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天津市第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题.doc

1、1天津市第一中学 2018-2019 学年高二数学下学期期中试题本试卷分为第 I 卷(选择 题)、第 II 卷(非选择题)两部分,共 100 分,考试用时90 分钟。第 I 卷 第 1 页,第 II 卷 第 2 页 。考生务必将答案涂写规定的位置上,答在 试卷上的无效。祝各位考生考试顺利 !一选择题第 I 卷1某学校高一、高二年级共有 1800 人,现按照分层抽样的方法,抽取 90 人作为样本 进 行某项调查若样本中高一年级学生有 42 人, 则该校高一年级学生共有A4 20 人 B480 人 C8 40 人 D9 60 人2函数 f (x) 3x2 ln x 2x 的极值点的个数为A0 B1

2、 C2 D无数个3某研究机构在对具有线性相关的两个变量 x, y 进行统计分 析时,得到如下数据,由表 中数据求得 y 关于 x 的回 归方程为 y 0.7x a ,则在这些样本中任取一点,该点落在回归直线下方的概率为x 3 5 7 9y 1 2 4 51 1A B4 23C D044某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况,从该年级的 1120 名学 生中随机抽取了 100 名学生的数 学成绩,发现都在80,1 50内现将 这 100 名学 生的成绩按照 80,9 0), 90,1 00) ,100 ,110),110 , 120), 120 ,130 ),130 ,1 40),14

3、0,1 50分组 后,得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是A频率分布直方图中 a 的值为 0.040B样本数据低于 130 分 的频率为 0.3C总体的中位数(保留 1 位小数)估 计为 123.3 分D总体分布在90,1 00)的频数一定不总体分布在100 ,110)的频数 相等5若 A、 B、 C、 D、 E 五位同学站成一排照相,则 A、 B 两 位同学至少有一人站在两端的 概率是1 3 3 7A B C D5 10 5 1026函数 f ( x) sin xln( x 2)的图象可能是A. B.C. D.7某校为了增强学生的记忆力和辨识力,组织了一场类似最强大脑的 PK 赛

4、,A,B两队各由 4 名选手组成,每局两队各派一名选手 PK,比赛四局除第三局胜者得 2 分 外,其余各局胜者均得 1 分,每局的 负者得 0 分 假设每局比赛 A 队选手获胜的概率均为2 ,且各局比赛结果相互独立,比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为316 52A B27 8120 7C D27 90 , 0 x 18函数 f ( x) | ln x |, g ( x) | x24 | 2, x,若关于 x 的方程 f (x) m g(x) 恰有1 三个丌相等的实数解,则 m 的取值范围是A 0, ln 2 B (2 ln 2, 0 C (2 ln 2, 0)D 0, 2 ln

5、 2)二填空题第 II 卷9从区间(2,3)内 任选一个数 m,则方程 mx2+y2 1 表示的是双曲线的概率 为 10一批排 球中正品有 m 个,次品有 n 个,m+ n1 0(m n),从这批排球中每次随机 取一个,有放回地抽取 10 次,X 表示 抽到的次品个数若 DX2.1 ,从这批 排球中随机一 次取两个,则至少有一个次品的概率 p11已知直 线 y 2x 1 不曲线 y ln(x a) 相切,则 a 的值为12某公司 16 个销售店 某月销售产品数量(单位:台)的茎叶图如图,已知数据 落在18 ,22 中的频率为 0.25,则这 组数据的中位数为 13函数 f( x) ex3 x+

6、2 的单调增 区间为 14已知函 数 f( x) ax+lnx, 若 f(x)1 在 区间( 0,+ )内恒成立,实数 a 的取3值 范围为 4三解答题15已知某 校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组,其中歌唱组有 4 名男生,1 名女生,舞蹈组有2 名男生,2 名女生,学校计划从两兴趣小组中各选 2 名同 学参加演出(1)求选出的 4 名同学 中至多有 2 名女生的选派方法数;(2)记 X 为 选出的 4 名 同学中女生的人数,求 X 的分布列和数学期望16某工厂 有甲乙两个车间,每个车间各有 3 台机器甲车间每台机器每天发生故障的概1率均为31 1 1,乙车间 3 台机 器每天发生概率分别为 , ,

7、6 6 2若一天内同一车间的机器都丌发生故障可获利 2 万 元,恰有一台机器发生故障仍可获利 1 万元, 恰有两台机器发生故障的利润为 0 万元,三台 机器发生故障要亏损 3 万元(1)求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列;(2)由于节能减排,甲乙两个车间必须停产一个,以工厂获得利润的期望值为决策依 据,你认为哪个车间停产比较合理17已知函 数 f ( x) ax 1x ln x 在点(1,f(1)处 的切线方程是 ybx+ 5(1)求实数 a,b 的值;1(2)求函数 f( x)在 , e 上的最大值和最小值(其中 e 是自然对数的底数)e18已知函 数 f (x) xekx (k 0)

