1、2010 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 A 及答案解析(总分：14.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：3，分数：6.00)1.设 （分数：2.00）_2.分析方程 sinx+1=x 2 存在几个实根；用迭代法求出这些实根(要求精确至 2 位有效数字)，并说明所用迭代格式为什么是收敛的（分数：2.00）_3.用列主元 Gauss 消去法解线性方程组 （分数：2.00）_二、综合题(总题数：4，分数：8.00)4.求一个不超过 3 次的多项式 p(x)，使曲线 y=p(x)与曲线 y=sinx 在点(0,0) 处相交，且在点处相切，并证明 （分数：2.00）_5.求常
2、数 A，B 及 x 0 ，使得求积公式 （分数：2.00）_6.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并记 h=(b-a)/n，x i =a+ih，0in试分析求解公式y i+1 =y i +hf(y i + （分数：2.00）_7.设 f(x)C 2 (R)，证明： （分数：2.00）_2010 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 A 答案解析(总分：14.00，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：3，分数：6.00)1.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 y=(x 1 +x 2 )x 3 ，则 e(y)=e(x 1 +x 2 )x 3 )=e(x 1 +x 2
3、 )x 3 +(x 1 +x 2 )e(x 3 )=(e(x 1 )+e(x 2 )x 3 +(x 1 +x )解析：2.分析方程 sinx+1=x 2 存在几个实根；用迭代法求出这些实根(要求精确至 2 位有效数字)，并说明所用迭代格式为什么是收敛的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)将方程改写为 sinx=x 2 1，作函数 y 1 =sinx 和 y 2 =x 2 1 的图像(如下所示)： 因为 -1157 2 1125，y 2 (1)=0，y 1 (-1)0，y 1 (0)=0，y 1 (1)0 )解析：3.用列主元 Gauss 消去法解线性方程组 （分数：2.00）_正确答
4、案：(正确答案： 等价三角方程组为 )解析：二、综合题(总题数：4，分数：8.00)4.求一个不超过 3 次的多项式 p(x)，使曲线 y=p(x)与曲线 y=sinx 在点(0,0) 处相交，且在点处相切，并证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知 构造差商表： 所以 又 即 )解析：5.求常数 A，B 及 x 0 ，使得求积公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 f(x)=1 时，有左= -1 1 1dx=2，右=A+B+A=2A+B； 当 f(x)=x 时，有左= -1 1 xdx=0， 右=A(-x 0 )+B0+A(x 0 )=0； 当 f(x)=x 2
5、时，有左= -1 1 x 2 dx= )解析：6.给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并记 h=(b-a)/n，x i =a+ih，0in试分析求解公式y i+1 =y i +hf(y i + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：局部截断误差 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )+hf(y(x i )+ f(y(x i )=y(x i+1 )-y(x i )-hf(y(x i )+ y“(x i )=y(x i )+hy“(x i )+ y“(x i )+ )解析：7.设 f(x)C 2 (R)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法 1：当 xa 时，有 上式右边为 x 的连续函数，因而 即对一切 x 有方法 2： )解析：
