1、- 1 -武平一中 2018-2019学年第二学期半期考高二数学（理科）试题（考试时间：120 分钟 总分：150 分）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2第卷每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第卷用 0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.第卷（选择题 共 60分）一、选择题：本大题共 12小题，
2、每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1若复数 为虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为（ ）3i(,i2RaaA2 B4 C6 D62函数 在点 处的切线方程为（ ）1)(xef )0(,fA B C Dy2y1xy2xy3.函数 2()lnfxx的递增区间是（ ）A. 10,B. C.(,) D. ),1()0,和 )1,0(,(和4函数 的图象如右图所示，则导函数 的(fyxfy图象的大致形状是 ( )5计算 为( )dxe20)(cosA B C De-212e1-2e6用数学归纳法证明不等式 的过程中，从),(. *Nnnnxoyxoyxoyxoy )(f)(
3、f)(f)(f- 2 -到 时左边需增加的代数式是 ( )kn1A B C D221k21k1k7.已知函数 在 处取得极值 10，则 =（ ）3)(abxxf aA 或 B 或 C D4-4-3-48右下图是美丽的“勾股树” ，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图一是第 1代“勾股树” ，重复图一的作法，得到图二为第 2代“勾股树” ，以此类推，已知最大的正方形面积为 1，则第 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）nA B C Dn12n29.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)113 t (t124的单位：s， v的单位：m/s)行驶至
4、停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（ ）A425ln5 B C D6ln2456ln24356ln4823510.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式 中“ ”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1，求得 ，类似上述过程，则 （ ）x253A B3 C6 D213 2- 3 -11. 函数 在 的最大值为 2，则 的取值范围是（ ）)0(132)(12xefa 2,aA B ,ln1)(ln，C. D)0,( 12,12.已知 是定义在 上的增函数，
5、其导函数 满足 ，则下列fx),( )(xf 1)(22xf结论正确的是（ ）A.对于任意 ， B. 对于任意 ，),0(0fx),0(0fC.当且仅当 D. 当且仅当1x， 1xx第卷（非选择题 共 90分）二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）13.在复平面内，复数 21i对应的点的坐标为 14如图，在边长为 1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_.15.定义 A*B，B*C，C*D，D*B 依次对应如图所示的 4个图形：那么以下 4个图形中，可以表示 A*D的是 （填与图形对应的序号）16.任意 ，使得 成立，则 的取值范围是_.,1exln(0)xaa
6、- 4 -三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17. （本小题满分 10分） 设复数 （其中 ）， aiz21Riz4-32（）若 是实数，求 的值；21z（）若 是纯虚数，求 21z18. （本小题满分 12分） 已知函数 ，其中 .bxaxf 231)( Ra,（）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求函数 的解析式.)(xfy2,P45y)(xf（）当 时，讨论函数 的单调性.0a)(f19. （本小题满分 12分） 如图：在三棱锥 中， 是直角三角ABCPABC,面形， ，点 分别为 的中,45,2,90 BCAFED、 、点（）求证： ；PDEF面（）求二面角
7、 的余弦值B20 .（本小题满分 12分）某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的： ； ；123234345（）请从以上三个式子中任选一个，根据验证其正确性（注意不能近似计算）；，)42.1,(，)74.,( ，).,(5（）请将此规律推广至一般情形，并证明之- 5 -21. （本小题满分 12分）已知函数 ，()()xfaeRln(xg（）讨论函数 的零点个数；()yfx（） ，不等式 恒成立，求 的取值范围1,x()xfgea22.（本小题满分 12分）已知函数 0,2,sinco)(xxf（）求证： ；0（）若 对 恒成立，求 的最大值与 的最小值.
