1、湖北省专升本（高等数学）-试卷 15及答案解析(总分：98.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：62.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_2.函数 y=ln(2x)+arcsin( （分数：2.00）A.x0B.0x1C.0x2D.0x43.已知 f(x2)=x 2 4x7，则 f(x)的奇偶性是 ( )（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶的函数4.设 x0 时，无穷小量 1cosxax b ，则 ( )（分数：2.00）A.以 a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=D.a=2，b=5.设
2、f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.D.e6.设函数 f(x)在 x=1处可导，且 （分数：2.00）A.2B.2C.1D.17.设函数 y=y(x)是由方程 2 xy =x+y所确定，则 y x=0 = ( )（分数：2.00）A.ln2B.ln21C.ln2+1D.28.曲线 （分数：2.00）A.2x+y1=0B.x2y+1=0C.2x+y+1=0D.x2y1=09.设 y=e 2arccosx ，则 dy= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 y= ，则 y= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.曲线 y=1+ （分数：2.00）A.有水平渐近线，
3、无垂直渐近线B.无水平渐近线，有垂直渐近线C.有水平渐近线，有垂直渐近线D.无水平渐近线，无垂直渐近线12.设 f(x)=xln(1+x)，则在区间(0，+)内 ( )（分数：2.00）A.f(x)单调减少，曲线 y=f(x)为凸的B.f(x)单调增加，曲线 y=f(x)为凸的C.f(x)单调增加，曲线 y=f(x)为凹的D.f(x)单调减少，曲线 y=f(x)为凹的13.下列函数中，在给定区间上满足罗尔定理条件的是 ( )（分数：2.00）A.f(x)=B.f(x)=xe x ，1，1C.f(x)=D.f(x)=x，1，114.设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a处取得极大值，则函数
4、F(x)=f(x).g(x)在 x=a处 ( )（分数：2.00）A.必取得极大值B.必取得极小值C.不可能取得极值D.是否取得极值不能确定15.设 （分数：2.00）A.2xB.e 2xC.ln2xD.x 216.定积分 cos 5 xdx= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.17.曲线 y= 0 x (t1)(t2)dt 在点(0，0)处的切线方程是 ( )（分数：2.00）A.x=0B.y=2xC.y=0D.y=x+118.设 f(x)在0，1上连续，且 0 1 f(x)dx=2，则 （分数：2.00）A.2B.3C.4D.119.下列广义积分收敛的是 ( ) （分数：2.00）
5、A.B.C.D.20.下列四组角中，可以作为一条有向直线的方向角的是 ( )（分数：2.00）A.30，45，60B.45，60，60C.30，90，30D.0，30，15021.设直线 l为 （分数：2.00）A.直线 l平行于平面 B.直线 l在平面 上C.直线 l垂直于平面 D.直线 l与平面 斜交22.设 z=xy 2 + ，则 （分数：2.00）A.1B.0C.1D.223.设 z= ，则 dz= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.24.函数 z=x 3 y 3 +3x 2 +3y 2 9x 的极小值点为 ( )（分数：2.00）A.(1，0)B.(1，2)C.(3，0)D.
6、(3，2)25.交换二次积分的积分次序，则 1 0 dy 1y 2 f(x，y)dx= ( )（分数：2.00）A. 1 2 dx 1x 0 f(x，y)dyB. 1 0 dx 1x 2 f(x，y)dyC. 1 2 dx 0 1x dxf(x，y)dyD. 1 0 dx 2 1x f(x，y)dy26.设 D是圆周 x 2 +y 2 =2ax，(a0)与直线 y=x在第一象限内围成的闭区域，则 f(x，y)d= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.27.设曲线积分 L (x 4 +4xy p )dx+(6x p1 y 2 5y 4 )dy与路径无关，则 p= ( )（分数：2.00）A
7、.3B.2C.1D.128.数项级数 （分数：2.00）A.绝对收敛级数B.条件收敛级数C.发散级数D.敛散性不定的级数29.设幂级数 在 x=1 处条件收敛，则级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不能确定30.微分方程 dy=x(2ydxxdy)的通解为 ( )（分数：2.00）A.x 2 +y 2 =CxB.y=C(1+x 2 )C.y * =C(1+x 2 )D.y 2 =Cx 2 +xy31.微分方程 y4y+4y(2x+1)e x 的特解可设为 ( )（分数：2.00）A.y * =(ax+b)e xB.y * =x(ax+b)e xC.y * =ax
