1、2016年四川省南充市高考一模数学 一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四个选项在,只有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 A=x|1 x 4,集合 B=x|(x-3)(x+1) 0,则 A B=( ) A.x|-1 x 4 B.x|-1 x 1 C.x|1 x 3 D.x|-1 x 3 解析:集合 A=x|1 x 4, 集合 B=x|(x-3)(x+1) 0=x|-1 x 3, A B=x|1 x 3. 答案: C. 2. 设 i是虚数单位,则复数 211ii=( ) A.1+i B.1-i C.-1-i D.-1+i 解析:复数 2 2111
2、1 1iiii i i =i(1+i)=-1+i. 答案: D. 3. 已知命题 P: x R, ex-x-1 0,则 P是 ( ) A. x R, ex-x-1 0 B. x0 R, 0xe -x0-1 0 C. x0 R, 0xe -x0-1 0 D. x R, ex-x-1 0 解析:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题 P: x R, ex-x-1 0,则 P是 x0 R, 0xe -x0-1 0. 答案: B. 4. 下列函数中,满足“ f(xy)=f(x)+f(y)”的单调递减函数是 ( ) A.f(x)=lnx B.f(x)=-x3 C.f(x)=log12x D.f(x)=
3、3-x 解析:对数函数符合条件 f(xy)=f(x)+f(y),证明如下: 设 f(x)=logax,其中, x 0, a 0且 a 1, 则 f(xy)=logaxy=logax+logay=f(x)+f(y), 即对数函数 f(x)=logax,符合条件 f(xy)=f(x)+f(y), 同时, f(x)单调递减,则 a (0, 1), 综合以上分析,对数函数 f(x)=log12x符合题意, 答案: C. 5. 如图的程序图的算法思路中是一种古老而有效的算法 -辗转相除法,执行改程序框图,若输入的 m, n的值分别为 30, 42,则输出的 m=( ) A.0 B.2 C.3 D.6 解
4、析:模拟程序框图的运行过程,如下; m=30, n=42, 30 42=0,余数是 30, r=30, m=42, n=30, 不满足条件 r=0, 42 30=1,余数是 12, r=12, m=30, n=12, 不满足条件 r=0, 30 12=2,余数是 6, r=6, m=12, n=6, 不满足条件 r=0, 12 6=2,余数是 0, r=0, m=6, n=0, 满足条件 r=0,退出循环,输出 m的值为 6. 答案: D. 6. 为了得到函数 y=12sin4x- 32cos4x的图象,可以将函数 y=sin4x的图象 ( ) A.向右平移12个单位 B.向左平移12个单位
5、C.向右平移3个单位 D.向左平移3个单位 解析:函数 y=12sin4x- 32cos4x=sin(4x-3), sin(4x-3)=sin4(x-12), 为了得到函数 y=12sin4x- 32cos4x的图象,可以将函数 y=sin4x的图象向右平移12个单位 . 答案: A. 7. 某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于 ( ) A.45 B.36 C.30 D.6 解析:由三视图可知该几何体为长方体 ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥 B1-A1BC1剩下的几何体 . V=4 3 3-13 12 4 3 3=30. 答案: C. 8. 春节前,某市一过江大桥上挂了两串
6、彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的 6秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 6秒内间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 3秒的概率是 ( ) A.78B.34C.12D.14解析:设两串彩灯分别在通电后 x秒, y秒第一次闪亮, 则所有的可能情况对应的平面区域为正方形 OABC, 作出直线 x-y=3和直线 y-x=3,则两灯在第一次闪亮时刻不超过 3秒对应的平面区域为六边形 ODEBGF, P= 213 6 3 2 323 6 4SS 六 形正 方 形边 . 答案 : B. 9. 已知 F是抛物线 y2=4x的焦点,点 A, B在该抛物线上且
7、位于 x轴的两侧, OA OB(其中 O为坐标原点 ),则 AOB与 AOF面积之和的最小值是 ( ) A.16 B.8 3 C.8 5 D.18 解析:设直线 AB 的方程为: x=ty+m, 点 A(x1, y1), B(x2, y2),直线 AB 与 x轴的交点为 M(m, 0), x=ty+m代入 y2=4x,可得 y2-4ty-4m=0, 根据韦达定理有 y1 y2=-4m, OA OB, OAOB =0, x1 x2+y1 y2=0,从而 (14y1 14y2)2+y1 y2=0, 点 A, B位于 x轴的两侧, y1 y2=-16,故 m=4. 不妨令点 A在 x轴上方,则 y1
