1、- 1 -2018-2019 学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.设集合 A=1，1，2，集合 B=x|x A 且 2xA，则 B=A. 1 B. 2C. 1，2 D. 1，2【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合的关系直接进行判断.【详解】集合 B x|x A 且 2 xA，集合 A1，1，2，当 x1 时，可得 2（1）3 A；当 x1 时，可得 211 A；当 x2 时，可得 220 A； B1，2；故选： C【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题2.函数 的定义域为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析
2、】根据根号下的式子非负，分母不等于 0，列出不等关系，解得函数的定义域即可【详解】由题意得： ，解得：1 x3，故选： D【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式及分式的性质，是一道基础题3.下列各组的两个函数为相等函数的是 A. ，- 2 -B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】A 中，f(x) 的定义域为 x|x1，g(x) 的定义域为x|x1 或x1，它们的定义域不相同；B 中，f(x)( )2的定义域为 ，g(x)2x5 的定义域为 R，定义域不同，不是相等函数C 中，f(x) 与 g(x) 的对应关系不同，不相等D 中，f(x) x(x0)与 g(x) t(t0)的定义
3、域与对应关系都相同，它们相等,故选 D.4.已知函数 ，且 ，则 A. B. C. 2 D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意，先由换元法求出函数的解析式，结合函数的解析式可得若 f（ a）5，即4a+35，解可得 a 的值，即可得答案【详解】根据题意，函数 f（ x1）2 x1，令 t x1，则 x2（ t+1） ，则 f（ t）4（ t+1）14 t+3，若 f（ a）5，即 4a+35，解可得 a ；故选： B【点睛】本题考查函数的解析式的求法及函数值的运算，属于基础题- 3 -5.函数 的图象为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分离常数，结合反比例函数的图象可得答
4、案；【详解】函数 y ；可得 x ， 0， y又 x3 时， y0结合反比例函数的图象，可得 x 时，函数图象单调性递减；故选： C【点睛】本题考查了函数图象变换及函数图像的识别，是基础题6.已知函数 是 R 上的奇函数，当 时， ，则 A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（ ）的值，又由函数的奇偶性可得 f（ ） f（ ） ，进而可得答案【详解】根据题意，当 x0 时， f（ x）4 x+x，- 4 -则 f（ ） 1，又由函数为奇函数，则 f（ ） f（ ）1；故选： A【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数的求值，属于基础题7.
5、函数 ， 的值域为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可令 ，根据 x 的范围，可求出 ，并求出 x t21，原函数变成y2（ t21）3 t，配方即可求出该函数的最值，从而得出 f（ x）的值域【详解】令 ； ； ； x t21； ； 时， f（ x）取最小值 ； t2 时， f（ x）取最大值 0,但是取不到； f（ x）的值域为： 故选： C【点睛】考查函数值域的概念及求法，换元法求函数的值域以及配方求二次函数值域的方法8.已知 是奇函数且在 R 上的单调递减，若方程 只有一个实数解，则实数 m 的值是 A. B. C. D. - 5 -【答案】B【解析】【分析】由已知函
6、数的奇偶性与单调性把方程 f（ x2+1）+ f（ m x）0 只有一个实数解转化为方程x2 x+m+10 只有一个实数解，再由判别式等于 0 求得 m 值【详解】 f（ x）是奇函数，由 f（ x2+1）+ f（ m x）0，得 f（ x2+1） f（ m x） f（ x m） ，又 f（ x）在 R 上的单调递减， x2+1 x m，即 x2 x+m+10则（1） 24（ m+1）0，解得 m 故选： B【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是基础题9.已知开口向上的二次函数 对任意 都满足 ，若 在区间 上单调递减，则实数 a 的取值范围为 A. B. C. D
7、. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于 a 的不等式，解出即可【详解】由题意函数的对称轴是 x ，图象开口向上，若 f（ x）在区间（ a，2 a1）上单调递减，则只需 2a1，解得： a ，而 a2 a1，解得： a1，故选： B【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题10.已知 是定义在 上的偶函数，若 对任意的 ， 都满足，则不等式 的解集为 - 6 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数为偶函数可得 f（ x+1） f（2 x1）0 f（| x+1|） f（|2 x1|） ，进而分析可得在0，+
8、）上为增函数，据此可得| x+1|2 x1|，解可得 x 的取值范围，即可得答案【详解】根据题意， f（ x）是定义在（，+）上的偶函数，则 f（ x+1） f（2 x1）0 f（| x+1|） f（|2 x1|） ，若 f（ x）对任意的 x1， x20，+） （ x1 x2）都满足 0，则函数 f（ x）在0，+）上为增函数，则 f（| x+1|） f（|2 x1|）| x+1|2 x1|，变形可得：（ x+1） 2（2 x1） 2，解可得： x0 或 x2，即不等式的解集为（，0）（2，+） ；故选： C【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，关键是得到关于 x 的不等式，属于
9、基础题11.已知函数 ， 若存在实数 x，使得 与 均不是正数，则实数 m 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】存在实数 x， f（ x）与 g（ x）的值均不是正数，所以对 m 分类讨论，即 m0、 m0、 m0 讨论 f（ x）与 g（ x）的值的正负，求出满足题意的 m 的值【详解】分 3 类讨论 m0 时，对于任意 x,g（ x）0 而 f（ x）2（ x+1） 2+2 值恒正，不满足题意- 7 - m0 时，对于 x 0 时， g （ x） 0 成立，只需考虑 x 0 时 f（ x）的情况，由于函数 f（ x）2 x2+（4 m） x+4 m，对称轴为 .