8、2 e xD.y * =x 2 (ax+b)e x二、填空题(总题数：15，分数：30.00)32.设 f(x+2)=x 2 +1，则 f(x1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_33.极限 （分数：2.00）填空项 1:_34.曲面 xyz+cosxyz=2 在点(1，1，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_35.设 f(x)=x(x1)(x2)(x3)(x4)，则 f(4)= 1（分数：2.00）填空项 1:_36.函数 y=x 3 在区间1，2上满足拉格朗日中值定理条件的 是 1（分数：2.00）填空项 1:_37. （分数：2.00）填空项 1:_38.已知 （
9、分数：2.00）填空项 1:_39.已知矢量 a=3，2，2与 b= （分数：2.00）填空项 1:_40.若 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_41.判断积分符号 （分数：2.00）填空项 1:_42.已知函数 f(x)有连续的导数，当 f(x)满足 1 时，曲线积分 ydxf(x)dy 与积分路径无关，若f(1)= （分数：2.00）填空项 1:_43.若正项级数 收敛，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_44.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_45.微分方程 yy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_46.微分方程 y2y+y=x2 的通解为 1（分数
10、：2.00）填空项 1:_三、综合题(总题数：2，分数：4.00)47.向宽为 a米的河修建一宽为 b米的运河，两者直角相交，问能驶进运河的船，其最大长度为多少?（分数：2.00）_48.求由曲线 y 2 =(x1) 3 和直线 x=2所围成的图形绕 Ox轴旋转所得旋转体体积（分数：2.00）_四、证明题(总题数：1，分数：2.00)49.证明：当 0x （分数：2.00）_湖北省专升本（高等数学）-试卷 15答案解析(总分：98.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：62.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。（分数：2.00）_解析：2.函数
11、 y=ln(2x)+arcsin( （分数：2.00）A.x0B.0x1C.0x2 D.0x4解析：解析：因 ln(2x)存在的条件为：2x0；arcsin( 1)存在的条件为：13.已知 f(x2)=x 2 4x7，则 f(x)的奇偶性是 ( )（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数 C.非奇非偶函数D.既奇又偶的函数解析：解析：因 f(x2)=x 2 4x7，所以 f(x)=x 2 11，故 f(x)为偶函数4.设 x0 时，无穷小量 1cosxax b ，则 ( )（分数：2.00）A.以 a=2，b=1B.a=1，b=2C.a= D.a=2，b=解析：解析：因 x0 时，1cosx ，
12、又 1cosxax b ，故 ax b ，于是比较得：a= 5.设 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1 C.D.e解析：解析：因 ， 由 f(x)在 x=0处连续知，6.设函数 f(x)在 x=1处可导，且 （分数：2.00）A.2B.2C.1 D.1解析：解析：因7.设函数 y=y(x)是由方程 2 xy =x+y所确定，则 y x=0 = ( )（分数：2.00）A.ln2B.ln21 C.ln2+1D.2解析：解析：对方程两边同时微分，得：2 xy .ln2.(ydx+xdy)=dx+dy，于是 y(x)= 8.曲线 （分数：2.00）A.2x+y1=0 B.x2y+1=0C.2
13、x+y+1=0D.x2y1=0解析：解析：因 ，于是点(0，1)处即 t=0时，切线的斜率 k 1 = ，进而法线的斜率为 k 2 = 9.设 y=e 2arccosx ，则 dy= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因10.设 y= ，则 y= ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因11.曲线 y=1+ （分数：2.00）A.有水平渐近线，无垂直渐近线B.无水平渐近线，有垂直渐近线C.有水平渐近线，有垂直渐近线 D.无水平渐近线，无垂直渐近线解析：解析：因 ，于是，曲线有水平渐近线 y=1又12.设 f(x)=xln(1+x)，则在区间(0，+)内
14、( )（分数：2.00）A.f(x)单调减少，曲线 y=f(x)为凸的B.f(x)单调增加，曲线 y=f(x)为凸的C.f(x)单调增加，曲线 y=f(x)为凹的 D.f(x)单调减少，曲线 y=f(x)为凹的解析：解析：因 y=1 0，x(0，+)，故 f(x)单调递增；又 y=13.下列函数中，在给定区间上满足罗尔定理条件的是 ( )（分数：2.00）A.f(x)= B.f(x)=xe x ，1，1C.f(x)=D.f(x)=x，1，1解析：解析：选项 A，由其定义域知，f(x)在1，1上连续，又 f(x)=14.设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a处取得极大值，则函数 F(x)=f
