2016年四川省南充市高考一模数学.docx

1、2016年四川省南充市高考一模数学 一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项在，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 A=x|1 x 4，集合 B=x|(x-3)(x+1) 0，则 A B=( ) A.x|-1 x 4 B.x|-1 x 1 C.x|1 x 3 D.x|-1 x 3 解析：集合 A=x|1 x 4， 集合 B=x|(x-3)(x+1) 0=x|-1 x 3， A B=x|1 x 3. 答案： C. 2. 设 i是虚数单位，则复数 211ii=( ) A.1+i B.1-i C.-1-i D.-1+i 解析：复数 2 2111

2、1 1iiii i i =i(1+i)=-1+i. 答案： D. 3. 已知命题 P： x R， ex-x-1 0，则 P是 ( ) A. x R， ex-x-1 0 B. x0 R， 0xe -x0-1 0 C. x0 R， 0xe -x0-1 0 D. x R， ex-x-1 0 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 P： x R， ex-x-1 0，则 P是 x0 R， 0xe -x0-1 0. 答案： B. 4. 下列函数中，满足“ f(xy)=f(x)+f(y)”的单调递减函数是 ( ) A.f(x)=lnx B.f(x)=-x3 C.f(x)=log12x D.f(x)=

3、3-x 解析：对数函数符合条件 f(xy)=f(x)+f(y)，证明如下： 设 f(x)=logax，其中， x 0， a 0且 a 1， 则 f(xy)=logaxy=logax+logay=f(x)+f(y)， 即对数函数 f(x)=logax，符合条件 f(xy)=f(x)+f(y)， 同时， f(x)单调递减，则 a (0， 1)， 综合以上分析，对数函数 f(x)=log12x符合题意， 答案： C. 5. 如图的程序图的算法思路中是一种古老而有效的算法 -辗转相除法，执行改程序框图，若输入的 m， n的值分别为 30， 42，则输出的 m=( ) A.0 B.2 C.3 D.6 解

4、析：模拟程序框图的运行过程，如下； m=30， n=42， 30 42=0，余数是 30， r=30， m=42， n=30， 不满足条件 r=0， 42 30=1，余数是 12， r=12， m=30， n=12， 不满足条件 r=0， 30 12=2，余数是 6， r=6， m=12， n=6， 不满足条件 r=0， 12 6=2，余数是 0， r=0， m=6， n=0， 满足条件 r=0，退出循环，输出 m的值为 6. 答案： D. 6. 为了得到函数 y=12sin4x- 32cos4x的图象，可以将函数 y=sin4x的图象 ( ) A.向右平移12个单位 B.向左平移12个单位

5、C.向右平移3个单位 D.向左平移3个单位 解析：函数 y=12sin4x- 32cos4x=sin(4x-3)， sin(4x-3)=sin4(x-12)， 为了得到函数 y=12sin4x- 32cos4x的图象，可以将函数 y=sin4x的图象向右平移12个单位 . 答案： A. 7. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 ( ) A.45 B.36 C.30 D.6 解析：由三视图可知该几何体为长方体 ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥 B1-A1BC1剩下的几何体 . V=4 3 3-13 12 4 3 3=30. 答案： C. 8. 春节前，某市一过江大桥上挂了两串

6、彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 6秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 6秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 3秒的概率是 ( ) A.78B.34C.12D.14解析：设两串彩灯分别在通电后 x秒， y秒第一次闪亮， 则所有的可能情况对应的平面区域为正方形 OABC， 作出直线 x-y=3和直线 y-x=3，则两灯在第一次闪亮时刻不超过 3秒对应的平面区域为六边形 ODEBGF， P= 213 6 3 2 323 6 4SS 六 形正 方 形边 . 答案 ： B. 9. 已知 F是抛物线 y2=4x的焦点，点 A， B在该抛物线上且

7、位于 x轴的两侧， OA OB(其中 O为坐标原点 )，则 AOB与 AOF面积之和的最小值是 ( ) A.16 B.8 3 C.8 5 D.18 解析：设直线 AB 的方程为： x=ty+m， 点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 与 x轴的交点为 M(m， 0)， x=ty+m代入 y2=4x，可得 y2-4ty-4m=0， 根据韦达定理有 y1 y2=-4m， OA OB， OAOB =0， x1 x2+y1 y2=0，从而 (14y1 14y2)2+y1 y2=0， 点 A， B位于 x轴的两侧， y1 y2=-16，故 m=4. 不妨令点 A在 x轴上方，则 y1

