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福建省武平县第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理.doc

1、- 1 -武平一中 2018-2019学年第二学期半期考高二数学(理科)试题(考试时间:120 分钟 总分:150 分)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.注意事项:1. 答题前,考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚,并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码.2第卷每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选择其它答案标号,第卷用 0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答,答案无效.第卷(选择题 共 60分)一、选择题:本大题共 12小题,

2、每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。1若复数 为虚数单位)是纯虚数,则实数 的值为( )3i(,i2RaaA2 B4 C6 D62函数 在点 处的切线方程为( )1)(xef )0(,fA B C Dy2y1xy2xy3.函数 2()lnfxx的递增区间是( )A. 10,B. C.(,) D. ),1()0,和 )1,0(,(和4函数 的图象如右图所示,则导函数 的(fyxfy图象的大致形状是 ( )5计算 为( )dxe20)(cosA B C De-212e1-2e6用数学归纳法证明不等式 的过程中,从),(. *Nnnnxoyxoyxoyxoy )(f)(

3、f)(f)(f- 2 -到 时左边需增加的代数式是 ( )kn1A B C D221k21k1k7.已知函数 在 处取得极值 10,则 =( )3)(abxxf aA 或 B 或 C D4-4-3-48右下图是美丽的“勾股树” ,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图一是第 1代“勾股树” ,重复图一的作法,得到图二为第 2代“勾股树” ,以此类推,已知最大的正方形面积为 1,则第 代“勾股树”所有正方形的面积的和为( )nA B C Dn12n29.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)113 t (t124的单位:s, v的单位:m/s)行驶至

4、停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )A425ln5 B C D6ln2456ln24356ln4823510.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式 中“ ”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1,求得 ,类似上述过程,则 ( )x253A B3 C6 D213 2- 3 -11. 函数 在 的最大值为 2,则 的取值范围是( ))0(132)(12xefa 2,aA B ,ln1)(ln,C. D)0,( 12,12.已知 是定义在 上的增函数,

5、其导函数 满足 ,则下列fx),( )(xf 1)(22xf结论正确的是( )A.对于任意 , B. 对于任意 ,),0(0fx),0(0fC.当且仅当 D. 当且仅当1x, 1xx第卷(非选择题 共 90分)二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分)13.在复平面内,复数 21i对应的点的坐标为 14如图,在边长为 1的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落在阴影部分的概率为_.15.定义 A*B,B*C,C*D,D*B 依次对应如图所示的 4个图形:那么以下 4个图形中,可以表示 A*D的是 (填与图形对应的序号)16.任意 ,使得 成立,则 的取值范围是_.,1exln(0)xaa

6、- 4 -三、解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17. (本小题满分 10分) 设复数 (其中 ), aiz21Riz4-32()若 是实数,求 的值;21z()若 是纯虚数,求 21z18. (本小题满分 12分) 已知函数 ,其中 .bxaxf 231)( Ra,()若曲线 在点 处的切线方程为 ,求函数 的解析式.)(xfy2,P45y)(xf()当 时,讨论函数 的单调性.0a)(f19. (本小题满分 12分) 如图:在三棱锥 中, 是直角三角ABCPABC,面形, ,点 分别为 的中,45,2,90 BCAFED、 、点()求证: ;PDEF面()求二面角

7、 的余弦值B20 .(本小题满分 12分)某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时,发现以下三个式子均是正确的: ; ;123234345()请从以上三个式子中任选一个,根据验证其正确性(注意不能近似计算);,)42.1,(,)74.,( ,).,(5()请将此规律推广至一般情形,并证明之- 5 -21. (本小题满分 12分)已知函数 ,()()xfaeRln(xg()讨论函数 的零点个数;()yfx() ,不等式 恒成立,求 的取值范围1,x()xfgea22.(本小题满分 12分)已知函数 0,2,sinco)(xxf()求证: ;0()若 对 恒成立,求 的最大值与 的最小值.