8、 0, 又 F(1, 0), S ABO+S AFO=12 4 (y1-y2)+12 y1=52y1+132y 8 5 , 当且仅当 52y1=132y ,即 y1=855 时,取“ =”号, ABO与 AFO面积之和的最小值是 8 5 . 答案: C. 10. 函数 f (x)是奇函数 f(x)(x R)的导函数, f(1)=0,当 x 0 时, xf (x)+f(x) 0,则使得 f(x) 0成立的 x的取值范围是 ( ) A.(-, -1) (0, 1) B.(-1, 0) (1, + ) C.(-, -1) (1, + ) D.(-1, 0) (0, 1) 解析:设 g(x)=xf(x
9、),则 g (x)=xf (x)+f(x), 当 x 0时, xf (x)+f(x) 0, 则当 x 0时, g (x) 0, 函数 g(x)=xf(x)在 (-, 0)上为增函数, 函数 f(x)是奇函数, g(-x)=(-x)f(-x)=(-x)-f(x)=xf(x)=g(x), 函数 g(x)为定义域上的偶函数, 由 f(1)=0得, g(1)=0,函数 g(x)的图象大致如右图: 不等式 f(x) 0 gxx 0, 00xgx或 00xgx, 由函数的图象得, -1 x 0或 x 1, 使得 f(x) 0成立的 x的取值范围是: (-1, 0) (1, + ). 答案: B. 二、填空
10、题:本大题共 5小题,每小题 5分,共 25分 . 11. 在 (3-x)5的展开式中,含 x3的项的系数是 _(用数字作答 ) 解析: (3-x)5的展开式中,通项公式是 Tr+1=C5r 35-r (-1)r xr, 令 r=3,得含 x3的项的系数是 C53 32 (-1)3=-90. 答案: -90. 12. 已知 (0,2), (0,2),且 cos =17, cos( + )=-1114,则 sin =_. 解析:已知 (0,2), (0,2),且 cos =17, cos( + )=-1114, sin = 21 cos =4 3?7, sin( + )= 2 ()1 cos =
11、5 3?14, 则 sin =sin( + )- =sin( + )cos -cos( + )sin =5 3?14 17-(-1114) 4 3?7= 3?2. 答案: 3?2. 13. 已知实数 x, y满足 2 2 02 4 03 3 0xyxyxy ,则 x2+y2的最大值为 _. 解析:先根据约束条件画出可行域, 而 z=x2+y2, 表示可行域内点到原点距离 OP的平方, 点 P在黄色区域里运动时,点 P跑到点 C时 OP 最大 当在点 C(2, 3)时, z 最大,最大值为 22+32=13. 答案: 13 14.设四边形 ABCD 为平行四边形, |AB |=8, |AD |=
12、3,若点 M, N 满足 3DM MC ,2BN NC ,则 AM MN =_. 解析: 3DM MC , 2BN NC , 3344D M D C A B, 1144M C D C A B,1 1 13 3 3C N C B B C A D , 3=4A M A D D M A D A B , 11=43M N M C C N A B A D . 22 223 1 1 3 1 3 18 3 94 4 3 1 6 3 1 6 3A M M N A D A B A B A D A B A D 答案: 9. 15. 设 S为复数集 C的非空子集 .如果 (1)S含有一个不等于 0的数; (2) a
13、, b S, a+b, a-b, ab S; (3) a, b S,且 b 0, ab S,那么就称 S是一个数域 . 现有如下命题: 如果 S是一个数域,则 0, 1 S; 如果 S是一个数域,那么 S含有无限多个数; 复数集是数域; S=a+b 2 |a, b Q, 是数域; S=a+bi|a, b Z是数域 . 其中是真命题的有 _(写出所有真命题的序号 ). 解析:由已知中 (1)S含有一个不等于 0的数; (2) a, b S, a+b, a-b, ab S; (3) a, b S,且 b 0, ab S,那么就称 S是一个数域 . 令 a=b 0, 则 a-b=0 S; ab=1
14、S,故正确; na S, n Z,故正确; 复数集 C满足 3个条件,故复数集是数域,故正确; S=a+b |a, b Q, 满足 3个条件,故 S是数域,故正确; S=a+bi|a, b Z不满足条件 (3),故 S不是数域,故错误; 答案: 三、解答题:本大题共 6小题,共 75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16. 已知数列 an满足 a1=1, an+1=2an+1. (1)求数列 an的通项公式; (2)令 bn=12n(an+1),求数列 bn的前 n项和 Tn. 解析: (1)通过对 an+1=2an+1 变形可知 an+1+1=2(an+1),进而可知数列 an
