1、2014年浙江专升本（高等数学）真题试卷及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.当 xx 0 时，若 f(x)存在极限，g(x)不存在极限，则下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.当 xx 0 时，f(x)g(x)必定存在极限B.当 xx 0 时，f(x)g(x)必定不存在极限C.当 xx 0 时，f(x)g(x)若存在极限，则此极限必为零D.当 xx 0 时，f(x)g(x)可能存在极限，也可能不存在极限3.曲线 y=x 3 3x 上切线平行于 x轴
2、的点是 ( )（分数：2.00）A.(0，0)B.(1，2)C.(一 1，2)D.(0，2)4.函数 f(x)=(x 2 x一 2)x 3 一 x的不可导点个数是 ( )（分数：2.00）A.3B.2C.1D.05.若 f(x= （分数：2.00）A.sinxB.1cosxC.sinxD.06.微分方程 y （分数：2.00）A.arctanxCB.(arctanxC)C.arctanxCD.arctanxC二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设 f(x)在(，)上连续，且 f(2)=3，则 = 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:
3、_9.曲线 y=xln(e （分数：2.00）填空项 1:_10.设 y=ln （分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_12.由曲线 y=x和 y=x 2 所围成的平面图形的面积是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.将函数 f(x)=sin 2 x展开成 x的幂级数为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设(ab).c=1，则(a+b)(b+c).(c+a)= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程(1+x)ydx+(1 一 y)xdy=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设二阶常系数线性齐次微分方程 y+ay+by
4、=0 的通解为 y=C 1 e x +C 1 e 2x ，那么非齐次yayby=1 满足的条件 y(0)=2，y(0)=1 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_18.求极限 （分数：2.00）_19.确定函数 f(x)= （分数：2.00）_20.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求 （分数：2.00）_21.在曲线 y=x 2 一 x上求一点 P，使点 P到定点 A(0，1)的距离最近（分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）_23.设 f(sin 2 x)=cos2x+t
5、an 2 x，f(0)=0，当 0x1 时，求 f(x)（分数：2.00）_24.根据 a的取值情况，讨论级数 （分数：2.00）_25.求过点 M(1，2，一 1)且与直线 （分数：2.00）_四、综合题(总题数：3，分数：6.00)26.设函数 f(x)= （分数：2.00）_27.设 （分数：2.00）_28.已知 （分数：2.00）_2014年浙江专升本（高等数学）真题试卷答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.当 xx 0 时，若 f(x)存在极
6、限，g(x)不存在极限，则下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.当 xx 0 时，f(x)g(x)必定存在极限B.当 xx 0 时，f(x)g(x)必定不存在极限C.当 xx 0 时，f(x)g(x)若存在极限，则此极限必为零D.当 xx 0 时，f(x)g(x)可能存在极限，也可能不存在极限 解析：解析：极限运算法则，可以举反例，若 f(x)=x 2 ，g(x)=lnx，则 f(x)= x 2 =0， g(x)= lnx，但 f(x).g(x)= x 2 lnx=0；若 f(x)=2，g(x)=sin =2， 不存在，但 f(x).g(x)= 3.曲线 y=x 3 3x 上切线平行于
7、 x轴的点是 ( )（分数：2.00）A.(0，0)B.(1，2)C.(一 1，2) D.(0，2)解析：解析：由导数几何意义可知，k 切 =y(x 0 )=3 4.函数 f(x)=(x 2 x一 2)x 3 一 x的不可导点个数是 ( )（分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：导数定义， f(0)= 所以 f (0)= =2， f (0)= =2 所以函数f(x)在 x=0处不可导；同理， f(1)= 所以 f (1)= 一(x 2 一 x2)x(x+1)4f (1)= (x 2 一 x2)x(x+1)4，所以函数 f(x)在 x=1处不可导； f(1)= = 5.若 f(x
8、= （分数：2.00）A.sinx B.1cosxC.sinxD.0解析：解析：变限函数求导数，因为 sin(t一 x)dt sinudu，所以 sin(tx)dt=6.微分方程 y （分数：2.00）A.arctanxCB.(arctanxC) C.arctanxCD.arctanxC解析：解析：一阶线性微分方程，由通解公式可得 y=e p(x)dx Q(x).e p(x)dx dx+C = .e lnx dx+C = 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.设 f(x)在(，)上连续，且 f(2)=3，则 = 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：9）解析：解
9、析：利用连续性求极限，8.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：求复合函数的表达式，ff(x)= ff(x)=9.曲线 y=xln(e （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x+*）解析：解析：计算斜渐近线，设直线 y=ax+b为所求曲线的渐近线，则 a= =lne=1， b= 所以，斜渐近线为 y=x+10.设 y=ln （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：求导函数，因为 y=ln ln(1一 x)一 ln(1+x) 所以 y=11.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正