8、bxasi),(ab- 6 -高二数学(理科)答案1、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B C D A B D C C A D B2、填空题13. 14. 15.(2) 16. ),(31210,e三、解答题:共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17.(本小题满分 10分)解:() z1 z25( a4) i是实数, a4, z124 i, z1z2(24 i)(34 i)224 i;.5 分() 是纯虚数,25)83()6(2 aia ,iza3,1故 .10 分2549118. (本小题满分 12分)解() .1)()(2 xaxf由

9、导数的几何意义得 ,于是 .5f3由切点 在直线 上可知 .)2(,fp4xyb所以函数 的解析式为 .5分x42)(3xf() .6分)1(1)(2 axaf 当 时, ,函数 在区间 及 上为增函数,在区间 上为10a)(f,( )1,(a减函数;8 分当 时,函数 在区间 上为增函数;10 分)(xf),(- 7 -当 时, ,函数 在区间 及 上为增函数,在区间 上为减1a)(xf)1,(a),( )1,a(函数.12 分19. (本小题满分 12分)()证明:连接 BD、在 ABC中, B=90 AB=BC,点 D为 AC的中点, BD AC E、 F分别为 AB、 BC的中点, E

10、F AC,,又 PB面 ABC,EF 平面 ABC,PB ,BEFBDP平面 PBD6分() PB=BC=245PA如图建立空间直角坐标系,则 E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则=(-1,2,0), =(-1,0,2)EC设平面 PEC的一个法向量为 =( x, y, z),n则 =0, =0nP即 20,xyxz令 x=2,得 y=1,z=1 =(2,1,1),由已知可得,向量 =(2,0,0)为平面 PBC 的法向量nBAcos= = BA|n63二面角 E-PC-B的余弦值为 12 分20 (本小题满分 12分)解:()验证式成立: 82.14.37又5分()一般结

11、论为:若 ,则 ,证明如下:*Nnnn12要证: n12只需证: - 8 -即证:22)1()(nn也就是证: 4即证:只需证: 12)(nn即证: ,显然成立10故 .212 分21. (本小题满分 12分)解:(1) Rxeaf,)(当 时, 在 上单调递减,且 ,0a)(,0)(ff 01)(,01)(feafa有且只有一个零点; )(xf当 时,令 得 )(/xfaln由 得 的单调递增区间为 ; ,0)(/xf )l,(由 得 的单调递减区间为 /)(xf 的最小值为)(xf)1(lnllnaa当 即 时 无零点01lnae)(xf当 即 时 有一个零点)(当 即 时 且 , 有两个

12、零lea,01)(f )(,xf)(xf点6 分() , xgxfx)(),1则 ,即 aln2la设 ,则问题转化为 , 2)(xhmax2)ln(由 ,令 3/ln1exh则,0)/当 单调递增,)(,/e(, 单调递减(x,- 9 -当 时,函数 有极大值,即最大值为 ex)(xhe21 12分a2122.(本小题满分 12分)解:()因为 xxxf sinco)sin(co)( 当 ,从而 在 单调递增,0,2xf0,2所以 4分)(ff()令 则),(,sinxg,由()知,2co)(x 0)(xg所以函数 在 单调递增,故g)0,(2)(minga所以 的最大值 6分a因为 等价于

13、bxsin0sinbx令 则),2(,i)(h bxhcos((1)当 时, 对任意 恒成立,不符合题意;0b)0,x(2)当 时,因为对任意 , ,所以 在 单,2(0cos(bxh)(xh)0,2调递减,所以 对任意 恒成立,符合题意;0)(hx)0,x(3)当 时,构造 ,则10bbcossin(x所以 在 单调递增,又因为)(),2 01)()2, bb,所以存在唯一零点 ,使得 ,当 , ,)0,(0x0(x,20x)(在 单调递减,当 , , 在 在单调递增)(xh),20,)(h,所以 ,不符合题意,综上, 的最小值为 111分(hb所以 对 恒成立, 的最大值为 , 的最小值为 1.12bxasin)0,2(a2b分- 10 -

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