15、+1是首项、公比均为 2的等比数列,计算即得结论; (2)通过 (1)可知 bn=n 2n-1,进而利用错位相减法计算即得结论 . 答案: (1) an+1=2an+1, an+1+1=2(an+1), 又 a1=1, 数列 an+1是首项、公比均为 2 的等比数列, an+1=2n, an=-1+2n; (2)由 (1)可知 bn=12n(an+1)=12n 2n=n 2n-1, Tn=1 20+2 2+ +n 2n-1, 2Tn=1 2+2 22 +(n-1) 2n-1+n 2n, 错位相减得: -Tn=1+2+22 +2n-1-n 2n =1212n-n 2n =-1-(n-1) 2n,
16、 于是 Tn=1+(n-1) 2n. 17. 某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛,文学院推荐了 2 名男生, 3名女生,理学院推荐了 4 名男生, 3 名女生,文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训,由于集训后学生水平相当,从参加集训的男生中随机抽取 3人,女生中随机抽取 3人组成代表队 . (1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的 6名学生在随机抽取 4名参赛,记 X表示参赛的男生人数,求X的分布列与数学期望 . 解析: (1)求出文学院至少有一名学生入选代表队的对立事件的概率,然后求解概率即可; (2)求出 X表示参赛的男生人数的可能值,
17、求出概率,得到 X的分布列,然后求解数学期望 . 答案: (1)由题意,参加集训的男、女学生共有 6人,参赛学生全从理学院中抽出 (等价于文学院中没有学生入选代表队 )的概率为: 333433661 100CCCC,因此文学院至少有一名学生入选代表队的概率为: 1 991100 100; (2)某场比赛前,从代表队的 6名队员中随机抽取 4人参赛, X表示参赛的男生人数, 则 X的可能取值为: 1, 2, 3, P(X=1)= 361 3431 5CCC , P(X=2)= 226343 3 5CCC , P(X=3)= 361 3431 5CCC . X的分布列: 和数学期望 EX=1 15
18、+2 35+3 15=2. 18. 已知函数 f(x)=sinx(sinx+ 3 cosx). (1)求 f(x)的最小正周期和最大值; (2)在锐角三角形 ABC 中,角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,若 f(2A)=1, a=2 3 ,求三角形 ABC面积的最大值 . 解析: (1)利用二倍角公式化简 f(x); (2)求出 A,根据余弦定理和基本不等式得出 bc 的最大值,代入面积公式即可 . 答案: (1)f(x)=sin2x+ 3 sinxcosx=12-12cos2x+ 32sin2x=sin(2x-6)+12. f(x)的最小正周期 T=22=, f(x)的最大值是
19、 32. (2) f(2A)=sin(A-6)+12=1, sin(A-6)=12, A=3. a2=b2+c2-2bccosA, 12=b2+c2-bc, b2+c2=12+bc 2bc, bc 12. S=12bcsinA= 34bc 3 3 . 三角形 ABC面积的最大值是 3 3 . 19. 如图,在四棱锥 S-ABCD中,底面 ABCD是矩形, SD=DC=2AD,侧棱 SD底面 ABCD,点 E是 SC的中点,点 F在 SB上,且 EF SB. (1)求证: SA平面 BDE; (2)求证 SB平面 DEF; (3)求二面角 C-SB-D的余弦值 . 解析: (1)连接 AC 交
20、BD 于点 O,连接 OE.然后利用三角形中位线的性质可得 OE SA,再由线面平行的判定定理证得 SA平面 BDE; (2)由 SD=DC, E 是 SC 的中点可得 DE SC,再由面面垂直的判定和性质得到 BC平面 SDC,从而得到 BC DE,进一步得到 SB DE,结合已知 EF SB,由线面垂直的判定得结论; (3)根据二面角的定义得到 EFD是二面角 C-SB-D的平面角,根据三角形的边角关系进行求解即可 . 答案 : (1)证明:如图, 连接 AC 交 BD于点 O,连接 OE. 点 O、 E分别为 AC、 SC的中点, OE SA,又 OE?平面 BDE, SA 平面 BDE
21、, SA平面 BDE; (2)证明: SD=DC, E 是 SC 的中点, DE SC, 又 SD底面 ABCD,平面 SDC平面 ABCD, 底面 ABCD是矩形, BC平面 SDC, BC DE, 又 SC BC=C, DE平面 SBC, 又 SB 平面 SBC, SB DE, 又 EF SB, EF ED=E, SB平面 EFD; (3) EF SB, SB平面 EFD, EFD是二面角 C-SB-D的平面角, 设 AD=1,则 SD=CD=2, 则 SC=2 2 , SB= 22BC SC =3, BD= 22AD AB = 14 = 5 , DE= 2 , 在三角形 SDB中, SB
