1、2010 年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷 A 及答案解析(总分:14.00,做题时间:90 分钟)一、计算题(总题数:3,分数:6.00)1.设 (分数:2.00)_2.分析方程 sinx+1=x 2 存在几个实根;用迭代法求出这些实根(要求精确至 2 位有效数字),并说明所用迭代格式为什么是收敛的(分数:2.00)_3.用列主元 Gauss 消去法解线性方程组 (分数:2.00)_二、综合题(总题数:4,分数:8.00)4.求一个不超过 3 次的多项式 p(x),使曲线 y=p(x)与曲线 y=sinx 在点(0,0) 处相交,且在点处相切,并证明 (分数:2.00)_5.求常
2、数 A,B 及 x 0 ,使得求积公式 (分数:2.00)_6.给定常微分方程初值问题 取正整数 n,并记 h=(b-a)/n,x i =a+ih,0in试分析求解公式y i+1 =y i +hf(y i + (分数:2.00)_7.设 f(x)C 2 (R),证明: (分数:2.00)_2010 年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷 A 答案解析(总分:14.00,做题时间:90 分钟)一、计算题(总题数:3,分数:6.00)1.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:记 y=(x 1 +x 2 )x 3 ,则 e(y)=e(x 1 +x 2 )x 3 )=e(x 1 +x 2
3、 )x 3 +(x 1 +x 2 )e(x 3 )=(e(x 1 )+e(x 2 )x 3 +(x 1 +x )解析:2.分析方程 sinx+1=x 2 存在几个实根;用迭代法求出这些实根(要求精确至 2 位有效数字),并说明所用迭代格式为什么是收敛的(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:1)将方程改写为 sinx=x 2 1,作函数 y 1 =sinx 和 y 2 =x 2 1 的图像(如下所示): 因为 -1157 2 1125,y 2 (1)=0,y 1 (-1)0,y 1 (0)=0,y 1 (1)0 )解析:3.用列主元 Gauss 消去法解线性方程组 (分数:2.00)_正确答
4、案:(正确答案: 等价三角方程组为 )解析:二、综合题(总题数:4,分数:8.00)4.求一个不超过 3 次的多项式 p(x),使曲线 y=p(x)与曲线 y=sinx 在点(0,0) 处相交,且在点处相切,并证明 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意知 构造差商表: 所以 又 即 )解析:5.求常数 A,B 及 x 0 ,使得求积公式 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 f(x)=1 时,有左= -1 1 1dx=2,右=A+B+A=2A+B; 当 f(x)=x 时,有左= -1 1 xdx=0, 右=A(-x 0 )+B0+A(x 0 )=0; 当 f(x)=x 2
5、时,有左= -1 1 x 2 dx= )解析:6.给定常微分方程初值问题 取正整数 n,并记 h=(b-a)/n,x i =a+ih,0in试分析求解公式y i+1 =y i +hf(y i + (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:局部截断误差 R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )+hf(y(x i )+ f(y(x i )=y(x i+1 )-y(x i )-hf(y(x i )+ y“(x i )=y(x i )+hy“(x i )+ y“(x i )+ )解析:7.设 f(x)C 2 (R),证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方法 1:当 xa 时,有 上式右边为 x 的连续函数,因而 即对一切 x 有方法 2: )解析: