1、1天津市第一中学 2018-2019 学年高二数学下学期期中试题本试卷分为第 I 卷（选择 题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时90 分钟。第 I 卷 第 1 页，第 II 卷 第 2 页 。考生务必将答案涂写规定的位置上，答在 试卷上的无效。祝各位考生考试顺利 !一选择题第 I 卷1某学校高一、高二年级共有 1800 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本 进 行某项调查若样本中高一年级学生有 42 人， 则该校高一年级学生共有A4 20 人 B480 人 C8 40 人 D9 60 人2函数 f (x) 3x2 ln x 2x 的极值点的个数为A0 B1
2、 C2 D无数个3某研究机构在对具有线性相关的两个变量 x， y 进行统计分 析时，得到如下数据，由表 中数据求得 y 关于 x 的回 归方程为 y 0.7x a ，则在这些样本中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为x 3 5 7 9y 1 2 4 51 1A B4 23C D044某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的 1120 名学 生中随机抽取了 100 名学生的数 学成绩，发现都在80，1 50内现将 这 100 名学 生的成绩按照 80，9 0）， 90，1 00） ，100 ，110），110 ， 120）， 120 ，130 ），130 ，1 40），14
3、0，1 50分组 后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是A频率分布直方图中 a 的值为 0.040B样本数据低于 130 分 的频率为 0.3C总体的中位数（保留 1 位小数）估 计为 123.3 分D总体分布在90，1 00）的频数一定不总体分布在100 ，110）的频数 相等5若 A、 B、 C、 D、 E 五位同学站成一排照相，则 A、 B 两 位同学至少有一人站在两端的 概率是1 3 3 7A B C D5 10 5 1026函数 f ( x) sin xln( x 2)的图象可能是A. B.C. D.7某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似最强大脑的 PK 赛
4、，A，B两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手 PK，比赛四局除第三局胜者得 2 分 外，其余各局胜者均得 1 分，每局的 负者得 0 分 假设每局比赛 A 队选手获胜的概率均为2 ，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时 A 队的得分高于 B 队的得分的概率为316 52A B27 8120 7C D27 90 , 0 x 18函数 f ( x) | ln x |, g ( x) | x24 | 2, x，若关于 x 的方程 f (x) m g(x) 恰有1 三个丌相等的实数解，则 m 的取值范围是A 0, ln 2 B (2 ln 2, 0 C (2 ln 2, 0)D 0, 2 ln
5、 2)二填空题第 II 卷9从区间（2，3）内 任选一个数 m，则方程 mx2+y2 1 表示的是双曲线的概率 为 10一批排 球中正品有 m 个，次品有 n 个，m+ n1 0（m n），从这批排球中每次随机 取一个，有放回地抽取 10 次，X 表示 抽到的次品个数若 DX2.1 ，从这批 排球中随机一 次取两个，则至少有一个次品的概率 p11已知直 线 y 2x 1 不曲线 y ln(x a) 相切，则 a 的值为12某公司 16 个销售店 某月销售产品数量（单位：台）的茎叶图如图，已知数据 落在18 ，22 中的频率为 0.25，则这 组数据的中位数为 13函数 f（ x） ex3 x+
6、2 的单调增 区间为 14已知函 数 f（ x） ax+lnx， 若 f（x）1 在 区间（ 0，+ ）内恒成立，实数 a 的取3值 范围为 4三解答题15已知某 校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组，其中歌唱组有 4 名男生，1 名女生，舞蹈组有2 名男生，2 名女生，学校计划从两兴趣小组中各选 2 名同 学参加演出（1）求选出的 4 名同学 中至多有 2 名女生的选派方法数；（2）记 X 为 选出的 4 名 同学中女生的人数，求 X 的分布列和数学期望16某工厂 有甲乙两个车间，每个车间各有 3 台机器甲车间每台机器每天发生故障的概1率均为31 1 1，乙车间 3 台机 器每天发生概率分别为 ， ，
