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【学历类职业资格】湖北省专升本(高等数学)-试卷15及答案解析.doc

1、湖北省专升本(高等数学)-试卷 15及答案解析(总分:98.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:31,分数:62.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。(分数:2.00)_2.函数 y=ln(2x)+arcsin( (分数:2.00)A.x0B.0x1C.0x2D.0x43.已知 f(x2)=x 2 4x7,则 f(x)的奇偶性是 ( )(分数:2.00)A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶的函数4.设 x0 时,无穷小量 1cosxax b ,则 ( )(分数:2.00)A.以 a=2,b=1B.a=1,b=2C.a=D.a=2,b=5.设

2、f(x)= (分数:2.00)A.0B.1C.D.e6.设函数 f(x)在 x=1处可导,且 (分数:2.00)A.2B.2C.1D.17.设函数 y=y(x)是由方程 2 xy =x+y所确定,则 y x=0 = ( )(分数:2.00)A.ln2B.ln21C.ln2+1D.28.曲线 (分数:2.00)A.2x+y1=0B.x2y+1=0C.2x+y+1=0D.x2y1=09.设 y=e 2arccosx ,则 dy= ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.10.设 y= ,则 y= ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.11.曲线 y=1+ (分数:2.00)A.有水平渐近线,

3、无垂直渐近线B.无水平渐近线,有垂直渐近线C.有水平渐近线,有垂直渐近线D.无水平渐近线,无垂直渐近线12.设 f(x)=xln(1+x),则在区间(0,+)内 ( )(分数:2.00)A.f(x)单调减少,曲线 y=f(x)为凸的B.f(x)单调增加,曲线 y=f(x)为凸的C.f(x)单调增加,曲线 y=f(x)为凹的D.f(x)单调减少,曲线 y=f(x)为凹的13.下列函数中,在给定区间上满足罗尔定理条件的是 ( )(分数:2.00)A.f(x)=B.f(x)=xe x ,1,1C.f(x)=D.f(x)=x,1,114.设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a处取得极大值,则函数

4、F(x)=f(x).g(x)在 x=a处 ( )(分数:2.00)A.必取得极大值B.必取得极小值C.不可能取得极值D.是否取得极值不能确定15.设 (分数:2.00)A.2xB.e 2xC.ln2xD.x 216.定积分 cos 5 xdx= ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.17.曲线 y= 0 x (t1)(t2)dt 在点(0,0)处的切线方程是 ( )(分数:2.00)A.x=0B.y=2xC.y=0D.y=x+118.设 f(x)在0,1上连续,且 0 1 f(x)dx=2,则 (分数:2.00)A.2B.3C.4D.119.下列广义积分收敛的是 ( ) (分数:2.00)

5、A.B.C.D.20.下列四组角中,可以作为一条有向直线的方向角的是 ( )(分数:2.00)A.30,45,60B.45,60,60C.30,90,30D.0,30,15021.设直线 l为 (分数:2.00)A.直线 l平行于平面 B.直线 l在平面 上C.直线 l垂直于平面 D.直线 l与平面 斜交22.设 z=xy 2 + ,则 (分数:2.00)A.1B.0C.1D.223.设 z= ,则 dz= ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.24.函数 z=x 3 y 3 +3x 2 +3y 2 9x 的极小值点为 ( )(分数:2.00)A.(1,0)B.(1,2)C.(3,0)D.

6、(3,2)25.交换二次积分的积分次序,则 1 0 dy 1y 2 f(x,y)dx= ( )(分数:2.00)A. 1 2 dx 1x 0 f(x,y)dyB. 1 0 dx 1x 2 f(x,y)dyC. 1 2 dx 0 1x dxf(x,y)dyD. 1 0 dx 2 1x f(x,y)dy26.设 D是圆周 x 2 +y 2 =2ax,(a0)与直线 y=x在第一象限内围成的闭区域,则 f(x,y)d= ( ) (分数:2.00)A.B.C.D.27.设曲线积分 L (x 4 +4xy p )dx+(6x p1 y 2 5y 4 )dy与路径无关,则 p= ( )(分数:2.00)A

7、.3B.2C.1D.128.数项级数 (分数:2.00)A.绝对收敛级数B.条件收敛级数C.发散级数D.敛散性不定的级数29.设幂级数 在 x=1 处条件收敛,则级数 (分数:2.00)A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不能确定30.微分方程 dy=x(2ydxxdy)的通解为 ( )(分数:2.00)A.x 2 +y 2 =CxB.y=C(1+x 2 )C.y * =C(1+x 2 )D.y 2 =Cx 2 +xy31.微分方程 y4y+4y(2x+1)e x 的特解可设为 ( )(分数:2.00)A.y * =(ax+b)e xB.y * =x(ax+b)e xC.y * =ax

