1) ;(2)见解析;( 3) .- 15 -【解析】【分析】(1)由 f( xy) f( x)+ f( y) ,取 x1, y1 得 f(1)0;(2)设 x1 x20 则 f( x1) f( x2) f( x2 ) f( x2) f( ) ,又当 x1, f( x)0,得 f( x)在(

21、0,+)上单调递减;(3)由 f(2)1, f( xy) f( x)+ f( y) , f( kx) f( x2 kx+1)1 得 f(2 kx) f( x2 kx+1) ,又 f( x)在(0,+)上单调递减,得到关于 k 的不等式组,解之得实数k 的取值范围【详解】 (1) f( xy) f( x)+ f( y) ,取 x1, y1 得: f(1) f(1)+ f(1) ; f(1)0;(2)设 x1 x20 则 f( x1) f( x2) f( x2 ) f( x2) f( ) , x1 x20; ;又 x1 时, f( x)0; ; f( x1) f( x2)0; f( x1) f(

22、x2) ; f( x)在(0,+)上单调递减;(3) f(2)1, f( xy) f( x)+ f( y) ;由 f( kx) f( x2 kx+1)1 得 f(2 kx) f( x2 kx+1)又 f( x)在(0,+)上单调递减, ,- 16 - 0 k 【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性及恒成立问题,考查了用定义法证明单调性及不等式恒成立问题,运用了转化思想,属于难题22.已知 ,函数 F(x)=min2|x1|,x 22ax+4a2,其中 minp,q=()求使得等式 F(x)=x 22ax+4a2 成立的 x 的取值范围;() ()求 F(x)的最小值 m(a) ;()求 F(x)

23、在区间0,6上的最大值 M(a).【答案】 () ()() () 【解析】试题分析:()分别对 和 两种情况讨论 ,进而可得使得等式成立的 的取值范围;() ()先求函数 ,的最小值,再根据 的定义可得 的最小值 ;()分别对和 两种情况讨论 的最大值,进而可得 在区间 上的最大值 试题解析:()由于 ,故当 时, ,当 时, 所以,使得等式 成立的 的取值范围为 () ()设函数 , ,则 , ,所以,由 的定义知 ,即()当 时,当 时, - 17 -所以, 【考点】函数的单调性与最值,分段函数,不等式【思路点睛】 ()根据 的取值范围化简 ,即可得使得等式 成立的 的取值范围;() ()先求函数 和 的最小值,再根据 的定义可得 ;()根据 的取值范围求出 的最大值,进而可得

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