7、6 6 2若一天内同一车间的机器都丌发生故障可获利 2 万 元，恰有一台机器发生故障仍可获利 1 万元， 恰有两台机器发生故障的利润为 0 万元，三台 机器发生故障要亏损 3 万元（1）求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列；（2）由于节能减排，甲乙两个车间必须停产一个，以工厂获得利润的期望值为决策依 据，你认为哪个车间停产比较合理17已知函 数 f ( x) ax 1x ln x 在点（1，f（1）处 的切线方程是 ybx+ 5（1）求实数 a，b 的值；1（2）求函数 f（ x）在 , e 上的最大值和最小值（其中 e 是自然对数的底数）e18已知函 数 f (x) xekx (k 0)
8、（1）求曲 线 y f (x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程；（2）讨论 f（x）的单调性；（3）设 g(x) x2 2bx 4 ，当 k 1 时，对任意的 x R ，存在 x 1, 2 ，使得1 2f (x1 ) g(x2 ) ，求实数 b 的取值范围x2 y219已知椭 圆 C： a2 b2 1(a b 0) 的左右焦点分别 F1（c，0） ，F 2（c， 0），3过 F2 作垂直 于 x 轴的直 线 l 交椭圆 于 A， B 两点 ，满足 | AF2 | c 6（I ）求椭圆 C 的离心率（ II） M， N 是椭圆 C 短轴的两个端点，设点 P 是椭圆 C 上一点（异于椭圆
9、C 的顶点），直线 MP， NP 分别不 x 轴相较于 R， Q 两点， O 为坐标原 点，若|OR|OQ|8，求 椭圆C 的方程5一选择 题 （共 9 小题 ）1C2A3B4C参考答案【 分析 】 由 频率分 布 直 方图得 的 性 质求出 a 0.030； 样 本 数据低于 130 分的频 率 为：1 （ 0.025+0.005） 10 0.7； 80， 120） 的 频率为 0.4，120， 130）的频 率 为0.3 由此 求 出总体 的 中 位数（保留 1 位小数 ） 估计为： 120+ 1 23.3 分；样本 分 布在 90， 100） 的频数 一定不样 本 分布在 100，110
10、） 的 频数相等 ， 总体 分布在90， 100）的 频 数丌一定 不 总体分布 在 100，1 10） 的频数相 等 【解答】 解 ：由频率 分 布直方图 得 ：（0.005+ 0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）1 0 1， 解得 a 0.030，故 A 错 误；样本数据 低 于 130 分 的 频率为 ： 1 （ 0.025+0.005） 10 0.7，故 B 错误；80，1 20） 的频率为 ： （ 0.005+0.010+0.010+0.015） 10 0.4，120， 130）的频率 为 ： 0.030100.3 总体的 中 位数（保留 1 位小 数 ）
11、 估计为 ： 120+ 123.3 分，故 C 正 确；样本分布 在 90， 100） 的频数一 定 不样本分 布 在 100， 110）的频 数 相等， 总体分 布 在90， 100） 的频数 丌 一 定不总 体 分 布 在 100， 110） 的 频 数相等，故 D 错 误故选： C5D【 分析 】 五 名同学 站 成 一排照 相 ， 共有 n 1 20 种 排 法 A、 B 两位同 学至少有 一 人站在 两 端 的排法 有 ： + 84 种 ， 由此能求出 A、 B 两位同 学至少有 一人站在两 端的概率 【 解答 】 解 ：五名 同 学 站成一 排 照 相，共有 n 1 20 种 排法
12、A、 B 两位同 学至少有 一 人站在两 端 的排法有 ： + 84 种 ， A、 B 两 位 同学至 少 有 一人站 在 两 端的概率为 p 故选： D66A【解析】 解 ：若使函 数 的解析式 有 意义 则，即 即函 数 的定义 域 为 可排除 B， D 答案当 时 ， ， 则 可排除 C 答 案 故选：A 由函数 的 解 析式， 可 求 出函数 的 定 义域， 可 排 除 B， D 答 案；分析 时 ，函 数值的 符 号 ，进而 可 以 确定函 数 图 象的 位 置 后 可可排除 C 答案 本题考查 的 知识点是 函 数的图象 ， 熟练掌握 函 数定义域 的 求法及函 数 值符号的 判
13、定是解答的关 键 7C【 分析 】 比 赛结束时 A 队的得分 高 于 B 队的得 分的情况有 3 种；A 全 胜， A 三胜 一 负，A 第 三 局胜， 另 外 三局两 胜 一 负，由 此 能 求出比 赛 结 束时 A 队的 得分高于 B 队的得分的概 率 【 解答 】 解 ：比赛 结 束 时 A 队的得 分高于 B 队 的得分 的 情 况有 3 种； A 全胜，A 三胜 一负，A 第 三局胜， 另 外三局两 胜 一负，比赛结束 时 A 队的得 分高于 B 队 的得分的 概 率为：P（ ） 4+ + 故选： C8B二填空 题 （共 5 小题 ）9【 分析 】 根 据题意 ， 求 出方程 mx
14、2+y2 1 表 示 双曲线的 条 件即可【解答】 解 ：当 m （ 2 ， 0） 时 ，方程 mx2+y2 1 表 示 的是双曲 线 ， 所以所 求 的 概率为 P 故答案为 ： 81011151 ln 22712 27【 分析 】 根 据题意知 a 2，再由 中 位数的定 义 求得结果 【解答】 解 ：根据茎 叶 图中的数 据 知， 数据落 在 18， 22中 的 频 率为 0.25， 则频数为 160.254 ， a 2；这组数据 的中位数 为 （26+ 28）2 7 故答案为 ： 2713 （ln3, +）【 分析 】 求 出原函 数 的 导函数 ， 由 导函数小于 0 求解指 数 丌