10、确答案：正确答案：(*)）解析：解析：求曲线的拐点，当 x0 时，y= 令 y=0，得 x= ，所以拐点为(12.由曲线 y=x和 y=x 2 所围成的平面图形的面积是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：据题意画图，求所围平面图形的面积 S= (xx 2 )dx=( x 2 一 13.将函数 f(x)=sin 2 x展开成 x的幂级数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：麦克劳林展式，f(x)=sin 2 x = cos2x，又因 cosx= x 2n ，x(一，+)，所以 cos2x= (2x) 2n 即 f(x
11、)= 14.设(ab).c=1，则(a+b)(b+c).(c+a)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：混合积，向量积运算法则，在混合积计算中，如有两向量相同，则混合积为 0因此， (a+b)(b+c).(c+a)=a(b+c)+b(b+c) =ab+ac+bb+bc.(c+a) =ab+ac+bc.(c+a) =(ab).c+(ab).a+(ac).c+(ac).a+(bc).c+(bc).a =(ab).c(bc).a=2(ab).c=215.微分方程(1+x)ydx+(1 一 y)xdy=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
12、正确答案：lnxy+xy+C=0，C 为任意常数）解析：解析：可分离变量的微分方程，(1+x)ydx+(1 一 y)xdx=016.设二阶常系数线性齐次微分方程 y+ay+by=0 的通解为 y=C 1 e x +C 1 e 2x ，那么非齐次yayby=1 满足的条件 y(0)=2，y(0)=1 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=4e x ）解析：解析：求二阶线性常系数非齐次方程的通解，特征方程为 r 2 +ar+b=0，r 1 =1，r 2 =2 即(r1)(r2)=0，r 2 3r+2=0，故 a=3，b=2 所以原微分方程为 y一 3y+2y=1，由
13、于 =0 不是特征方程的根，取 k=0，因此，设特解 y * =A，则(y * )=0，(y * )=0，代入可得 A= ，所以 y * = ，所以 y一 3y+2y=1 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x + ，再由 y(0)=2，y(0)=1，可得C 1 =4，C 2 = ，故满足初始条件的特解为 y=4e x 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)17.解答题解答时应写出推理、演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.确定函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)间断点为 x=0和
14、 x=1 =， 故 x=0是第二类无穷间断点； (2) =0)解析：20.设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.在曲线 y=x 2 一 x上求一点 P，使点 P到定点 A(0，1)的距离最近（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 P的坐标是(x，x 2 一 x)，则 PA= 令 f(x)=x 2 +(x 2 一 x一 1) 2 ， 由 f(x)=2(x 一 1) 2 (2x+1)=0，得 驻点 x=1，x= 划分定义域并列表如下： 由表可知，函数 f(x)在 x= 处取极小值，且极小值为 f( )结合 f(x)的单调性可知
15、此极小值且为最小值 ，故点 P的坐标为( )，且最近距离为 所以点 P( )解析：22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =2cot )解析：23.设 f(sin 2 x)=cos2x+tan 2 x，f(0)=0，当 0x1 时，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(sin 2 x)=cos2x+tan 2 x=12sin 2 x+ ， 所以 f(x)=12x+ (0x1)，f(0)=0 所以 f(x)=(12x)dx+ dx=xx 2 +(1+ )dx =x 2 d(1一 x)=x 2 ln1x+C 再由 f(0)=0可得 C=0 因此 f(x)= )解析
16、：24.根据 a的取值情况，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将级数的一般项进行分子有理化，得到 u n = 所以有 .u n =2 (1)当 a 时， 由于 收敛， 因此级数 收敛； (2)当 a 时， 由于 发散， 因此级数 )解析：25.求过点 M(1，2，一 1)且与直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，得 已知直线的点向式方程为 )解析：四、综合题(总题数：3，分数：6.00)26.设函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当x1 时， x 2n =0，所以 f(x)= =ax 2 +bx； 当x1 时，f(x)= ； 当 x=
17、1时，f1)= ；当 x=1 时，f(1)= ，所以 f(x)= 又因函数 f(x)处处连续，所以 (ax 2 +bx)=a+b=f(1)， =1=f(1)，因此 =a+b=1，即 a+b=1 同理， =1=f(1)， (ax 2 +bx)=ab=f(1)，因此 )解析：27.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为函数 f(x)连续且具有一阶导数，故由 =1，得 f(0)=0f(0)= =1 由 f(x)的泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ )解析：28.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 u= ，则 e t =u 2 +1，e t dt=2udu du =2arctanu =2(arctan = 2arctan 所以 arctan )解析：