8、2 e xD.y * =x 2 (ax+b)e x二、填空题(总题数:15,分数:30.00)32.设 f(x+2)=x 2 +1,则 f(x1)= 1(分数:2.00)填空项 1:_33.极限 (分数:2.00)填空项 1:_34.曲面 xyz+cosxyz=2 在点(1,1,0)处的切平面方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_35.设 f(x)=x(x1)(x2)(x3)(x4),则 f(4)= 1(分数:2.00)填空项 1:_36.函数 y=x 3 在区间1,2上满足拉格朗日中值定理条件的 是 1(分数:2.00)填空项 1:_37. (分数:2.00)填空项 1:_38.已知 (

9、分数:2.00)填空项 1:_39.已知矢量 a=3,2,2与 b= (分数:2.00)填空项 1:_40.若 f(x,y)= (分数:2.00)填空项 1:_41.判断积分符号 (分数:2.00)填空项 1:_42.已知函数 f(x)有连续的导数,当 f(x)满足 1 时,曲线积分 ydxf(x)dy 与积分路径无关,若f(1)= (分数:2.00)填空项 1:_43.若正项级数 收敛,则级数 (分数:2.00)填空项 1:_44.幂级数 (分数:2.00)填空项 1:_45.微分方程 yy=0 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_46.微分方程 y2y+y=x2 的通解为 1(分数

10、:2.00)填空项 1:_三、综合题(总题数:2,分数:4.00)47.向宽为 a米的河修建一宽为 b米的运河,两者直角相交,问能驶进运河的船,其最大长度为多少?(分数:2.00)_48.求由曲线 y 2 =(x1) 3 和直线 x=2所围成的图形绕 Ox轴旋转所得旋转体体积(分数:2.00)_四、证明题(总题数:1,分数:2.00)49.证明:当 0x (分数:2.00)_湖北省专升本(高等数学)-试卷 15答案解析(总分:98.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:31,分数:62.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。(分数:2.00)_解析:2.函数

11、 y=ln(2x)+arcsin( (分数:2.00)A.x0B.0x1C.0x2 D.0x4解析:解析:因 ln(2x)存在的条件为:2x0;arcsin( 1)存在的条件为:13.已知 f(x2)=x 2 4x7,则 f(x)的奇偶性是 ( )(分数:2.00)A.奇函数B.偶函数 C.非奇非偶函数D.既奇又偶的函数解析:解析:因 f(x2)=x 2 4x7,所以 f(x)=x 2 11,故 f(x)为偶函数4.设 x0 时,无穷小量 1cosxax b ,则 ( )(分数:2.00)A.以 a=2,b=1B.a=1,b=2C.a= D.a=2,b=解析:解析:因 x0 时,1cosx ,

12、又 1cosxax b ,故 ax b ,于是比较得:a= 5.设 f(x)= (分数:2.00)A.0B.1 C.D.e解析:解析:因 , 由 f(x)在 x=0处连续知,6.设函数 f(x)在 x=1处可导,且 (分数:2.00)A.2B.2C.1 D.1解析:解析:因7.设函数 y=y(x)是由方程 2 xy =x+y所确定,则 y x=0 = ( )(分数:2.00)A.ln2B.ln21 C.ln2+1D.2解析:解析:对方程两边同时微分,得:2 xy .ln2.(ydx+xdy)=dx+dy,于是 y(x)= 8.曲线 (分数:2.00)A.2x+y1=0 B.x2y+1=0C.2

13、x+y+1=0D.x2y1=0解析:解析:因 ,于是点(0,1)处即 t=0时,切线的斜率 k 1 = ,进而法线的斜率为 k 2 = 9.设 y=e 2arccosx ,则 dy= ( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:因10.设 y= ,则 y= ( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:因11.曲线 y=1+ (分数:2.00)A.有水平渐近线,无垂直渐近线B.无水平渐近线,有垂直渐近线C.有水平渐近线,有垂直渐近线 D.无水平渐近线,无垂直渐近线解析:解析:因 ,于是,曲线有水平渐近线 y=1又12.设 f(x)=xln(1+x),则在区间(0,+)内

14、( )(分数:2.00)A.f(x)单调减少,曲线 y=f(x)为凸的B.f(x)单调增加,曲线 y=f(x)为凸的C.f(x)单调增加,曲线 y=f(x)为凹的 D.f(x)单调减少,曲线 y=f(x)为凹的解析:解析:因 y=1 0,x(0,+),故 f(x)单调递增;又 y=13.下列函数中,在给定区间上满足罗尔定理条件的是 ( )(分数:2.00)A.f(x)= B.f(x)=xe x ,1,1C.f(x)=D.f(x)=x,1,1解析:解析:选项 A,由其定义域知,f(x)在1,1上连续,又 f(x)=14.设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a处取得极大值,则函数 F(x)=f