8、 0， 又 F(1， 0)， S ABO+S AFO=12 4 (y1-y2)+12 y1=52y1+132y 8 5 ， 当且仅当 52y1=132y ，即 y1=855 时，取“ =”号， ABO与 AFO面积之和的最小值是 8 5 . 答案： C. 10. 函数 f (x)是奇函数 f(x)(x R)的导函数， f(1)=0，当 x 0 时， xf (x)+f(x) 0，则使得 f(x) 0成立的 x的取值范围是 ( ) A.(-， -1) (0， 1) B.(-1， 0) (1， + ) C.(-， -1) (1， + ) D.(-1， 0) (0， 1) 解析：设 g(x)=xf(x

9、)，则 g (x)=xf (x)+f(x)， 当 x 0时， xf (x)+f(x) 0， 则当 x 0时， g (x) 0， 函数 g(x)=xf(x)在 (-， 0)上为增函数， 函数 f(x)是奇函数， g(-x)=(-x)f(-x)=(-x)-f(x)=xf(x)=g(x)， 函数 g(x)为定义域上的偶函数， 由 f(1)=0得， g(1)=0，函数 g(x)的图象大致如右图： 不等式 f(x) 0 gxx 0， 00xgx或 00xgx， 由函数的图象得， -1 x 0或 x 1， 使得 f(x) 0成立的 x的取值范围是： (-1， 0) (1， + ). 答案： B. 二、填空

10、题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分 . 11. 在 (3-x)5的展开式中，含 x3的项的系数是 _(用数字作答 ) 解析： (3-x)5的展开式中，通项公式是 Tr+1=C5r 35-r (-1)r xr， 令 r=3，得含 x3的项的系数是 C53 32 (-1)3=-90. 答案： -90. 12. 已知 (0，2)， (0，2)，且 cos =17， cos( + )=-1114，则 sin =_. 解析：已知 (0，2)， (0，2)，且 cos =17， cos( + )=-1114， sin = 21 cos =4 3?7， sin( + )= 2 ()1 cos =

11、5 3?14， 则 sin =sin( + )- =sin( + )cos -cos( + )sin =5 3?14 17-(-1114) 4 3?7= 3?2. 答案： 3?2. 13. 已知实数 x， y满足 2 2 02 4 03 3 0xyxyxy ，则 x2+y2的最大值为 _. 解析：先根据约束条件画出可行域， 而 z=x2+y2， 表示可行域内点到原点距离 OP的平方， 点 P在黄色区域里运动时，点 P跑到点 C时 OP 最大 当在点 C(2， 3)时， z 最大，最大值为 22+32=13. 答案： 13 14.设四边形 ABCD 为平行四边形， |AB |=8， |AD |=

12、3，若点 M， N 满足 3DM MC ，2BN NC ，则 AM MN =_. 解析： 3DM MC ， 2BN NC ， 3344D M D C A B， 1144M C D C A B，1 1 13 3 3C N C B B C A D ， 3=4A M A D D M A D A B ， 11=43M N M C C N A B A D . 22 223 1 1 3 1 3 18 3 94 4 3 1 6 3 1 6 3A M M N A D A B A B A D A B A D 答案： 9. 15. 设 S为复数集 C的非空子集 .如果 (1)S含有一个不等于 0的数； (2) a

13、， b S， a+b， a-b， ab S； (3) a， b S，且 b 0， ab S，那么就称 S是一个数域 . 现有如下命题： 如果 S是一个数域，则 0， 1 S； 如果 S是一个数域，那么 S含有无限多个数； 复数集是数域； S=a+b 2 |a， b Q， 是数域； S=a+bi|a， b Z是数域 . 其中是真命题的有 _(写出所有真命题的序号 ). 解析：由已知中 (1)S含有一个不等于 0的数； (2) a， b S， a+b， a-b， ab S； (3) a， b S，且 b 0， ab S，那么就称 S是一个数域 . 令 a=b 0， 则 a-b=0 S； ab=1

14、S，故正确； na S， n Z，故正确； 复数集 C满足 3个条件，故复数集是数域，故正确； S=a+b |a， b Q， 满足 3个条件，故 S是数域，故正确； S=a+bi|a， b Z不满足条件 (3)，故 S不是数域，故错误； 答案： 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16. 已知数列 an满足 a1=1， an+1=2an+1. (1)求数列 an的通项公式； (2)令 bn=12n(an+1)，求数列 bn的前 n项和 Tn. 解析： (1)通过对 an+1=2an+1 变形可知 an+1+1=2(an+1)，进而可知数列 an

15、+1是首项、公比均为 2的等比数列，计算即得结论； (2)通过 (1)可知 bn=n 2n-1，进而利用错位相减法计算即得结论 . 答案： (1) an+1=2an+1， an+1+1=2(an+1)， 又 a1=1， 数列 an+1是首项、公比均为 2 的等比数列， an+1=2n， an=-1+2n； (2)由 (1)可知 bn=12n(an+1)=12n 2n=n 2n-1， Tn=1 20+2 2+ +n 2n-1， 2Tn=1 2+2 22 +(n-1) 2n-1+n 2n， 错位相减得： -Tn=1+2+22 +2n-1-n 2n =1212n-n 2n =-1-(n-1) 2n，