10、当 m0 时，对称轴在 y 轴左侧，故只需满足 f（0）0 即可，即 m4，不满足题意当 m0 时， g （ x） 0 在 x 0 时成立，只需考虑 x 0 时 f（ x）的情况，若存在实数 x 使得 f（ x）不是正数，则 ,即 m4.此时对称轴 ，所以只需 ，解得 m4综上所述 m 取值范围为 m4故选： A【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题12.已知函数 ，若关于 x 的不等式 恰有一个整数解，则实数 a 的最大值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】【分析】画出函数 f（ x）的图象，对 b， a 分类讨论，利
11、用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出【详解】函数 f（ x） ，如图所示，当 b0 时， f（ x） 2+af（ x） b20 化为- 8 -f（ x） 2+af（ x）0，当 a0 时， a f（ x）0，由于关于 x 的不等式 f（ x） 2+af（ x）0 恰有 1 个整数解，因此其整数解为 2，又 f（2）4+22， a20， a f（3）6，则 6 a2，a0 不必考虑当 b0 时，对于 f（ x） 2+af（ x） b20， a2+4b20，解得： f（ x） ，只考虑 a0，则 0 ，由于 f（ x）0 时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，1） ，舍去
12、综上可得： a 的最大值为 6故选： C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知 ，则 _【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算 f（ ） ，再次代入函数的解析式计算可得答案【详解】根据题意， f（ x） ，- 9 -则 f（ ） ，则 f（ ） ；故答案为：【点睛】本题考查分段函数的求值，关键掌握函数的解析式，属于基础题14.函数 的单调减区间为_【答案】【解析】【分析】根据所给函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性即可得到减
13、区间【详解】当 x2 时， f（ x） x22 x，当 x2 时， f（ x） x2+2x，故函数 f（ x） f（ x） x22 x 的对称轴为： x1，开口向上， x2 时是增函数；f（ x） x2+2x，开口向下，对称轴为 x1，则 x1 时函数是增函数，1 x2 时函数是减函数即有函数的单调减区间是1，2故答案为：1，2【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是去掉绝对值，把函数化成基本初等函数，再通过函数的性质或者图象得到结果15.设函数 是定义在 R 上的奇函数， ，若 在 单调递减，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得在区间（0，2）或（，2）上， f（
14、 x）0；在（2，+）或（2，0）上， f（ x）0，又由原不等式等价于 或 ，分析可得不等式- 10 -的解集，即可得答案【详解】根据题意，函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且在（0，+）单调递减，又由 f（2）0，则 f（2） f（2）0，则在区间（0，2）上， f（ x）0，则（2，+）上， f（ x）0，又由 f（ x）为 R 上的奇函数，则在区间（，2）上， f（ x）0，则（2，0）上，f（ x）0，则在区间（0，2）或（，2）上， f（ x）0；在（2，+）或（2，0）上， f（ x）0， （ x+1） f（ x1）0 或 ，解可得：1 x3，即 x 的取值范围为（1，3
15、） ；故答案为：（1，3） 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意将原不等式转化为关于 x 的不等式，属于基础题16.已知函数 对任意的实数 x， y 都满足 且 ，则的值为_【答案】【解析】【分析】可令 x y0，计算可得 f（0）1，再令 x y1，求得 f（2） ；令 x0， y1，求得f（1） ，再令 x y1，求得 f（2） ，即可得到所求和【详解】对任意的实数 x， y 都满足 f（ x+y）+ f（ x y）2 f（ x） f（ y）且 f（1） ，令 x y0，可得 f（0）+ f（0）2 f（0） f（0） ，可得 f（0）0 或 f（0）1，若 f（0）0，可
16、令 y0，则 f（ x）+ f（ x）2 f（ x） f（0）0，即 f（ x）0，这与f（1） 矛盾，则 f（0）0 不成立，则 f（0）1，令 x y1，可得 f（2）+ f（0）2 f（1） f（1） ，可得 f（2）2 1 ，- 11 -令 x0， y1 可得 f（1）+ f（1）2 f（0） f（1） ，即有 f（1）21 ，令 x y1 可得 f（2）+ f（0）2 f（1） f（1） ，即有 f（2）2 1 ，则 f（2）+ f（2）1故答案为：1【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求法，注意运用赋值法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70