15、(x).g(x)在 x=a处 ( )(分数:2.00)A.必取得极大值B.必取得极小值C.不可能取得极值D.是否取得极值不能确定 解析:解析:如果取 f(x)=g(x)=x 2 ,则两者在 x=0处皆取得极大值,而 f(x).g(x)=x 4 在 x=0处却取得极小值,于是选项 A、C 不正确;又若取 f(x)=x 2 ,g(x)=1x 2 ,则 f(x).g(x)在 x=0处皆取得极大值,而 F(x)=f(x).g(x)=x 2 (1x 2 )=x 4 x 2 ,F(x)=4x 3 2x=2x(2x 2 1)=4(x 2 ),于是, x0 时,F(x)0;0x 15.设 (分数:2.00)A

16、.2xB.e 2x C.ln2xD.x 2解析:解析:因 =f(lnx)d(lnx)=f(lnx)+C=x 2 +C,故 16.定积分 cos 5 xdx= ( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:因 ,显然, =0;从而,原式=17.曲线 y= 0 x (t1)(t2)dt 在点(0,0)处的切线方程是 ( )(分数:2.00)A.x=0B.y=2x C.y=0D.y=x+1解析:解析:因 y=(x1)(x2),于是 y x=0 =2,由导数的几何意义知,点(0,0)处的切线斜率为k=2,进而切线方程为:y=2x选项 B正确18.设 f(x)在0,1上连续,且 0 1 f(x

17、)dx=2,则 (分数:2.00)A.2 B.3C.4D.1解析:解析:19.下列广义积分收敛的是 ( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:对于选项 A: ,发散;对于选项 B ,发散;对于选项 C: ,发散;对于选项 D:20.下列四组角中,可以作为一条有向直线的方向角的是 ( )(分数:2.00)A.30,45,60B.45,60,60 C.30,90,30D.0,30,150解析:解析:任一有向直线的方向角 、 满足:cos 2 +cos 2 +cos 2 =1,经验证知,选项B正确21.设直线 l为 (分数:2.00)A.直线 l平行于平面 B.直线 l在平面 上C.直

18、线 l垂直于平面 D.直线 l与平面 斜交解析:解析:直线 l的方向向量为:s=22.设 z=xy 2 + ,则 (分数:2.00)A.1B.0C.1D.2 解析:解析:因 z=xy 2 + ,于是 f(x,1)=x+e x , 23.设 z= ,则 dz= ( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:24.函数 z=x 3 y 3 +3x 2 +3y 2 9x 的极小值点为 ( )(分数:2.00)A.(1,0) B.(1,2)C.(3,0)D.(3,2)解析:解析:因 z=x 3 y 3 +3x 2 +3y 2 =9x,于是, =3x 2 +6x9, =3y 2 +6y,令 ,

19、求解得驻点(1,0)、(1,2),(3,0)、(3,2),又 25.交换二次积分的积分次序,则 1 0 dy 1y 2 f(x,y)dx= ( )(分数:2.00)A. 1 2 dx 1x 0 f(x,y)dy B. 1 0 dx 1x 2 f(x,y)dyC. 1 2 dx 0 1x dxf(x,y)dyD. 1 0 dx 2 1x f(x,y)dy解析:解析:因已知积分的积分区域 D为: ,如图积分区域 D又可表示为: ,于是 1 0 dy 1y 2 f(x,y)dx= 1 2 dx 1x 0 f(x,y)dx选项 A正确 26.设 D是圆周 x 2 +y 2 =2ax,(a0)与直线 y

20、=x在第一象限内围成的闭区域,则 f(x,y)d= ( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:因积分区域 D如图所示, 区域 D可表示为:27.设曲线积分 L (x 4 +4xy p )dx+(6x p1 y 2 5y 4 )dy与路径无关,则 p= ( )(分数:2.00)A.3 B.2C.1D.1解析:解析:因 P(x,y)=x 4 +4xy p ,Q(x,y)=6x p1 y 2 5y 4 ,由于积分与路径无关,于是有: 28.数项级数 (分数:2.00)A.绝对收敛级数 B.条件收敛级数C.发散级数D.敛散性不定的级数解析:解析:因级数的绝对值级数为:29.设幂级数 在

21、x=1 处条件收敛,则级数 (分数:2.00)A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.敛散性不能确定解析:解析:由于级数 a n (x1) n 在 x=1 处条件收敛,根据幂级数的绝对收敛定理得知,级数 a n (x1) n 的收敛区间为:(1,3):又 x=2点在此区间内,故由 x=2得到的数项级数绝对收敛,即:级数 30.微分方程 dy=x(2ydxxdy)的通解为 ( )(分数:2.00)A.x 2 +y 2 =CxB.y=C(1+x 2 ) C.y * =C(1+x 2 )D.y 2 =Cx 2 +xy解析:解析:原方程可化为: ,故原方程的通解为 y= 31.微分方程 y4y+4y(2