15、(x).g(x)在 x=a处 ( )（分数：2.00）A.必取得极大值B.必取得极小值C.不可能取得极值D.是否取得极值不能确定 解析：解析：如果取 f(x)=g(x)=x 2 ，则两者在 x=0处皆取得极大值，而 f(x).g(x)=x 4 在 x=0处却取得极小值，于是选项 A、C 不正确；又若取 f(x)=x 2 ，g(x)=1x 2 ，则 f(x).g(x)在 x=0处皆取得极大值，而 F(x)=f(x).g(x)=x 2 (1x 2 )=x 4 x 2 ，F(x)=4x 3 2x=2x(2x 2 1)=4(x 2 )，于是， x0 时，F(x)0；0x 15.设 （分数：2.00）A
16、.2xB.e 2x C.ln2xD.x 2解析：解析：因 =f(lnx)d(lnx)=f(lnx)+C=x 2 +C，故 16.定积分 cos 5 xdx= ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因 ，显然， =0；从而，原式=17.曲线 y= 0 x (t1)(t2)dt 在点(0，0)处的切线方程是 ( )（分数：2.00）A.x=0B.y=2x C.y=0D.y=x+1解析：解析：因 y=(x1)(x2)，于是 y x=0 =2，由导数的几何意义知，点(0，0)处的切线斜率为k=2，进而切线方程为：y=2x选项 B正确18.设 f(x)在0，1上连续，且 0 1 f(x
17、)dx=2，则 （分数：2.00）A.2 B.3C.4D.1解析：解析：19.下列广义积分收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：对于选项 A： ，发散；对于选项 B ，发散；对于选项 C： ，发散；对于选项 D：20.下列四组角中，可以作为一条有向直线的方向角的是 ( )（分数：2.00）A.30，45，60B.45，60，60 C.30，90，30D.0，30，150解析：解析：任一有向直线的方向角 、 满足：cos 2 +cos 2 +cos 2 =1，经验证知，选项B正确21.设直线 l为 （分数：2.00）A.直线 l平行于平面 B.直线 l在平面 上C.直
18、线 l垂直于平面 D.直线 l与平面 斜交解析：解析：直线 l的方向向量为：s=22.设 z=xy 2 + ，则 （分数：2.00）A.1B.0C.1D.2 解析：解析：因 z=xy 2 + ，于是 f(x，1)=x+e x ， 23.设 z= ，则 dz= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：24.函数 z=x 3 y 3 +3x 2 +3y 2 9x 的极小值点为 ( )（分数：2.00）A.(1，0) B.(1，2)C.(3，0)D.(3，2)解析：解析：因 z=x 3 y 3 +3x 2 +3y 2 =9x，于是， =3x 2 +6x9， =3y 2 +6y，令 ，
19、求解得驻点(1，0)、(1，2)，(3，0)、(3，2)，又 25.交换二次积分的积分次序，则 1 0 dy 1y 2 f(x，y)dx= ( )（分数：2.00）A. 1 2 dx 1x 0 f(x，y)dy B. 1 0 dx 1x 2 f(x，y)dyC. 1 2 dx 0 1x dxf(x，y)dyD. 1 0 dx 2 1x f(x，y)dy解析：解析：因已知积分的积分区域 D为： ，如图积分区域 D又可表示为： ，于是 1 0 dy 1y 2 f(x，y)dx= 1 2 dx 1x 0 f(x，y)dx选项 A正确 26.设 D是圆周 x 2 +y 2 =2ax，(a0)与直线 y
20、=x在第一象限内围成的闭区域，则 f(x，y)d= ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因积分区域 D如图所示， 区域 D可表示为：27.设曲线积分 L (x 4 +4xy p )dx+(6x p1 y 2 5y 4 )dy与路径无关，则 p= ( )（分数：2.00）A.3 B.2C.1D.1解析：解析：因 P(x，y)=x 4 +4xy p ，Q(x，y)=6x p1 y 2 5y 4 ，由于积分与路径无关，于是有： 28.数项级数 （分数：2.00）A.绝对收敛级数 B.条件收敛级数C.发散级数D.敛散性不定的级数解析：解析：因级数的绝对值级数为：29.设幂级数 在
21、x=1 处条件收敛，则级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.敛散性不能确定解析：解析：由于级数 a n (x1) n 在 x=1 处条件收敛，根据幂级数的绝对收敛定理得知，级数 a n (x1) n 的收敛区间为：(1，3)：又 x=2点在此区间内，故由 x=2得到的数项级数绝对收敛，即：级数 30.微分方程 dy=x(2ydxxdy)的通解为 ( )（分数：2.00）A.x 2 +y 2 =CxB.y=C(1+x 2 ) C.y * =C(1+x 2 )D.y 2 =Cx 2 +xy解析：解析：原方程可化为： ，故原方程的通解为 y= 31.微分方程 y4y+4y(2
22、x+1)e x 的特解可设为 ( )（分数：2.00）A.y * =(ax+b)e x B.y * =x(ax+b)e xC.y * =ax 2 e xD.y * =x 2 (ax+b)e x解析：解析：因微分方程对应的特征方程为：r 2 4r+4=0，故有特征根r 1，2 =2。又自由项 f(x)=(2x+1)e x ，=1： 不是特征根，故特解应设为：y * =(ax+b)e x ，(a，b 为待定常数)，选项 A正确二、填空题(总题数：15，分数：30.00)32.设 f(x+2)=x 2 +1，则 f(x1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 2 6x+1