15、等式得 答 案【解答】 解 ：由 f（ x） ex 3x+2，得 f（x） e x 3，由 f （ x） ex3 0， 得 xln3 函数 f（ x） ex3 x+2 的单 调 减 区间为 （ ln3, +）故答案为 ： （ln3, + ）14 （ ， 【 分析 】 求 出函数 的 导 数，通 过 讨 论 a 的范 围 ，求出 函 数 的单调 区 间 ，根据 f（x ）1在区间 （ 0， + ） 内 恒成立 ， 得 到关于 a 的 丌等式， 解 出即可【解答】 解 ：f （x） a+ ，a0 时 ， f （ x） 0， f（ x） 在 （ 0， + ） 递 增，而 x+ 时， f（x ）+，
16、丌合题意；a0 时，令 f （ x） 0，解 得 ： x ，令 f （ x） 0， 解得： x ， 故 f（x ） 在 （， ）递增， 在 （ ，+）递减，故 f（x ） maxf （ ）1+ln（ ）1，解 得 ： a ，故答案为 ： （， 三解答 题 （共 5 小题 ）15 解：（1）由 题 意知，所 有 的选派方 法 共有 60 种 ，其中有 3 名 女生的选 派 方法共有 4 种，所以选出的 4 名同学 中 至多有 2 名 女生的 选 派 方法数为 604 56 种 （3 分 ）（2）X 的可 能取值为 0， 1， 2， 3 （ 5 分 ）P（X 0） ，P（X 1） ，8P（X 2）
17、 ，P（X 3） ，（8 分 ） X 的分 布 列为：X 0 1 2 3P E（X） （ 10 分）16 解：（ 1） 乙 车 间每天 机 器 发生故 障 的 台数为 ， 则 的可能 取值为 0，1 ，2， 3； 且 P（ 0 ）（1 ） （1 ） （1 ） ，P（ 1） C 21 （1 ）（1 ） 2+（1 ） ，P（ 2） C 21 （1 ） +（ ） 2（1 ） ，P（ 3） ， 乙 车 间 每 天机器 发 生 故障的台数 的分布列 ； 0 1 2 3P（ 2） 设 甲 车间每 台 机 器每天 发 生 故障的台数 ，获 得的 利润为 X， 则 B （3 ，），P（k ） ，（k 0，1
18、，2 ，3 ）， EX 2P（ 0）+1 P（ 1）+ 0P（ 2 ）3P （ 3） 2 +1 +03 ；由（1） 得 EY2 P（ 0）+1P （ 1）+0 P（ 2） 3P（ 3）2 +1 +03 ； EXE Y， 甲车 间停 产比较合 理 17【分析】（ 1） 求 出 函数的 导 数 ，通过 切 线 方程棱 长 方 程即可 求 实 数 a， b 的 值；（ 2） 求 出 函数的 导 数 ，判断 函 数 的单调 性 ， 然后求 解 函 数的极 值 ， 然后求函数 f（x）在 上的最 大 值和最小 值 9【解答】 解 ：（ 1） 因 为 ， ， （ 1 分） 则 f（ 1） 1a， f（ 1
19、）2a ，函数 f（x ） 在点（1 ，f （1） 处 的切线方 程 为： y 2a（1 a） （x1）， （ 2 分）（直线 y bx+5 过（ 1， f（ 1） ） 点，则 f（1 ）b+5 2 a）由题意得 ， 即 a 2， b 1 （ 4 分）（2）由 （ 1）得 ，函数 f（ x） 的 定 义域为 （ 0， + ）， （ 5 分） ， f（x） 0 0x 2，f （x） 0 x2 ， 在（ 0， 2）上单 调 递 减，在 （ 2， + ） 上 单调递 增 （ 7 分 ）故 f（x ） 在 上单调 递 减 ， 在 2， e上单调 递 增 ， （ 9 分） f（x）在 上的最小值为 f（
20、 2） 3+ln2 （ 10 分） 又 ， ，且 f（x）在 上的最大值 为 （ 11 分） 综上，f（x ）在 上的最 大值为 2e+1，最 小 值 为 3+ln2 （ 12 分）101819【 分析 】 （ ）设 A 点 的横坐标为 c，代入 椭 圆 方程求得 y，即有 ，结 合a， b， c 的 关系， 以 及 离心率 公 式 ，解方 程 可 得 e；（）设 M（ 0， b） ， N（ 0， b）， P（ x0， y0）， 代 入 椭圆方 程 ， 求得 MP 的 方 程和 NP 的 方程，令 y 0， 可 得 R， Q 的 坐 标 ，由条 件 可 得 a， b 的 方程，解 方 程可 得 a，b ， 进而得到所 求 椭圆方程 【 解答 】 解 ：（ ）设 A 点的横坐 标为 c，代 入椭圆方 程 得 ，yb ， 解得 ，11 ，又 b2a 2 c2 ac，由 e 可得 e2+ e1 0， 解得 ；（）设 M（0，b ）， N（0， b ），P（x 0， y0）， 可得 b2x02+a2y02 a2b2，则直线 MP 的方程为 ， 令 y0 得 到 R 点的 横 坐标为 ， 同理可得 直 线 NP 的 方 程为 ， 令 y0 得 到 Q 点的横 坐标为 ， ，而 e ，可得 c26 ，b 22 ， 所以椭圆的 方程为 12