17、.0 分）17.已知集合 ， ， ，其中 设全集为 R，求 ；若 ，求实数 m 的取值范围【答案】(1) ;(2) 实数 m 的取值范围是 .【解析】【分析】（1）求解集合 A、 B，根据补集，交集的定义求解 A（ RB） ；（2）根据并集的定义 A B C R，即可实数 m 的取值范围【详解】由集合或 ，（1）由条件可得 ，.由（1）可知 或 ，由 ，即 或，解得：解得实数 m 的取值范围是 - 12 -【点睛】本题考查了交、并、补集及其运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键18. ；设 ，化简： ；若 ，求 的值【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】【分析】根据指数幂的性质
18、求出代数式的值即可利用根式与分数指数幂互化进行化简即可.由已知先计算 ，再平方计算 ，代入计算即可.【详解】 原式 ；原式 ；若 ，则 ， ，故 【点睛】本题考查了指数幂的运算及根式与分数指数幂互化，考查转化思想，是一道常规题19.已知函数 是定义在 上的奇函数，且 求 的解析式；求函数 的值域- 13 -【答案】(1) ;(2) 值域为 .【解析】【分析】（1）根据奇函数得 f（0）0，解得 b0；根据 f（ ） ，解得 a2；（2）利用一元二次方程有解，判别式大于等于 0 解得【详解】 由已知得 ，即 ， ，再由 ，得 ，解得 ，当 时， ；当 时，一元二次方程 对 x 有解，所以 ，解得
19、且 ，综上所述：所求函数的值域为【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了分式型函数求值域的方法，属中档题20.已知集合 ， 若 ，求实数 a 的取值集合；若 ，求实数 a 的取值范围【答案】(1) 实数 a 的取值集合为 ；（2）实数 a 的取值范围为 .【解析】【分析】（1）由 B1，2， A B，得 1 A 或 2 A，得关于 a 的方程，求得 a；（2）由 C（3，2）与 AC，分类讨论 A与 A两种情况下满足条件的不等式组，从- 14 -而求出 a 的取值范围【详解】 （1）根据题意得到若 ，则， ，此时 ， ，此时 ，实数 a 的取值集合为 ；，设 ，若 ，则， ， ， ，综上可知
20、，实数 a 的取值范围为 【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，需注意不要漏掉空集，难度中档21.定义在 上的函数 满足 对所有的正数 x、 y 都成立， 且当， 求 的值判断并证明函数 在 上的单调性若关于 x 的不等式 在 上恒成立，求实数 k 的取值范围【答案】 （1） ；（2）见解析；（ 3） .- 15 -【解析】【分析】（1）由 f（ xy） f（ x）+ f（ y） ，取 x1， y1 得 f（1）0；（2）设 x1 x20 则 f（ x1） f（ x2） f（ x2 ） f（ x2） f（ ） ，又当 x1， f（ x）0，得 f（ x）在（
21、0，+）上单调递减；（3）由 f（2）1， f（ xy） f（ x）+ f（ y） ， f（ kx） f（ x2 kx+1）1 得 f（2 kx） f（ x2 kx+1） ，又 f（ x）在（0，+）上单调递减，得到关于 k 的不等式组，解之得实数k 的取值范围【详解】 （1） f（ xy） f（ x）+ f（ y） ，取 x1， y1 得： f（1） f（1）+ f（1） ； f（1）0；（2）设 x1 x20 则 f（ x1） f（ x2） f（ x2 ） f（ x2） f（ ） ， x1 x20； ；又 x1 时， f（ x）0； ； f（ x1） f（ x2）0； f（ x1） f（
22、x2） ； f（ x）在（0，+）上单调递减；（3） f（2）1， f（ xy） f（ x）+ f（ y） ；由 f（ kx） f（ x2 kx+1）1 得 f（2 kx） f（ x2 kx+1）又 f（ x）在（0，+）上单调递减， ，- 16 - 0 k 【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性及恒成立问题，考查了用定义法证明单调性及不等式恒成立问题，运用了转化思想，属于难题22.已知 ，函数 F（x）=min2|x1|，x 22ax+4a2，其中 minp，q=（）求使得等式 F（x）=x 22ax+4a2 成立的 x 的取值范围；（） （）求 F（x）的最小值 m（a） ；（）求 F（x）
23、在区间0,6上的最大值 M（a）.【答案】 （） （）（） （） 【解析】试题分析：（）分别对 和 两种情况讨论 ，进而可得使得等式成立的 的取值范围；（） （）先求函数 ，的最小值，再根据 的定义可得 的最小值 ；（）分别对和 两种情况讨论 的最大值，进而可得 在区间 上的最大值 试题解析：（）由于 ，故当 时， ，当 时， 所以，使得等式 成立的 的取值范围为 （） （）设函数 ， ，则 ， ，所以，由 的定义知 ，即（）当 时，当 时， - 17 -所以， 【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式【思路点睛】 （）根据 的取值范围化简 ，即可得使得等式 成立的 的取值范围；（） （）先求函数 和 的最小值，再根据 的定义可得 ；（）根据 的取值范围求出 的最大值，进而可得