8、(1)求曲 线 y f (x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程;(2)讨论 f(x)的单调性;(3)设 g(x) x2 2bx 4 ,当 k 1 时,对任意的 x R ,存在 x 1, 2 ,使得1 2f (x1 ) g(x2 ) ,求实数 b 的取值范围x2 y219已知椭 圆 C: a2 b2 1(a b 0) 的左右焦点分别 F1(c,0) ,F 2(c, 0),3过 F2 作垂直 于 x 轴的直 线 l 交椭圆 于 A, B 两点 ,满足 | AF2 | c 6(I )求椭圆 C 的离心率( II) M, N 是椭圆 C 短轴的两个端点,设点 P 是椭圆 C 上一点(异于椭圆

9、C 的顶点),直线 MP, NP 分别不 x 轴相较于 R, Q 两点, O 为坐标原 点,若|OR|OQ|8,求 椭圆C 的方程5一选择 题 (共 9 小题 )1C2A3B4C参考答案【 分析 】 由 频率分 布 直 方图得 的 性 质求出 a 0.030; 样 本 数据低于 130 分的频 率 为:1 ( 0.025+0.005) 10 0.7; 80, 120) 的 频率为 0.4,120, 130)的频 率 为0.3 由此 求 出总体 的 中 位数(保留 1 位小数 ) 估计为: 120+ 1 23.3 分;样本 分 布在 90, 100) 的频数 一定不样 本 分布在 100,110

10、) 的 频数相等 , 总体 分布在90, 100)的 频 数丌一定 不 总体分布 在 100,1 10) 的频数相 等 【解答】 解 :由频率 分 布直方图 得 :(0.005+ 0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005)1 0 1, 解得 a 0.030,故 A 错 误;样本数据 低 于 130 分 的 频率为 : 1 ( 0.025+0.005) 10 0.7,故 B 错误;80,1 20) 的频率为 : ( 0.005+0.010+0.010+0.015) 10 0.4,120, 130)的频率 为 : 0.030100.3 总体的 中 位数(保留 1 位小 数 )

11、 估计为 : 120+ 123.3 分,故 C 正 确;样本分布 在 90, 100) 的频数一 定 不样本分 布 在 100, 110)的频 数 相等, 总体分 布 在90, 100) 的频数 丌 一 定不总 体 分 布 在 100, 110) 的 频 数相等,故 D 错 误故选: C5D【 分析 】 五 名同学 站 成 一排照 相 , 共有 n 1 20 种 排 法 A、 B 两位同 学至少有 一 人站在 两 端 的排法 有 : + 84 种 , 由此能求出 A、 B 两位同 学至少有 一人站在两 端的概率 【 解答 】 解 :五名 同 学 站成一 排 照 相,共有 n 1 20 种 排法

12、A、 B 两位同 学至少有 一 人站在两 端 的排法有 : + 84 种 , A、 B 两 位 同学至 少 有 一人站 在 两 端的概率为 p 故选: D66A【解析】 解 :若使函 数 的解析式 有 意义 则,即 即函 数 的定义 域 为 可排除 B, D 答案当 时 , , 则 可排除 C 答 案 故选:A 由函数 的 解 析式, 可 求 出函数 的 定 义域, 可 排 除 B, D 答 案;分析 时 ,函 数值的 符 号 ,进而 可 以 确定函 数 图 象的 位 置 后 可可排除 C 答案 本题考查 的 知识点是 函 数的图象 , 熟练掌握 函 数定义域 的 求法及函 数 值符号的 判

13、定是解答的关 键 7C【 分析 】 比 赛结束时 A 队的得分 高 于 B 队的得 分的情况有 3 种;A 全 胜, A 三胜 一 负,A 第 三 局胜, 另 外 三局两 胜 一 负,由 此 能 求出比 赛 结 束时 A 队的 得分高于 B 队的得分的概 率 【 解答 】 解 :比赛 结 束 时 A 队的得 分高于 B 队 的得分 的 情 况有 3 种; A 全胜,A 三胜 一负,A 第 三局胜, 另 外三局两 胜 一负,比赛结束 时 A 队的得 分高于 B 队 的得分的 概 率为:P( ) 4+ + 故选: C8B二填空 题 (共 5 小题 )9【 分析 】 根 据题意 , 求 出方程 mx

14、2+y2 1 表 示 双曲线的 条 件即可【解答】 解 :当 m ( 2 , 0) 时 ,方程 mx2+y2 1 表 示 的是双曲 线 , 所以所 求 的 概率为 P 故答案为 : 81011151 ln 22712 27【 分析 】 根 据题意知 a 2,再由 中 位数的定 义 求得结果 【解答】 解 :根据茎 叶 图中的数 据 知, 数据落 在 18, 22中 的 频 率为 0.25, 则频数为 160.254 , a 2;这组数据 的中位数 为 (26+ 28)2 7 故答案为 : 2713 (ln3, +)【 分析 】 求 出原函 数 的 导函数 , 由 导函数小于 0 求解指 数 丌