22、x+1)e x 的特解可设为 ( )(分数:2.00)A.y * =(ax+b)e x B.y * =x(ax+b)e xC.y * =ax 2 e xD.y * =x 2 (ax+b)e x解析:解析:因微分方程对应的特征方程为:r 2 4r+4=0,故有特征根r 1,2 =2。又自由项 f(x)=(2x+1)e x ,=1: 不是特征根,故特解应设为:y * =(ax+b)e x ,(a,b 为待定常数),选项 A正确二、填空题(总题数:15,分数:30.00)32.设 f(x+2)=x 2 +1,则 f(x1)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:x 2 6x+1

23、0)解析:解析:由 f(x+2)=x 2 +1=(x+2) 2 4x3=(x+2) 2 4(x+2)+5 得 f(x)=x 2 4x+5,所以 f(x1)=(x1) 2 4(x1)+5=x 2 6x+1033.极限 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:34.曲面 xyz+cosxyz=2 在点(1,1,0)处的切平面方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:xz1=0)解析:解析:令 F(x,y,z)=xyz+cosxyz 一 2,所以曲面上任一点处的切平面的法向量为:n=F x ,F y ,F z )=1yzsinxyz,一 zxx

24、sinxyz,一 yxysinxyz), 于是点(1,1,0)处的切平面的法向量为:n 1 =(1,0,1), 故切平面方程为:(x1)+0(y1)(z0)=0 即 xz1=035.设 f(x)=x(x1)(x2)(x3)(x4),则 f(4)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4!)解析:解析:由解析式可知,在导函数中,有四项含有(x4)的因子,将 4代入这些项全为 0,而仅有x(x一 1)(x一 2)(x一 3)不含(x 一 4)因子,将 4代入得 f(4)=4!36.函数 y=x 3 在区间1,2上满足拉格朗日中值定理条件的 是 1(分数:2.00)填空项 1:

25、_ (正确答案:正确答案:=1)解析:解析:y=3x 2 ,所以 37. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:因为38.已知 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:取 x 2 =1,则 x 4 =139.已知矢量 a=3,2,2与 b= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:根据向量垂直的充要条件得 3+52m=0 所以 m=440.若 f(x,y)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:41.判断积分符号 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正

26、确答案:)解析:解析:将积分区域 D分成 D 1 ,D 2 ,D 3 ,其中 42.已知函数 f(x)有连续的导数,当 f(x)满足 1 时,曲线积分 ydxf(x)dy 与积分路径无关,若f(1)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析: 时曲线积分与路径无关,所以有 f(x)+ f(x)+1=0即 y+ +1=0,xy+y=x,(xy)=x,xy= x 2 +C,当 x=1时, 43.若正项级数 收敛,则级数 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:收敛)解析:解析:因 收敛所以级数 收敛由正项级数比较原理,级数44.幂级数 (分数:2.0

27、0)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(0,1))解析:解析: 所以收敛半径 R=45.微分方程 yy=0 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=C 1 +C 2 e x)解析:解析:因特征方程为 r 2 r=0 所以 r=0,r=1 所以原方程的通解为 y=C 1 +C 2 e x 46.微分方程 y2y+y=x2 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=(C 1 +C 2 x)e x +x)解析:解析:先求对应齐次方程 y2y+y=0 的通解,因特征方程为:r 2 2r+1=0,r=1 为重根,所以齐次方程的通解为 Y=

28、(C 1 +C 2 x)e x 设 y*=Ax+B为原方程的特解则 y*=A,y*=0,将y*、y*、y*代入原方程有:2A+(At+B)=x 一 2,所以 A=1,B=0,于是 y*=x,原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x +x三、综合题(总题数:2,分数:4.00)47.向宽为 a米的河修建一宽为 b米的运河,两者直角相交,问能驶进运河的船,其最大长度为多少?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:如图可知船的最大长度不能超过 BC的最小长度设 BC长度为 l,则l=acsc+bsec, l= (6tan 3 a)令 l=0由 不可能为 或 0, 得 。所求船长为 l=a

29、cos+bsec 其中 = )解析:48.求由曲线 y 2 =(x1) 3 和直线 x=2所围成的图形绕 Ox轴旋转所得旋转体体积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:显然曲线 y 2 =(x1) 3 关于 x轴对称,则它和直线 x=2围成图形也关于 x轴对称又曲线和 x轴交点为(1,0)因此 V= 1 2 y 2 dx= 1 2 (x1) 3 dx= )解析:四、证明题(总题数:1,分数:2.00)49.证明:当 0x (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 f(x)=sinx+tanx2x,则在 0x 内 所以 f(x)单增,x0,则f(x)f(0)=0,故 sinx+tanx2x, 显然 x=0时,sinx+tanx2x 于是 0x )解析:

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