16、 于是 Tn=1+(n-1) 2n. 17. 某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了 2 名男生， 3名女生，理学院推荐了 4 名男生， 3 名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3人，女生中随机抽取 3人组成代表队 . (1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的 6名学生在随机抽取 4名参赛，记 X表示参赛的男生人数，求X的分布列与数学期望 . 解析： (1)求出文学院至少有一名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可； (2)求出 X表示参赛的男生人数的可能值，

17、求出概率，得到 X的分布列，然后求解数学期望 . 答案： (1)由题意，参加集训的男、女学生共有 6人，参赛学生全从理学院中抽出 (等价于文学院中没有学生入选代表队 )的概率为： 333433661 100CCCC，因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为： 1 991100 100； (2)某场比赛前，从代表队的 6名队员中随机抽取 4人参赛， X表示参赛的男生人数， 则 X的可能取值为： 1， 2， 3， P(X=1)= 361 3431 5CCC ， P(X=2)= 226343 3 5CCC ， P(X=3)= 361 3431 5CCC . X的分布列： 和数学期望 EX=1 15

18、+2 35+3 15=2. 18. 已知函数 f(x)=sinx(sinx+ 3 cosx). (1)求 f(x)的最小正周期和最大值； (2)在锐角三角形 ABC 中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 f(2A)=1， a=2 3 ，求三角形 ABC面积的最大值 . 解析： (1)利用二倍角公式化简 f(x)； (2)求出 A，根据余弦定理和基本不等式得出 bc 的最大值，代入面积公式即可 . 答案： (1)f(x)=sin2x+ 3 sinxcosx=12-12cos2x+ 32sin2x=sin(2x-6)+12. f(x)的最小正周期 T=22=， f(x)的最大值是

19、 32. (2) f(2A)=sin(A-6)+12=1， sin(A-6)=12， A=3. a2=b2+c2-2bccosA， 12=b2+c2-bc， b2+c2=12+bc 2bc， bc 12. S=12bcsinA= 34bc 3 3 . 三角形 ABC面积的最大值是 3 3 . 19. 如图，在四棱锥 S-ABCD中，底面 ABCD是矩形， SD=DC=2AD，侧棱 SD底面 ABCD，点 E是 SC的中点，点 F在 SB上，且 EF SB. (1)求证： SA平面 BDE； (2)求证 SB平面 DEF； (3)求二面角 C-SB-D的余弦值 . 解析： (1)连接 AC 交

20、BD 于点 O，连接 OE.然后利用三角形中位线的性质可得 OE SA，再由线面平行的判定定理证得 SA平面 BDE； (2)由 SD=DC， E 是 SC 的中点可得 DE SC，再由面面垂直的判定和性质得到 BC平面 SDC，从而得到 BC DE，进一步得到 SB DE，结合已知 EF SB，由线面垂直的判定得结论； (3)根据二面角的定义得到 EFD是二面角 C-SB-D的平面角，根据三角形的边角关系进行求解即可 . 答案 ： (1)证明：如图， 连接 AC 交 BD于点 O，连接 OE. 点 O、 E分别为 AC、 SC的中点， OE SA，又 OE?平面 BDE， SA 平面 BDE

21、， SA平面 BDE； (2)证明： SD=DC， E 是 SC 的中点， DE SC， 又 SD底面 ABCD，平面 SDC平面 ABCD， 底面 ABCD是矩形， BC平面 SDC， BC DE， 又 SC BC=C， DE平面 SBC， 又 SB 平面 SBC， SB DE， 又 EF SB， EF ED=E， SB平面 EFD； (3) EF SB， SB平面 EFD， EFD是二面角 C-SB-D的平面角， 设 AD=1，则 SD=CD=2， 则 SC=2 2 ， SB= 22BC SC =3， BD= 22AD AB = 14 = 5 ， DE= 2 ， 在三角形 SDB中， SB

22、?DF=SD?BD，即 DF= 25 25=33S D B DSB ， 在三角形 SBC中， sinCSB=BCSB EFSE 13，即 EF=13SE= 23， 在三角形 DEF 中， cosEFD= 2 2 22?E F D F D EE F D F= 22224 1 022 2 5 2 2 023399=2 2 533 9 =22 184 10 44 10 110= 1010， 即二面角 C-SB-D的余弦值是 1010. 20. 已知圆 F1： (x+1)2+y2=1，圆 F2： (x-1)2+y2=25，动圆 P与圆 F1外切并且与圆 F2内切，动圆圆心 P的轨迹为曲线 C. ( )

