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【学历类职业资格】2014年浙江专升本(高等数学)真题试卷及答案解析.doc

1、2014年浙江专升本(高等数学)真题试卷及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。(分数:2.00)_2.当 xx 0 时,若 f(x)存在极限,g(x)不存在极限,则下列结论正确的是 ( )(分数:2.00)A.当 xx 0 时,f(x)g(x)必定存在极限B.当 xx 0 时,f(x)g(x)必定不存在极限C.当 xx 0 时,f(x)g(x)若存在极限,则此极限必为零D.当 xx 0 时,f(x)g(x)可能存在极限,也可能不存在极限3.曲线 y=x 3 3x 上切线平行于 x轴

2、的点是 ( )(分数:2.00)A.(0,0)B.(1,2)C.(一 1,2)D.(0,2)4.函数 f(x)=(x 2 x一 2)x 3 一 x的不可导点个数是 ( )(分数:2.00)A.3B.2C.1D.05.若 f(x= (分数:2.00)A.sinxB.1cosxC.sinxD.06.微分方程 y (分数:2.00)A.arctanxCB.(arctanxC)C.arctanxCD.arctanxC二、填空题(总题数:10,分数:20.00)7.设 f(x)在(,)上连续,且 f(2)=3,则 = 1 (分数:2.00)填空项 1:_8.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:

3、_9.曲线 y=xln(e (分数:2.00)填空项 1:_10.设 y=ln (分数:2.00)填空项 1:_11.曲线 y= (分数:2.00)填空项 1:_12.由曲线 y=x和 y=x 2 所围成的平面图形的面积是 1(分数:2.00)填空项 1:_13.将函数 f(x)=sin 2 x展开成 x的幂级数为 1(分数:2.00)填空项 1:_14.设(ab).c=1,则(a+b)(b+c).(c+a)= 1(分数:2.00)填空项 1:_15.微分方程(1+x)ydx+(1 一 y)xdy=0的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_16.设二阶常系数线性齐次微分方程 y+ay+by

4、=0 的通解为 y=C 1 e x +C 1 e 2x ,那么非齐次yayby=1 满足的条件 y(0)=2,y(0)=1 的解为 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。(分数:2.00)_18.求极限 (分数:2.00)_19.确定函数 f(x)= (分数:2.00)_20.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定,求 (分数:2.00)_21.在曲线 y=x 2 一 x上求一点 P,使点 P到定点 A(0,1)的距离最近(分数:2.00)_22.求 (分数:2.00)_23.设 f(sin 2 x)=cos2x+t

5、an 2 x,f(0)=0,当 0x1 时,求 f(x)(分数:2.00)_24.根据 a的取值情况,讨论级数 (分数:2.00)_25.求过点 M(1,2,一 1)且与直线 (分数:2.00)_四、综合题(总题数:3,分数:6.00)26.设函数 f(x)= (分数:2.00)_27.设 (分数:2.00)_28.已知 (分数:2.00)_2014年浙江专升本(高等数学)真题试卷答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。(分数:2.00)_解析:2.当 xx 0 时,若 f(x)存在极

6、限,g(x)不存在极限,则下列结论正确的是 ( )(分数:2.00)A.当 xx 0 时,f(x)g(x)必定存在极限B.当 xx 0 时,f(x)g(x)必定不存在极限C.当 xx 0 时,f(x)g(x)若存在极限,则此极限必为零D.当 xx 0 时,f(x)g(x)可能存在极限,也可能不存在极限 解析:解析:极限运算法则,可以举反例,若 f(x)=x 2 ,g(x)=lnx,则 f(x)= x 2 =0, g(x)= lnx,但 f(x).g(x)= x 2 lnx=0;若 f(x)=2,g(x)=sin =2, 不存在,但 f(x).g(x)= 3.曲线 y=x 3 3x 上切线平行于

7、 x轴的点是 ( )(分数:2.00)A.(0,0)B.(1,2)C.(一 1,2) D.(0,2)解析:解析:由导数几何意义可知,k 切 =y(x 0 )=3 4.函数 f(x)=(x 2 x一 2)x 3 一 x的不可导点个数是 ( )(分数:2.00)A.3B.2 C.1D.0解析:解析:导数定义, f(0)= 所以 f (0)= =2, f (0)= =2 所以函数f(x)在 x=0处不可导;同理, f(1)= 所以 f (1)= 一(x 2 一 x2)x(x+1)4f (1)= (x 2 一 x2)x(x+1)4,所以函数 f(x)在 x=1处不可导; f(1)= = 5.若 f(x

8、= (分数:2.00)A.sinx B.1cosxC.sinxD.0解析:解析:变限函数求导数,因为 sin(t一 x)dt sinudu,所以 sin(tx)dt=6.微分方程 y (分数:2.00)A.arctanxCB.(arctanxC) C.arctanxCD.arctanxC解析:解析:一阶线性微分方程,由通解公式可得 y=e p(x)dx Q(x).e p(x)dx dx+C = .e lnx dx+C = 二、填空题(总题数:10,分数:20.00)7.设 f(x)在(,)上连续,且 f(2)=3,则 = 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:9)解析:解

