2020高考数学刷题首选卷第七章平面解析几何考点测试48椭圆文(含解析).docx

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资源描述

1、1考点测试 48 椭圆高考概览本考点是高考必考知识点,常考题型为选择题、填空题、解答题,分值为 5 分或 12 分,中、高等难度考纲研读1掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2了解椭圆的简单应用3理解数形结合的思想一、基础小题1已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则 C 的方程是( )12A 1 B 1x23 y24 x24 y23C 1 D y21x24 y23 x24答案 C解析 依题意,所求椭圆的焦点位于 x 轴上,且 c1, e a2, b2 a2 c23,ca因此其方程是 1,故选 Cx24 y232到点 A(4

2、,0)与点 B(4,0)的距离之和为 10 的点的轨迹方程为( )A 1 B 1x225 y216 x225 y216C 1 D 1x225 y29 x225 y29答案 C解析 由椭圆的定义可知该点的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆,而 c4, a5,故b2 a2 c29故选 C3已知 ABC 的顶点 B, C 在椭圆 y21 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的x23另外一个焦点在 BC 边上,则 ABC 的周长是( )A2 B6 C4 D123 32答案 C解析 依题意,记椭圆的另一个焦点为 F,则 ABC 的周长等于|AB| AC| BC| AB| AC| BF| CF|(| AB|

3、BF|)(| AC| CF|)4 ,故选3C4椭圆 x2 my21 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 等于( )A B2 C4 D12 14答案 D解析 由 x2 1 及题意知,2 221, m ,故选 Dy21m 1m 145已知动点 M(x, y)满足 4,则动点 M 的轨迹是( )x 22 y2 x 22 y2A椭圆 B直线 C圆 D线段答案 D解析 设点 F1(2,0), F2(2,0),由题意知动点 M 满足| MF1| MF2|4| F1F2|,故动点 M 的轨迹是线段 F1F2故选 D6设 F1, F2为椭圆 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,若线段 PF1的

4、中点在 y 轴x29 y25上,则 的值为( )|PF2|PF1|A B C D514 513 49 59答案 B解析 由题意知 a3, b 由椭圆定义知| PF1| PF2|6在 PF1F2中,因为5PF1的中点在 y 轴上, O 为 F1F2的中点,由三角形中位线的性质可推得 PF2 x 轴,所以由x c 时可得| PF2| ,所以| PF1|6| PF2| ,所以 ,故选 Bb2a 53 133 |PF2|PF1| 5137已知圆( x2) 2 y236 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,且点 N(2,0),线段 AN的垂直平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( )A圆 B椭

5、圆 C双曲线 D抛物线答案 B解析 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上,故| PA| PN|,又 AM 是圆的半径,所以|PM| PN| PM| PA| AM|6| MN|,由椭圆定义知,动点 P 的轨迹是椭圆故选B8若椭圆的方程为 1,且此椭圆的焦距为 4,则实数 a_x210 a y2a 23答案 4 或 8解析 对椭圆的焦点位置进行讨论由椭圆的焦距为 4 得 c2,当 2b0)的左,右焦点, A 是x2a2 y2b2C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为 的直线上, PF1F2为等腰三角形, F1F2P120,36则 C 的离心率为( )A B C D23 12 13 14答案 D解

6、析 依题意易知| PF2| F1F2|2 c,且 P 在第一象限内,由 F1F2P120可得 P点的坐标为(2 c, c)又因为 kAP ,即 ,所以 a4 c, e ,故选 D336 3c2c a 36 1412(2017全国卷)已知椭圆 C: 1( ab0)的左、右顶点分别为 A1, A2,x2a2 y2b2且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay2 ab0 相切,则 C 的离心率为( )4A B C D63 33 23 13答案 A解析 由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为 a又直线bx ay2 ab0 与圆相切,圆心到直线的距离 d a,解得 a b,2aba

7、2 b2 3 , e 故选 Aba 13 ca a2 b2a 1 (ba)2 1 (13)2 6313(2016江苏高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F 是椭圆 1( ab0)的右焦点,直线 y 与x2a2 y2b2 b2椭圆交于 B, C 两点,且 BFC90,则该椭圆的离心率是_答案 63解析 由已知条件易得 B , C , F(c,0) ,(32a, b2) (32a, b2) c a, , c a, ,由 BFC90 ,可得 0,BF 32 b2 CF 32 b2 BF CF 所以 20,(c32a)(c 32a) ( b2)c2 a2 b20,34 14即 4c23 a2(