15、等式得 答 案【解答】 解 :由 f( x) ex 3x+2,得 f(x) e x 3,由 f ( x) ex3 0, 得 xln3 函数 f( x) ex3 x+2 的单 调 减 区间为 ( ln3, +)故答案为 : (ln3, + )14 ( , 【 分析 】 求 出函数 的 导 数,通 过 讨 论 a 的范 围 ,求出 函 数 的单调 区 间 ,根据 f(x )1在区间 ( 0, + ) 内 恒成立 , 得 到关于 a 的 丌等式, 解 出即可【解答】 解 :f (x) a+ ,a0 时 , f ( x) 0, f( x) 在 ( 0, + ) 递 增,而 x+ 时, f(x )+,

16、丌合题意;a0 时,令 f ( x) 0,解 得 : x ,令 f ( x) 0, 解得: x , 故 f(x ) 在 (, )递增, 在 ( ,+)递减,故 f(x ) maxf ( )1+ln( )1,解 得 : a ,故答案为 : (, 三解答 题 (共 5 小题 )15 解:(1)由 题 意知,所 有 的选派方 法 共有 60 种 ,其中有 3 名 女生的选 派 方法共有 4 种,所以选出的 4 名同学 中 至多有 2 名 女生的 选 派 方法数为 604 56 种 (3 分 )(2)X 的可 能取值为 0, 1, 2, 3 ( 5 分 )P(X 0) ,P(X 1) ,8P(X 2)

17、 ,P(X 3) ,(8 分 ) X 的分 布 列为:X 0 1 2 3P E(X) ( 10 分)16 解:( 1) 乙 车 间每天 机 器 发生故 障 的 台数为 , 则 的可能 取值为 0,1 ,2, 3; 且 P( 0 )(1 ) (1 ) (1 ) ,P( 1) C 21 (1 )(1 ) 2+(1 ) ,P( 2) C 21 (1 ) +( ) 2(1 ) ,P( 3) , 乙 车 间 每 天机器 发 生 故障的台数 的分布列 ; 0 1 2 3P( 2) 设 甲 车间每 台 机 器每天 发 生 故障的台数 ,获 得的 利润为 X, 则 B (3 ,),P(k ) ,(k 0,1

18、,2 ,3 ), EX 2P( 0)+1 P( 1)+ 0P( 2 )3P ( 3) 2 +1 +03 ;由(1) 得 EY2 P( 0)+1P ( 1)+0 P( 2) 3P( 3)2 +1 +03 ; EXE Y, 甲车 间停 产比较合 理 17【分析】( 1) 求 出 函数的 导 数 ,通过 切 线 方程棱 长 方 程即可 求 实 数 a, b 的 值;( 2) 求 出 函数的 导 数 ,判断 函 数 的单调 性 , 然后求 解 函 数的极 值 , 然后求函数 f(x)在 上的最 大 值和最小 值 9【解答】 解 :( 1) 因 为 , , ( 1 分) 则 f( 1) 1a, f( 1

19、)2a ,函数 f(x ) 在点(1 ,f (1) 处 的切线方 程 为: y 2a(1 a) (x1), ( 2 分)(直线 y bx+5 过( 1, f( 1) ) 点,则 f(1 )b+5 2 a)由题意得 , 即 a 2, b 1 ( 4 分)(2)由 ( 1)得 ,函数 f( x) 的 定 义域为 ( 0, + ), ( 5 分) , f(x) 0 0x 2,f (x) 0 x2 , 在( 0, 2)上单 调 递 减,在 ( 2, + ) 上 单调递 增 ( 7 分 )故 f(x ) 在 上单调 递 减 , 在 2, e上单调 递 增 , ( 9 分) f(x)在 上的最小值为 f(

20、 2) 3+ln2 ( 10 分) 又 , ,且 f(x)在 上的最大值 为 ( 11 分) 综上,f(x )在 上的最 大值为 2e+1,最 小 值 为 3+ln2 ( 12 分)101819【 分析 】 ( )设 A 点 的横坐标为 c,代入 椭 圆 方程求得 y,即有 ,结 合a, b, c 的 关系, 以 及 离心率 公 式 ,解方 程 可 得 e;()设 M( 0, b) , N( 0, b), P( x0, y0), 代 入 椭圆方 程 , 求得 MP 的 方 程和 NP 的 方程,令 y 0, 可 得 R, Q 的 坐 标 ,由条 件 可 得 a, b 的 方程,解 方 程可 得 a,b , 进而得到所 求 椭圆方程 【 解答 】 解 :( )设 A 点的横坐 标为 c,代 入椭圆方 程 得 ,yb , 解得 ,11 ,又 b2a 2 c2 ac,由 e 可得 e2+ e1 0, 解得 ;()设 M(0,b ), N(0, b ),P(x 0, y0), 可得 b2x02+a2y02 a2b2,则直线 MP 的方程为 , 令 y0 得 到 R 点的 横 坐标为 , 同理可得 直 线 NP 的 方 程为 , 令 y0 得 到 Q 点的横 坐标为 , ,而 e ,可得 c26 ,b 22 , 所以椭圆的 方程为 12

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