2020高考数学刷题首选卷第七章平面解析几何考点测试48椭圆文（含解析）.docx

1、1考点测试 48 椭圆高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为 5 分或 12 分，中、高等难度考纲研读1掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2了解椭圆的简单应用3理解数形结合的思想一、基础小题1已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于 ，则 C 的方程是( )12A 1 B 1x23 y24 x24 y23C 1 D y21x24 y23 x24答案 C解析 依题意，所求椭圆的焦点位于 x 轴上，且 c1， e a2， b2 a2 c23，ca因此其方程是 1，故选 Cx24 y232到点 A(4

2、，0)与点 B(4，0)的距离之和为 10 的点的轨迹方程为( )A 1 B 1x225 y216 x225 y216C 1 D 1x225 y29 x225 y29答案 C解析 由椭圆的定义可知该点的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆，而 c4， a5，故b2 a2 c29故选 C3已知 ABC 的顶点 B， C 在椭圆 y21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的x23另外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是( )A2 B6 C4 D123 32答案 C解析 依题意，记椭圆的另一个焦点为 F，则 ABC 的周长等于|AB| AC| BC| AB| AC| BF| CF|(| AB|

3、BF|)(| AC| CF|)4 ，故选3C4椭圆 x2 my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 等于( )A B2 C4 D12 14答案 D解析 由 x2 1 及题意知，2 221， m ，故选 Dy21m 1m 145已知动点 M(x， y)满足 4，则动点 M 的轨迹是( )x 22 y2 x 22 y2A椭圆 B直线 C圆 D线段答案 D解析 设点 F1(2，0)， F2(2，0)，由题意知动点 M 满足| MF1| MF2|4| F1F2|，故动点 M 的轨迹是线段 F1F2故选 D6设 F1， F2为椭圆 1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1的

4、中点在 y 轴x29 y25上，则 的值为( )|PF2|PF1|A B C D514 513 49 59答案 B解析 由题意知 a3， b 由椭圆定义知| PF1| PF2|6在 PF1F2中，因为5PF1的中点在 y 轴上， O 为 F1F2的中点，由三角形中位线的性质可推得 PF2 x 轴，所以由x c 时可得| PF2| ，所以| PF1|6| PF2| ，所以 ，故选 Bb2a 53 133 |PF2|PF1| 5137已知圆( x2) 2 y236 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，且点 N(2，0)，线段 AN的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是( )A圆 B椭

5、圆 C双曲线 D抛物线答案 B解析 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故| PA| PN|，又 AM 是圆的半径，所以|PM| PN| PM| PA| AM|6| MN|，由椭圆定义知，动点 P 的轨迹是椭圆故选B8若椭圆的方程为 1，且此椭圆的焦距为 4，则实数 a_x210 a y2a 23答案 4 或 8解析 对椭圆的焦点位置进行讨论由椭圆的焦距为 4 得 c2，当 2b0)的左，右焦点， A 是x2a2 y2b2C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线上， PF1F2为等腰三角形， F1F2P120，36则 C 的离心率为( )A B C D23 12 13 14答案 D解

6、析 依题意易知| PF2| F1F2|2 c，且 P 在第一象限内，由 F1F2P120可得 P点的坐标为(2 c， c)又因为 kAP ，即 ，所以 a4 c， e ，故选 D336 3c2c a 36 1412(2017全国卷)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右顶点分别为 A1， A2，x2a2 y2b2且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay2 ab0 相切，则 C 的离心率为( )4A B C D63 33 23 13答案 A解析 由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为 a又直线bx ay2 ab0 与圆相切，圆心到直线的距离 d a，解得 a b，2aba

7、2 b2 3 ， e 故选 Aba 13 ca a2 b2a 1 (ba)2 1 (13)2 6313(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中， F 是椭圆 1( ab0)的右焦点，直线 y 与x2a2 y2b2 b2椭圆交于 B， C 两点，且 BFC90，则该椭圆的离心率是_答案 63解析 由已知条件易得 B ， C ， F(c，0) ，(32a， b2) (32a， b2) c a， ， c a， ，由 BFC90 ，可得 0，BF 32 b2 CF 32 b2 BF CF 所以 20，(c32a)(c 32a) ( b2)c2 a2 b20，34 14即 4c23 a2(