23、0）解析：解析：由 f(x+2)=x 2 +1=(x+2) 2 4x3=(x+2) 2 4(x+2)+5 得 f(x)=x 2 4x+5，所以 f(x1)=(x1) 2 4(x1)+5=x 2 6x+1033.极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：34.曲面 xyz+cosxyz=2 在点(1，1，0)处的切平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xz1=0）解析：解析：令 F(x，y，z)=xyz+cosxyz 一 2，所以曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=F x ，F y ，F z )=1yzsinxyz，一 zxx
24、sinxyz，一 yxysinxyz)， 于是点(1，1，0)处的切平面的法向量为：n 1 =(1，0，1)， 故切平面方程为：(x1)+0(y1)(z0)=0 即 xz1=035.设 f(x)=x(x1)(x2)(x3)(x4)，则 f(4)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4！）解析：解析：由解析式可知，在导函数中，有四项含有(x4)的因子，将 4代入这些项全为 0，而仅有x(x一 1)(x一 2)(x一 3)不含(x 一 4)因子，将 4代入得 f(4)=4！36.函数 y=x 3 在区间1，2上满足拉格朗日中值定理条件的 是 1（分数：2.00）填空项 1:
25、_ （正确答案：正确答案：=1）解析：解析：y=3x 2 ，所以 37. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为38.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：取 x 2 =1，则 x 4 =139.已知矢量 a=3，2，2与 b= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：根据向量垂直的充要条件得 3+52m=0 所以 m=440.若 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：41.判断积分符号 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
26、确答案：）解析：解析：将积分区域 D分成 D 1 ，D 2 ，D 3 ，其中 42.已知函数 f(x)有连续的导数，当 f(x)满足 1 时，曲线积分 ydxf(x)dy 与积分路径无关，若f(1)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 时曲线积分与路径无关，所以有 f(x)+ f(x)+1=0即 y+ +1=0，xy+y=x，(xy)=x，xy= x 2 +C，当 x=1时， 43.若正项级数 收敛，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：收敛）解析：解析：因 收敛所以级数 收敛由正项级数比较原理，级数44.幂级数 （分数：2.0
27、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，1)）解析：解析： 所以收敛半径 R=45.微分方程 yy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 +C 2 e x）解析：解析：因特征方程为 r 2 r=0 所以 r=0，r=1 所以原方程的通解为 y=C 1 +C 2 e x 46.微分方程 y2y+y=x2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=(C 1 +C 2 x)e x +x）解析：解析：先求对应齐次方程 y2y+y=0 的通解，因特征方程为：r 2 2r+1=0，r=1 为重根，所以齐次方程的通解为 Y=
28、(C 1 +C 2 x)e x 设 y*=Ax+B为原方程的特解则 y*=A，y*=0，将y*、y*、y*代入原方程有：2A+(At+B)=x 一 2，所以 A=1，B=0，于是 y*=x，原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x +x三、综合题(总题数：2，分数：4.00)47.向宽为 a米的河修建一宽为 b米的运河，两者直角相交，问能驶进运河的船，其最大长度为多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图可知船的最大长度不能超过 BC的最小长度设 BC长度为 l，则l=acsc+bsec， l= (6tan 3 a)令 l=0由 不可能为 或 0， 得 。所求船长为 l=a
29、cos+bsec 其中 = )解析：48.求由曲线 y 2 =(x1) 3 和直线 x=2所围成的图形绕 Ox轴旋转所得旋转体体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然曲线 y 2 =(x1) 3 关于 x轴对称，则它和直线 x=2围成图形也关于 x轴对称又曲线和 x轴交点为(1，0)因此 V= 1 2 y 2 dx= 1 2 (x1) 3 dx= )解析：四、证明题(总题数：1，分数：2.00)49.证明：当 0x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=sinx+tanx2x，则在 0x 内 所以 f(x)单增，x0，则f(x)f(0)=0，故 sinx+tanx2x， 显然 x=0时，sinx+tanx2x 于是 0x )解析：