23、求曲线 C的方程； ( )若曲线 C 与 x 轴的交点为 A1， A2，点 M 是曲线 C 上异于点 A1， A2的点，直线 A1M 与 A2M的斜率分别为 k1， k2，求 k1k2的值 . ( )过点 (2， 0)作直线 l与曲线 C交于 A， B两点，在曲线 C上是否存在点 N，使 O A O B O N？若存在，请求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 . 解析： ( )通过设 P(x， y)、动圆 P 的比较为 r，利用圆与圆的位置关系可知 |PF1|=1+r、|PF2|=5-r，进而化简可知动圆圆心 P 的轨迹是以 F1(-1， 0)、 F2(1， 0)为焦点、长轴长为 6的椭

24、圆，计算即得结论； ( )通过 ( )可知 A1(-3， 0)、 A2(3， 0)，通过设 M(x， y)，利用 22198xy及 k1k2= 0033yyxx化简计算即得结论； ( )通过设过点 (2， 0)的直线 l方程为 x=my+2，并与曲线 C方程联立，利用韦达定理及 N(x1+x2，y1+y2)在曲线 C上化简计算即得结论 . 答案： ( )依题意， F1(-1， 0)， F2(1， 0)， 设 P(x， y)，动圆 P的比较为 r，则 |PF1|=1+r， |PF2|=5-r， |PF1|+|PF2|=6， 动圆圆心 P的轨迹是以 F1(-1， 0)、 F2(1， 0)为焦点，长

25、轴长为 6的椭圆， 则 b2=a2-c2=9-1=8， 于是曲线 C的方程为： 22198xy； ( )由 ( )可知 A1(-3， 0)， A2(3， 0)， 设 M(x， y)，则 22198xy， 于是 k1k2= 222200338=9998yyyxyyxx ； ( )结论：在曲线 C上存在点 N，使 O A O B O N，且直线 l方程为 x= 144y+2. 理由如下： 设过点 (2， 0)的直线 l 方程为： x=my+2， 联立直线 l与曲线 C的方程，消去 x，整理得： (9+8m2)y2+32my-40=0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1+y2=

26、23298mm ， y1y2=24098m ， O A O B O N， N(x1+x2， y1+y2)在曲线 C上， 221 2 1 2 198x x y y， 又 x1+x2=m(y1+y2)+4=4-23298mm =23698m ， 19 ( 23698m )2+18 (23298mm )2=1， 整理得： 9+8m2=16， 解得： m= 144， 于是在曲线 C上存在点 N，使 O A O B O N，且直线 l方程为 x= 144y+2. 21. 设函数 f(x)=2xex+k(2x+lnx)(k为常数 ). (1)当 k=0时，求曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线

27、方程； (2)当 k 0时，求函数 f(x)的单调区间； (3)若函数 f(x)在 (0， 2)内存在两个极值点，求 k的取值范围 . 解析： (1)求导 f (x)=32xxxe ex ，从而可得 f(1)=e， f (1)=-e，从而确定切线方程； (2)求导 f (x)=(x-2)3xe kxx，从而判断导数的正负以确定函数的单调性； (3)求导 f (x)=(x-2)3xe kxx，从而可得 h(x)=ex+kx在 (0， 2)内存在两个零点，从而化为y=ex与 y=-kx的图象在 (0， 2)内有两个交点，从而利用数形结合求解 . 答案： (1)当 k=0时， f(x)=2xex，

28、f (x)=32xxxe ex ， 故 f(1)=e， f (1)=-e， 故曲线 y=f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程为 y-e=-e(x-1)， 即切线方程为： ex+y-2e=0； (2)f(x)=2xex+k(2x+lnx)的定义域为 (0， + )， f (x)=32xxxe ex +k(-22x +1x )=(x-2)3xe kxx， k 0，且 x (0， + )，3xe kxx 0， 故当 x (0， 2)时， f (x) 0，当 x (2， + )时， f (x) 0； 故函数 f(x)的单调减区间为 (0， 2)，单调增区间为 (2， + )； (3)由 (2)知， f (x)=(x-2)3xe kxx， 32xx 0在 (0， 2)上恒成立， 又函数 f(x)在 (0， 2)内存在两个极值点， h(x)=ex+kx在 (0， 2)内存在两个零点， y=ex与 y=-kx 的图象在 (0， 2)内有两个交点， 作 y=ex与 y=-kx的图象如图， 相切时，设切点为 (x， ex)，则 xex=ex， 故 x=1； 故 k1=e； k2= 2202 0 2ee ， 故 e -k 22e， 故 - 22e k -e.