8、 a2 c2)0,亦即 3c22 a2,所以 ,则 e c2a2 23 ca 63三、模拟小题14(2018山东济南一模)已知椭圆 C: 1( ab0),若长轴长为 6,且两焦点x2a2 y2b2恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为( )A 1 B 1x236 y232 x29 y28C 1 D 1x29 y25 x216 y212答案 B5解析 椭圆长轴长为 6,即 2a6,得 a3,两焦点恰好将长轴三等分,2 c 2a2,得 c1,因此, b2 a2 c2918,此椭圆的标准方程为13 1故选 Bx29 y2815(2018河南六市一模)已知点 A(1,0)和 B(1,0),动点 P(x

9、, y)在直线l: y x3 上移动,椭圆 C 以 A, B 为焦点且经过点 P,则椭圆 C 的离心率的最大值为( )A B C D55 105 255 2105答案 A解析 A(1,0)关于直线 l: y x3 的对称点为 A(3,2),连接 A B 交直线 l于点 P,则此时椭圆 C 的长轴长最短,为| A B|2 ,所以椭圆 C 的离心率的最大值为5 故选 A15 5516(2018四川德阳模拟)设 P 为椭圆 C: 1 上一点, F1, F2分别是椭圆 C 的x249 y224左、右焦点,且 PF1F2的重心为 G,若| PF1| PF2|34,那么 GPF1的面积为( )A24 B1

10、2 C8 D6答案 C解析 P 为椭圆 C: 1 上一点,x249 y224|PF1| PF2|34,| PF1| PF2|2 a14,| PF1|6,| PF2|8,又| F1F2|2 c210,易知 PF1F2是直角三角形, S PF1F2 |PF1|PF2|24, PF1F2的49 2412重心为点 G, S PF1F23 S GPF1, GPF1的面积为 8,故选 C17(2018安徽宣城二模)已知椭圆 1( ab0)的左顶点为 M,上顶点为 N,右x2a2 y2b2焦点为 F,若 0,则椭圆的离心率为( )NM NF A B C D32 2 12 3 12 5 12答案 D解析 由题

11、意知, M( a,0), N(0, b), F(c,0), ( a, b),NM ( c, b) 0, ac b20,即 b2 ac又NF NM NF b2 a2 c2, a2 c2 ac e2 e10,解得 e 或 e (舍去)椭圆5 12 5 126的离心率为 ,故选 D5 1218(2018湖南湘东五校联考)已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1, F2, P 是椭圆上一点, PF1F2是以 F2P 为底边的等腰三角形,且 600)(1)证明: k0,即 0b0)的右顶点为 A,上顶点为 B已知椭圆x2a2 y2b2的离心率为 ,| AB| 53 13(1)求椭

12、圆的方程;(2)设直线 l: y kx(kx10,点 Q 的坐标为( x1, y1)由 BPM 的面积是 BPQ 面积的 2 倍,可得| PM|2| PQ|,从而 x2 x12 x1( x1),即 x25 x1易知直线 AB 的方程为 2x3 y6,由方程组Error!消去 y,可得 x2 63k 2由方程组Error!消去 y,可得 x1 69k2 4由 x25 x1,可得 5(3 k2),9k2 4两边平方,整理得 18k225 k80,解得 k ,或 k 89 12当 k 时, x29b0),x2a2 y2b2由题意得Error!解得 c ,所以 b2 a2 c21,39所以椭圆 C 的

13、方程为 y21x24(2)证明:设 M(m, n),则 D(m,0), N(m, n),由题设知 m2,且 n0直线 AM 的斜率 kAM ,nm 2故直线 DE 的斜率 kDE ,m 2n所以直线 DE 的方程为 y (x m),m 2n直线 BN 的方程为 y (x2)n2 m联立Error!解得点 E 的纵坐标 yE n4 m24 m2 n2由点 M 在椭圆 C 上,得 4 m24 n2,所以 yE n45又 S BDE |BD|yE| |BD|n|,12 25S BDN |BD|n|,12所以 BDE 与 BDN 的面积之比为 45二、模拟大题4(2018湖南衡阳一模)已知椭圆 C:

