1、- 1 -安平中学 2018-2019 学年第二学期第一次月考高二普通班理科数学试题一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的). 1. 自然数是整数,4 是自然数,所以 4 是整数以上三段论推理( )A正确 B推理形式不正确C两个“自然数”概念不一致 D “两个整数”概念不一致2. i 是虚数单位,则 的虚部是( )i1 iA i B i C D12 12 12 123. 若 f(x)sin cos x,则 f( )等于( )Acos Bsin Csin cos D2si n4. 周末,某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学
2、正在做四件事情,看书、写信、听音乐、玩游戏,下面是关于他们各自 所做事情的一些判断:甲不在看书,也不在写信;乙不在写信,也不在听音乐;如果甲不在听音乐,那么丁也不在看书;丙不在看书,也不写信.已知这些判断都是正确的,依据以上判断,请问乙同学正在做的事情是( )A. 玩游戏 B. 写信 C. 听音乐 D. 看书5. 观察下列各式: a b1, a2 b23, a3 b34, a4 b47, a5 b511,则a10 b10( )A28 B76 C123 D1996. 设函数 在区间 上单调递减,则实数 的取值范围是( )xxfln921)(1,aaA B C D2,1()3,()2,1( 3(7
3、.用数学归纳法证明( n1)( n2)( n3)( n n)2 n13(2n1)( nN *)时,从n k 到 n k1 时,左边需增乘的代数式是( )A. 2k1 B. 2(2 k1) C. D. 21k31k- 2 -8. 已知函数 , 的导函数为 ,则 ( )cos1xfffx2fA. B. C. D. 229.下面使用类比推理正确的是( )A. “若 a3 b3,则 a b”类比推出“若 a0 b0,则 a b”B. “loga(xy)log axlog ay”类比推出“sin( )sin sin ”C. “(a b)c ac bc”类比推出“( ) ”ccD. “(ab)n anbn
4、”类比推出“( a b)n an bn”10. 定义在 R上的函数 (fx, (f是其导数,且满足 ()()2fxf,(1)24ef,则不等式 )42xee (其中 e 为自然对数的底数)的解集为( )A ),( B ),1(0,( C ),0(),( D )1,(11.函数 ( 且 )的图象大致是( )lncosfxx2xA. B. C. D. 12. 已知函数 f(x) x(ln x ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( )A(,0) B(0, ) C(0,1) D(0,)12二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分).13. 已知在复平面内,复数 对应的点是
5、 ,则复数 的共轭复数 _z1,2Zzz- 3 -14. 现有一个关于平面图形的命题:如图,同一平面内有两个边长都是 a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .a24类比到空间,有两个棱长为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为_15. 计算 _12edx16.已知 ,若 ,使得 成立,则2,exfmg12,R12fxg实数 的取值范围是_m三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出相应的文字说明,证明过程或演算步骤).17.(本小题满分 10 分)(1)已知复数 z 在复平面内对应的点在第四象限,
6、| z|1,且 z 1,求 z;z (2)已知复数 z (15i) m3(2i)为纯虚数,求实数 m 的值5m21 2i18.(本小题满分 12 分)已知函数 ,曲线 在点 处的切线方程为xbaxef4)(2)(xfy)0(,f4xy(1)求 的值;ba,(2)求 的极大值.)(f19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) x3 ax24 x3( xR)(1)当 a2 时求 f(x)在点(1, f(1)处的切线方程;(2) 若函数 f(x)在区间(1,2)上为减函数,求实数 a 的取值范围20.(本小题满分 12 分)某个体户计划经销 A, B 两种商品,据调查统计,当投资额为 x(x0
7、)万元时,在经销A, B 商品中所获得的收益分别为 f(x)万元与 g(x)万元,其中 f(x) a(x1)2, g(x)6ln( x b)(a0, b0)已知投资额为零时收益为零- 4 -(1)求 a, b 的值;(2)如果该个体户准备投入 5 万元经销这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使他能获得最大收益21.(本小题满分 12 分)证明下列不等式:(1)当 时,求证: ;(2)设 , ,若 ,求证: .22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) ax2ln x,其中 aR.12(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)在(0,1上的最大值是1,求 a 的值高二普通班理科
8、数学答案1. A2. C 3. B 4. D5C6A7. B8. A 9.C10A 解析令 xxefg2)()(,则 0)2()() xfegx ,可 知函数)(xg在 R上单调递增,故当 1时, 41(e,即42)(xef,即 4)xxef11.D 且 是偶函数,排除 ,当 时, lncos(0)A0x,可得 ,令 ,作出 与 在fxx1fxsin0six1ysin- 5 -上图象,如图,可知两个函数有一个交点,就是函数有一个极值点,可排除 ;由02, B,可排除 ,故选 D.ln0fC12. B f(x) x(ln x ax), f ( x)ln x2 ax1,故 f ( x)在(0,)上
9、有两个不同的零点,令 f ( x)0,则 2a ,设 g(x) ,则 g( x) ,ln x 1x ln x 1x ln xx2 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,又当 x0 时, g(x),当 x时, g(x)0,而 g(x)max g(1)1,只需 00,从而函数 f(x)在(0,)上单调 递增;当 a0 时,令 f ( x)0,解得 x ,舍去 x 1a 1a此时, f(x)与 f ( x)的情况如下:x (0, )1a 1a( ,) 1af ( x) 0 f(x) f( )1a所以, f(x)的单调递增区间是(0, ); 1a单调递减区间是( ,) 1a(2)当 a0 时,由(1)得函数 f(x)在(0,1上的最大值为 f(1) a2令 1,得 a2,这与 a0 矛盾,舍去 a2a2当1 a0 时, 1,由(1)得函数 f(x)在(0,1上的最大值为 f(1) 1a a2令 1,得 a2,这与1 a0 矛盾,a2舍去 a2当 a1 时,0 1,由(1)得函数 f(x)在(0,1上的最大值为 f( ) 1a 1a令 f( )1,解得 a e,满足 a1 1a综上,当 f(x)在(0,1上的最大值是1 时, a e- 8 -
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