9、析:利用连续性求极限,8.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:求复合函数的表达式,ff(x)= ff(x)=9.曲线 y=xln(e (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=x+*)解析:解析:计算斜渐近线,设直线 y=ax+b为所求曲线的渐近线,则 a= =lne=1, b= 所以,斜渐近线为 y=x+10.设 y=ln (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:-1)解析:解析:求导函数,因为 y=ln ln(1一 x)一 ln(1+x) 所以 y=11.曲线 y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正

10、确答案:正确答案:(*))解析:解析:求曲线的拐点,当 x0 时,y= 令 y=0,得 x= ,所以拐点为(12.由曲线 y=x和 y=x 2 所围成的平面图形的面积是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:据题意画图,求所围平面图形的面积 S= (xx 2 )dx=( x 2 一 13.将函数 f(x)=sin 2 x展开成 x的幂级数为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:麦克劳林展式,f(x)=sin 2 x = cos2x,又因 cosx= x 2n ,x(一,+),所以 cos2x= (2x) 2n 即 f(x

11、)= 14.设(ab).c=1,则(a+b)(b+c).(c+a)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:混合积,向量积运算法则,在混合积计算中,如有两向量相同,则混合积为 0因此, (a+b)(b+c).(c+a)=a(b+c)+b(b+c) =ab+ac+bb+bc.(c+a) =ab+ac+bc.(c+a) =(ab).c+(ab).a+(ac).c+(ac).a+(bc).c+(bc).a =(ab).c(bc).a=2(ab).c=215.微分方程(1+x)ydx+(1 一 y)xdy=0的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:

12、正确答案:lnxy+xy+C=0,C 为任意常数)解析:解析:可分离变量的微分方程,(1+x)ydx+(1 一 y)xdx=016.设二阶常系数线性齐次微分方程 y+ay+by=0 的通解为 y=C 1 e x +C 1 e 2x ,那么非齐次yayby=1 满足的条件 y(0)=2,y(0)=1 的解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=4e x )解析:解析:求二阶线性常系数非齐次方程的通解,特征方程为 r 2 +ar+b=0,r 1 =1,r 2 =2 即(r1)(r2)=0,r 2 3r+2=0,故 a=3,b=2 所以原微分方程为 y一 3y+2y=1,由

13、于 =0 不是特征方程的根,取 k=0,因此,设特解 y * =A,则(y * )=0,(y * )=0,代入可得 A= ,所以 y * = ,所以 y一 3y+2y=1 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x + ,再由 y(0)=2,y(0)=1,可得C 1 =4,C 2 = ,故满足初始条件的特解为 y=4e x 三、解答题(总题数:9,分数:18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。(分数:2.00)_解析:18.求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:19.确定函数 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)间断点为 x=0和

14、 x=1 =, 故 x=0是第二类无穷间断点; (2) =0)解析:20.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:21.在曲线 y=x 2 一 x上求一点 P,使点 P到定点 A(0,1)的距离最近(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设点 P的坐标是(x,x 2 一 x),则 PA= 令 f(x)=x 2 +(x 2 一 x一 1) 2 , 由 f(x)=2(x 一 1) 2 (2x+1)=0,得 驻点 x=1,x= 划分定义域并列表如下: 由表可知,函数 f(x)在 x= 处取极小值,且极小值为 f( )结合 f(x)的单调性可知

15、此极小值且为最小值 ,故点 P的坐标为( ),且最近距离为 所以点 P( )解析:22.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: =2cot )解析:23.设 f(sin 2 x)=cos2x+tan 2 x,f(0)=0,当 0x1 时,求 f(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f(sin 2 x)=cos2x+tan 2 x=12sin 2 x+ , 所以 f(x)=12x+ (0x1),f(0)=0 所以 f(x)=(12x)dx+ dx=xx 2 +(1+ )dx =x 2 d(1一 x)=x 2 ln1x+C 再由 f(0)=0可得 C=0 因此 f(x)= )解析

16、:24.根据 a的取值情况,讨论级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将级数的一般项进行分子有理化,得到 u n = 所以有 .u n =2 (1)当 a 时, 由于 收敛, 因此级数 收敛; (2)当 a 时, 由于 发散, 因此级数 )解析:25.求过点 M(1,2,一 1)且与直线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意,得 已知直线的点向式方程为 )解析:四、综合题(总题数:3,分数:6.00)26.设函数 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当x1 时, x 2n =0,所以 f(x)= =ax 2 +bx; 当x1 时,f(x)= ; 当 x=

17、1时,f1)= ;当 x=1 时,f(1)= ,所以 f(x)= 又因函数 f(x)处处连续,所以 (ax 2 +bx)=a+b=f(1), =1=f(1),因此 =a+b=1,即 a+b=1 同理, =1=f(1), (ax 2 +bx)=ab=f(1),因此 )解析:27.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为函数 f(x)连续且具有一阶导数,故由 =1,得 f(0)=0f(0)= =1 由 f(x)的泰勒公式,得 f(x)=f(0)+f(0)x+ )解析:28.已知 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 u= ,则 e t =u 2 +1,e t dt=2udu du =2arctanu =2(arctan = 2arctan 所以 arctan )解析:

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