14、1( ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1, F2,离心率为 ,直线 y1 与 C 的两个交点间的距离为 12 463(1)求椭圆 C 的方程;(2)分别过 F1, F2作 l1, l2满足 l1 l2,设 l1, l2与 C 的上半部分分别交于 A, B 两点,求四边形 ABF2F1面积的最大值解 (1)易知椭圆过点 ,1,26310所以 1,83a2 1b2又 ,ca 12a2 b2 c2,所以由得 a24, b23,所以椭圆 C 的方程为 1x24 y23(2)设直线 l1的方程为 x my1,它与 C 的另一个交点为 D将直线 l1与椭圆 C 的方程联立,消去 x,得(3

15、m24) y26 my90, 144( m21)0|AD| ,1 m2121 m23m2 4又 F2到 l1的距离 d ,21 m2所以 S ADF2 121 m23m2 4令 t , t1,则 S ADF2 ,1 m2123t 1t当 t1 时, S ADF2 取得最大值,为 3又 S 四边形 ABF2F1 (|BF2| AF1|)d12 (|AF1| DF1|)d |AD|d S ADF2,12 12所以四边形 ABF2F1面积的最大值为 35(2018河南六市三模)已知椭圆 1( ab0)的离心率 e ,原点到过点x2a2 y2b2 63A(0, b)和 B(a,0)的直线的距离为 32

16、(1)求椭圆的方程;(2)设 F1, F2为椭圆的左、右焦点,过 F2作直线交椭圆于 P, Q 两点,求 PQF1内切圆半径 r 的最大值解 (1)直线 AB 的方程为 1,xa y b即 bx ay ab011原点到直线 AB 的距离为 ,| ab| a2 b2 32即 3a23 b24 a2b2,由 e ,得 c2 a2,ca 63 23又 a2 b2 c2,所以联立可得 a23, b21, c22故椭圆的方程为 y21x23(2)由(1)得 F1( ,0), F2( ,0),2 2设 P(x1, y1), Q(x2, y2)易知直线 PQ 的斜率不为 0,故设其方程为 x ky ,2联立

17、直线与椭圆的方程得Error!消去 x 得( k23) y22 ky102故Error! 而 S PQF1 S F1F2P S F1F2Q |F1F2|y1 y2|12 ,2y1 y22 4y1y2将代入,得S PQF1 2 22kk2 32 4k2 3 26 k2 1k2 3又 S PQF1 (|PF1| F1Q| PQ|)r2 ar2 r,所以 2 r,12 3 26 k2 1k2 3 3故 r ,2 k2 1k2 3 2k2 1 2k2 1 12当且仅当 ,即 k1 时取等号k2 12k2 1故 PQF1内切圆半径 r 的最大值为 126(2018山东济宁一模)已知椭圆 C: 1( a2

18、),直线 l: y kx1( k0)与x2a2 y2412椭圆 C 相交于 A, B 两点,点 D 为 AB 的中点(1)若直线 l 与直线 OD(O 为坐标原点)的斜率之积为 ,求椭圆 C 的方程;12(2)在(1)的条件下, y 轴上是否存在定点 M,使得当 k 变化时,总有 AMO BMO(O为坐标原点)?若存在,求出定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由解 (1)由Error!得(4 a2k2)x22 a2kx3 a20,显然 0,设 A(x1, y1), B(x2, y2), D(x0, y0),则 x1 x2 , x1x2 ,2a2k4 a2k2 3a24 a2k2 x0 , y0

19、 1 ,a2k4 a2k2 a2k24 a2k2 44 a2k2 k k ,y0x0 4a2k 12 a28椭圆 C 的方程为 1x28 y24(2)假设存在定点 M 符合题意,且设 M(0, m),由 AMO BMO 得 kAM kBM0 0y1 mx1 y2 mx2即 y1x2 y2x1 m(x1 x2)0,2 kx1x2 x1 x2 m(x1 x2)0由(1)知 x1 x2 , x1x2 ,4k1 2k2 61 2k2 0,12k1 2k2 4k1 2k2 4mk1 2k2 0,即 0, 16k 4mk1 2k2 4k 4 m1 2k2 k0,4 m0, m4存在定点 M(0,4),使得 AMO BMO13

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