8、 a2 c2)0，亦即 3c22 a2，所以 ，则 e c2a2 23 ca 63三、模拟小题14(2018山东济南一模)已知椭圆 C： 1( ab0)，若长轴长为 6，且两焦点x2a2 y2b2恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A 1 B 1x236 y232 x29 y28C 1 D 1x29 y25 x216 y212答案 B5解析 椭圆长轴长为 6，即 2a6，得 a3，两焦点恰好将长轴三等分，2 c 2a2，得 c1，因此， b2 a2 c2918，此椭圆的标准方程为13 1故选 Bx29 y2815(2018河南六市一模)已知点 A(1，0)和 B(1，0)，动点 P(x

9、， y)在直线l： y x3 上移动，椭圆 C 以 A， B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为( )A B C D55 105 255 2105答案 A解析 A(1，0)关于直线 l： y x3 的对称点为 A(3，2)，连接 A B 交直线 l于点 P，则此时椭圆 C 的长轴长最短，为| A B|2 ，所以椭圆 C 的离心率的最大值为5 故选 A15 5516(2018四川德阳模拟)设 P 为椭圆 C： 1 上一点， F1， F2分别是椭圆 C 的x249 y224左、右焦点，且 PF1F2的重心为 G，若| PF1| PF2|34，那么 GPF1的面积为( )A24 B1

10、2 C8 D6答案 C解析 P 为椭圆 C： 1 上一点，x249 y224|PF1| PF2|34，| PF1| PF2|2 a14，| PF1|6，| PF2|8，又| F1F2|2 c210，易知 PF1F2是直角三角形， S PF1F2 |PF1|PF2|24， PF1F2的49 2412重心为点 G， S PF1F23 S GPF1， GPF1的面积为 8，故选 C17(2018安徽宣城二模)已知椭圆 1( ab0)的左顶点为 M，上顶点为 N，右x2a2 y2b2焦点为 F，若 0，则椭圆的离心率为( )NM NF A B C D32 2 12 3 12 5 12答案 D解析 由题

11、意知， M( a，0)， N(0， b)， F(c，0)， ( a， b)，NM ( c， b) 0， ac b20，即 b2 ac又NF NM NF b2 a2 c2， a2 c2 ac e2 e10，解得 e 或 e (舍去)椭圆5 12 5 126的离心率为 ，故选 D5 1218(2018湖南湘东五校联考)已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2， P 是椭圆上一点， PF1F2是以 F2P 为底边的等腰三角形，且 600)(1)证明： k0，即 0b0)的右顶点为 A，上顶点为 B已知椭圆x2a2 y2b2的离心率为 ，| AB| 53 13(1)求椭

12、圆的方程；(2)设直线 l： y kx(kx10，点 Q 的坐标为( x1， y1)由 BPM 的面积是 BPQ 面积的 2 倍，可得| PM|2| PQ|，从而 x2 x12 x1( x1)，即 x25 x1易知直线 AB 的方程为 2x3 y6，由方程组Error!消去 y，可得 x2 63k 2由方程组Error!消去 y，可得 x1 69k2 4由 x25 x1，可得 5(3 k2)，9k2 4两边平方，整理得 18k225 k80，解得 k ，或 k 89 12当 k 时， x29b0)，x2a2 y2b2由题意得Error!解得 c ，所以 b2 a2 c21，39所以椭圆 C 的

13、方程为 y21x24(2)证明：设 M(m， n)，则 D(m，0)， N(m， n)，由题设知 m2，且 n0直线 AM 的斜率 kAM ，nm 2故直线 DE 的斜率 kDE ，m 2n所以直线 DE 的方程为 y (x m)，m 2n直线 BN 的方程为 y (x2)n2 m联立Error!解得点 E 的纵坐标 yE n4 m24 m2 n2由点 M 在椭圆 C 上，得 4 m24 n2，所以 yE n45又 S BDE |BD|yE| |BD|n|，12 25S BDN |BD|n|，12所以 BDE 与 BDN 的面积之比为 45二、模拟大题4(2018湖南衡阳一模)已知椭圆 C：

