1、2008 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B 及答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 为了使计算 y=11+ 的乘除法运算次数尽量地少，应将该表达式改为_2 求方程 x-f(x)=0 根的牛顿迭代格式是_3 设 A= 则A =_4 解方程组 的 Jacobi 迭代格式为_5 设 f(x)=8x4+3x3-98x+1,则差商 f2，4，8，16，32=_6 记 h=(b-a)n，x i=a+ih，0in，则计算 I(f)= 的复化 Simpson 公式为_，代数精度为_7 用简单迭代法求非线性方程 x-lnx=2 在(2 ，+) 内的根，要求精确至 6
2、 位有效数字，并说明所用迭代格式为什么是收敛的8 给定线性方程组 1)写出 Gauss-Seidel 迭代格式； 2)分析此迭代格式的收敛性9 1)给定如下数据表： 求 f(x)的 2 次插值多项式 L(x)；2)利用如下数据表： 求 f(x)的 3 次插值多项式 H(x)10 求 a，b，使得 达到最小，并求出此最小值11 求系数 A1，A 2，A 3，使得求积公式 A1f(-1)+A2f(-1/3)+A3f(2/3)的代数精度尽可能高，并指出所达到的代数精度的次数12 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并记 h=(b-a)n，x i=a 十 ih，0in1)分析如下求解公式的局部截断误
3、差 yi+1=yi+ f(xi+1,yi+1)+f(xi,yi) (A)2)分析如下求解公式的局部截断误差 yi+1=yi+ 3f(xi，y i)-f(xi-1，y i-1)；(B)3)指出以上两个求解公式各是儿阶公式，并从局部截断误差的大小、显隐格式及单多步公式几方面作一个简单的比较2008 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 B 答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 【正确答案】 2 【正确答案】 2)x k+1=xk k=0，1，3 【正确答案】 134 【正确答案】 k=0，1，5 【正确答案】 86 【正确答案】 7 【正确答案】 记 f(x)
4、=xlnx-2，则 f(x)=1- 当 x2 时，f(x)0又 f(3)=3-ln32=1-ln30，f(4)=4-ln42=2-ln40，故方程 f(x)=0 在(2，+)内有唯一解x*，且 x*3，4 将方程改写为 x=lnx+2，构造迭代格式 xk+1=lnxk+2， k=0，1 ，2， ，取 x0=35，计算得 x1=32527638 【正确答案】 1)Gauss-Seidel 迭代格式为 2)迭代矩阵 G 的特征方程为 即 3(-36+6)-2(-9+4)-(3-8)=0，求得 3个根为 1=0,2,3= 所以 Gauss-Seidel 迭代法收敛9 【正确答案】 1)由条件 可得
5、2 次插值多项式2)令 H(x)=L(x)+(x+1)(x-2)(x-3)，其中 为特定常数则 H(x)满足前 3 个插值条件对 H(x)求导得 H(x)=(68x-2)+(x-2)(x-3)+(x+1)(x-3)+(x+1)(x-2)，H(4)= (344-1)+(4-2)(4-3)+(4+1)(4-3)+(4+1)(4-2)= 135+17=3，解得 故 H(x)= (34x2-2x-24)- (x+1)(x-2)10 【正确答案】 记 f(x)=x3，p(x)=a+bx， 0(x)=1， 1(x)=x，则有( 0,0)=011dx=1，( 0， 1)=01xdx= ，( 1， 1)=01x11 【正确答案】 有 3 个待定系数，可要求所求求积公式至少达到 2 次代数精度要求对 f(x)=1，x，x 2 精确成立，得到至少具有 2 次代数精度的充分必要条件为 解得 当 f(x)=x2 时，有-11f(x)dx=0，两个值相等；当 f(x)=x4 时，有 两个值不相等故当时所得求积公式 达到最高 3次代数精度12 【正确答案】 1)求解公式的局部截断误差为 R1=y(xi+1)-y(xi)- f(xi+1,y(xi+1)+f(xi,y(xi)=y(xi+1)-y(xi)- y(xi+1)+y(xi)=hy(xi)+ y“(xi