22、?DF=SD?BD,即 DF= 25 25=33S D B DSB , 在三角形 SBC中, sinCSB=BCSB EFSE 13,即 EF=13SE= 23, 在三角形 DEF 中, cosEFD= 2 2 22?E F D F D EE F D F= 22224 1 022 2 5 2 2 023399=2 2 533 9 =22 184 10 44 10 110= 1010, 即二面角 C-SB-D的余弦值是 1010. 20. 已知圆 F1: (x+1)2+y2=1,圆 F2: (x-1)2+y2=25,动圆 P与圆 F1外切并且与圆 F2内切,动圆圆心 P的轨迹为曲线 C. ( )
23、求曲线 C的方程; ( )若曲线 C 与 x 轴的交点为 A1, A2,点 M 是曲线 C 上异于点 A1, A2的点,直线 A1M 与 A2M的斜率分别为 k1, k2,求 k1k2的值 . ( )过点 (2, 0)作直线 l与曲线 C交于 A, B两点,在曲线 C上是否存在点 N,使 O A O B O N?若存在,请求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由 . 解析: ( )通过设 P(x, y)、动圆 P 的比较为 r,利用圆与圆的位置关系可知 |PF1|=1+r、|PF2|=5-r,进而化简可知动圆圆心 P 的轨迹是以 F1(-1, 0)、 F2(1, 0)为焦点、长轴长为 6的椭
24、圆,计算即得结论; ( )通过 ( )可知 A1(-3, 0)、 A2(3, 0),通过设 M(x, y),利用 22198xy及 k1k2= 0033yyxx化简计算即得结论; ( )通过设过点 (2, 0)的直线 l方程为 x=my+2,并与曲线 C方程联立,利用韦达定理及 N(x1+x2,y1+y2)在曲线 C上化简计算即得结论 . 答案: ( )依题意, F1(-1, 0), F2(1, 0), 设 P(x, y),动圆 P的比较为 r,则 |PF1|=1+r, |PF2|=5-r, |PF1|+|PF2|=6, 动圆圆心 P的轨迹是以 F1(-1, 0)、 F2(1, 0)为焦点,长
25、轴长为 6的椭圆, 则 b2=a2-c2=9-1=8, 于是曲线 C的方程为: 22198xy; ( )由 ( )可知 A1(-3, 0), A2(3, 0), 设 M(x, y),则 22198xy, 于是 k1k2= 222200338=9998yyyxyyxx ; ( )结论:在曲线 C上存在点 N,使 O A O B O N,且直线 l方程为 x= 144y+2. 理由如下: 设过点 (2, 0)的直线 l 方程为: x=my+2, 联立直线 l与曲线 C的方程,消去 x,整理得: (9+8m2)y2+32my-40=0, 设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 y1+y2=
26、23298mm , y1y2=24098m , O A O B O N, N(x1+x2, y1+y2)在曲线 C上, 221 2 1 2 198x x y y, 又 x1+x2=m(y1+y2)+4=4-23298mm =23698m , 19 ( 23698m )2+18 (23298mm )2=1, 整理得: 9+8m2=16, 解得: m= 144, 于是在曲线 C上存在点 N,使 O A O B O N,且直线 l方程为 x= 144y+2. 21. 设函数 f(x)=2xex+k(2x+lnx)(k为常数 ). (1)当 k=0时,求曲线 y=f(x)在点 (1, f(1)处的切线
27、方程; (2)当 k 0时,求函数 f(x)的单调区间; (3)若函数 f(x)在 (0, 2)内存在两个极值点,求 k的取值范围 . 解析: (1)求导 f (x)=32xxxe ex ,从而可得 f(1)=e, f (1)=-e,从而确定切线方程; (2)求导 f (x)=(x-2)3xe kxx,从而判断导数的正负以确定函数的单调性; (3)求导 f (x)=(x-2)3xe kxx,从而可得 h(x)=ex+kx在 (0, 2)内存在两个零点,从而化为y=ex与 y=-kx的图象在 (0, 2)内有两个交点,从而利用数形结合求解 . 答案: (1)当 k=0时, f(x)=2xex,
28、f (x)=32xxxe ex , 故 f(1)=e, f (1)=-e, 故曲线 y=f(x)在点 (1, f(1)处的切线方程为 y-e=-e(x-1), 即切线方程为: ex+y-2e=0; (2)f(x)=2xex+k(2x+lnx)的定义域为 (0, + ), f (x)=32xxxe ex +k(-22x +1x )=(x-2)3xe kxx, k 0,且 x (0, + ),3xe kxx 0, 故当 x (0, 2)时, f (x) 0,当 x (2, + )时, f (x) 0; 故函数 f(x)的单调减区间为 (0, 2),单调增区间为 (2, + ); (3)由 (2)知, f (x)=(x-2)3xe kxx, 32xx 0在 (0, 2)上恒成立, 又函数 f(x)在 (0, 2)内存在两个极值点, h(x)=ex+kx在 (0, 2)内存在两个零点, y=ex与 y=-kx 的图象在 (0, 2)内有两个交点, 作 y=ex与 y=-kx的图象如图, 相切时,设切点为 (x, ex),则 xex=ex, 故 x=1; 故 k1=e; k2= 2202 0 2ee , 故 e -k 22e, 故 - 22e k -e.