14、1( ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，离心率为 ，直线 y1 与 C 的两个交点间的距离为 12 463(1)求椭圆 C 的方程；(2)分别过 F1， F2作 l1， l2满足 l1 l2，设 l1， l2与 C 的上半部分分别交于 A， B 两点，求四边形 ABF2F1面积的最大值解 (1)易知椭圆过点 ，1，26310所以 1，83a2 1b2又 ，ca 12a2 b2 c2，所以由得 a24， b23，所以椭圆 C 的方程为 1x24 y23(2)设直线 l1的方程为 x my1，它与 C 的另一个交点为 D将直线 l1与椭圆 C 的方程联立，消去 x，得(3

15、m24) y26 my90， 144( m21)0|AD| ，1 m2121 m23m2 4又 F2到 l1的距离 d ，21 m2所以 S ADF2 121 m23m2 4令 t ， t1，则 S ADF2 ，1 m2123t 1t当 t1 时， S ADF2 取得最大值，为 3又 S 四边形 ABF2F1 (|BF2| AF1|)d12 (|AF1| DF1|)d |AD|d S ADF2，12 12所以四边形 ABF2F1面积的最大值为 35(2018河南六市三模)已知椭圆 1( ab0)的离心率 e ，原点到过点x2a2 y2b2 63A(0， b)和 B(a，0)的直线的距离为 32

16、(1)求椭圆的方程；(2)设 F1， F2为椭圆的左、右焦点，过 F2作直线交椭圆于 P， Q 两点，求 PQF1内切圆半径 r 的最大值解 (1)直线 AB 的方程为 1，xa y b即 bx ay ab011原点到直线 AB 的距离为 ，| ab| a2 b2 32即 3a23 b24 a2b2，由 e ，得 c2 a2，ca 63 23又 a2 b2 c2，所以联立可得 a23， b21， c22故椭圆的方程为 y21x23(2)由(1)得 F1( ，0)， F2( ，0)，2 2设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)易知直线 PQ 的斜率不为 0，故设其方程为 x ky ，2联立

17、直线与椭圆的方程得Error!消去 x 得( k23) y22 ky102故Error! 而 S PQF1 S F1F2P S F1F2Q |F1F2|y1 y2|12 ，2y1 y22 4y1y2将代入，得S PQF1 2 22kk2 32 4k2 3 26 k2 1k2 3又 S PQF1 (|PF1| F1Q| PQ|)r2 ar2 r，所以 2 r，12 3 26 k2 1k2 3 3故 r ，2 k2 1k2 3 2k2 1 2k2 1 12当且仅当 ，即 k1 时取等号k2 12k2 1故 PQF1内切圆半径 r 的最大值为 126(2018山东济宁一模)已知椭圆 C： 1( a2

18、)，直线 l： y kx1( k0)与x2a2 y2412椭圆 C 相交于 A， B 两点，点 D 为 AB 的中点(1)若直线 l 与直线 OD(O 为坐标原点)的斜率之积为 ，求椭圆 C 的方程；12(2)在(1)的条件下， y 轴上是否存在定点 M，使得当 k 变化时，总有 AMO BMO(O为坐标原点)？若存在，求出定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解 (1)由Error!得(4 a2k2)x22 a2kx3 a20，显然 0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(x0， y0)，则 x1 x2 ， x1x2 ，2a2k4 a2k2 3a24 a2k2 x0 ， y0

19、 1 ，a2k4 a2k2 a2k24 a2k2 44 a2k2 k k ，y0x0 4a2k 12 a28椭圆 C 的方程为 1x28 y24(2)假设存在定点 M 符合题意，且设 M(0， m)，由 AMO BMO 得 kAM kBM0 0y1 mx1 y2 mx2即 y1x2 y2x1 m(x1 x2)0，2 kx1x2 x1 x2 m(x1 x2)0由(1)知 x1 x2 ， x1x2 ，4k1 2k2 61 2k2 0，12k1 2k2 4k1 2k2 4mk1 2k2 0，即 0， 16k 4mk1 2k2 4k 4 m1 2k2 k0，4 m0， m4存在定点 M(0，4)，使得 AMO BMO13