8、bxasi),(ab- 6 -高二数学（理科）答案1、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B C D A B D C C A D B2、填空题13. 14. 15.（2） 16. ),(31210,e三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。17.（本小题满分 10分）解：（） z1 z25（ a4） i是实数， a4， z124 i， z1z2（24 i）（34 i）224 i；.5 分（） 是纯虚数，25)83()6(2 aia ，iza3,1故 .10 分2549118. （本小题满分 12分）解（） .1)()(2 xaxf由
9、导数的几何意义得 ，于是 .5f3由切点 在直线 上可知 .)2(,fp4xyb所以函数 的解析式为 .5分x42)(3xf（） .6分)1(1)(2 axaf 当 时， ,函数 在区间 及 上为增函数，在区间 上为10a)(f,（ )1,(a减函数;8 分当 时,函数 在区间 上为增函数；10 分)(xf),(- 7 -当 时， ，函数 在区间 及 上为增函数，在区间 上为减1a)(xf)1,(a),（ )1,a（函数.12 分19. （本小题满分 12分）（）证明：连接 BD、在 ABC中， B=90 AB=BC，点 D为 AC的中点， BD AC E、 F分别为 AB、 BC的中点， E
10、F AC，,又 PB面 ABC，EF 平面 ABC,PB ,BEFBDP平面 PBD6分（） PB=BC=245PA如图建立空间直角坐标系，则 E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则=(-1,2,0), =(-1,0,2)EC设平面 PEC的一个法向量为 =（ x， y， z），n则 =0， =0nP即 20,xyxz令 x=2,得 y=1,z=1 =(2,1,1),由已知可得，向量 =(2,0,0)为平面 PBC 的法向量nBAcos= = BA|n63二面角 E-PC-B的余弦值为 12 分20 （本小题满分 12分）解：（）验证式成立： 82.14.37又5分（）一般结
11、论为：若 ，则 ，证明如下：*Nnnn12要证： n12只需证： - 8 -即证：22)1()(nn也就是证： 4即证：只需证： 12)(nn即证： ，显然成立10故 .212 分21. （本小题满分 12分）解：（1） Rxeaf,)(当 时， 在 上单调递减，且 ，0a)(,0)(ff 01)(,01)(feafa有且只有一个零点； )(xf当 时，令 得 )(/xfaln由 得 的单调递增区间为 ； ,0)(/xf )l,(由 得 的单调递减区间为 /)(xf 的最小值为)(xf)1(lnllnaa当 即 时 无零点01lnae)(xf当 即 时 有一个零点)(当 即 时 且 ， 有两个
12、零lea,01)(f )(,xf)(xf点6 分（） ， xgxfx)(),1则 ，即 aln2la设 ，则问题转化为 ， 2)(xhmax2)ln(由 ，令 3/ln1exh则,0)/当 单调递增,)(,/e(， 单调递减(x，- 9 -当 时，函数 有极大值，即最大值为 ex)(xhe21 12分a2122.（本小题满分 12分）解：（）因为 xxxf sinco)sin(co)( 当 ，从而 在 单调递增，0,2xf0,2所以 4分)(ff（）令 则),(,sinxg，由（）知，2co)(x 0)(xg所以函数 在 单调递增，故g)0,(2)(minga所以 的最大值 6分a因为 等价于
13、bxsin0sinbx令 则),2(,i)(h bxhcos(（1）当 时， 对任意 恒成立，不符合题意；0b)0,x（2）当 时，因为对任意 ， ，所以 在 单,2(0cos(bxh)(xh)0,2调递减，所以 对任意 恒成立，符合题意；0)(hx)0,x（3）当 时，构造 ，则10bbcossin(x所以 在 单调递增，又因为)(),2 01)()2, bb，所以存在唯一零点 ，使得 ，当 ， ，)0,(0x0(x,20x)(在 单调递减，当 ， ， 在 在单调递增)(xh),20，)(h，所以 ，不符合题意，综上， 的最小值为 111分(hb所以 对 恒成立， 的最大值为 ， 的最小值为 1.12bxasin)0,2(a2b分- 10 -
