1、2008 年春季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷及答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 设 f(x，y)=ln(x+y)，x 1=135，y 1=0650 分别表示 的近似值若 x1，y 1 均为有效数，则 f(x1，y 1)的相对误差限为_2 求解线性方程组 Ax=b 的迭代格式 x(k+1)=Bx(k)+f，k=0，1，收敛的充分必要条件为_若 A 为严格对角占优矩阵，则用 Jacobi 格式来求解该方程组时_(一定收敛、一定不收敛、不一定收敛)3 已知矩阵 则AX 2=_，cond(A) =_4 设函数 f(x)=2x3-x+1，则 f(x)以 x
2、0=-1，x 1=0，x 2=1，x 3=2 为插值节点的三次插值多项式为_，相应的插值余项为_5 设函数 f(x)C3x0-h，x 0+h，h0，则=_.6 分析非线性方程 f(x)=x3-x-1=0 实根的分布情况，并用迭代法求出该方程的全部实根，精确至 3 位有效数7 应用列主元 Gauss 消去法求解下列线性方程组：8 设函数 f(x)=cosx，以 x=0 为三重节点，x= 2 为单重节点作 f(x)的三次 Hermite插值多项式，并估计该插值多项式在0， 2上的误差9 求参数 a， b，使 达到最小10 已知函数 f(x)C2a，b，I(f)= 1)试写出求 I(f)的一点高斯公
3、式 I0(f)=A0f(x0)； 2)试求出截断误差 I(f)-I(f)形如 f(m-1)()(b-a)m 的表达式； 3)取 ，xi=a+ih，0in ，应用 1)中给出的单点公式构造复化求积公式，并给出该复化求积公式的误差表达式11 给定常微分方程初值问题 取 ,n 为整数；xi=a+ih，1in 记 y iy(xi)，1in； Y 0=y(a) 1)求参数 Q，使求解上述初值问题的数值求解公式 Y i+1=Yi+hf(xi，y i)+(1-)f(xi-1， yi-1)局部截断误差阶达到最高，并求出相应的局部截断误差表达式；2)应用 1)中求得的公式与梯形公式构造预测-校正公式，并指出该预
4、测-校正公式是几步的12 对于定解问题 取正整数 M，N，令1)给出求解该方程的一种显格式使其截断误差达到 O(r+h2)，给出截断误差表达式；2)取 h=r= ，应用 1)中给出的显式公式计算 的近似值2008 年春季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 【正确答案】 039710 -22 【正确答案】 (B)1，一定收敛3 【正确答案】 4 【正确答案】 2x 3-x+1，05 【正确答案】 6 【正确答案】 由 f(x)=3x21=0，得 x= 则在内，f(x)0，方程无实根：在 内，f(x)0，方程无实根；在内，f
5、(x)0，方程有唯一实根又因为 f(2)0，所以方程 x3-x-1=0 有唯一实根，且在 中求解方程的 Newton 格式为取 x0=1，计算得x1=1 5，x 2=13478，x 3=13252，x 4=1327 【正确答案】 等价的三角形方程组为 求得 x3=2，x 2=1，x 1=18 【正确答案】 由插值条件得 f(0)=1，f(0)=-sinx x=0=0，f“(0)=-cosx x=0=-1，f( )=0作差商表如下：令 g(x)=x3(x- )，则 g(x)=4x3-当 时，g(x)=0，所以9 【正确答案】 即求 ex 在 0，1 上的一次最佳逼近多项式 P1(x)=ax+b(
6、e x)“=ex 在0，1上保号，则 exp1(x)在0，1上有 3 个偏差点为 0，x 1，1于是有求得 a=e-1，x 1=ln(e1),b= (e-1)ln(e-1) 即当 a=e-117183 b= (e-1)ln(e-1)0894110 【正确答案】 1)方法 1：由一 1，1上的一点 Gauss 公式 -11g(t)dt2g(0)可得A0=b-a，x 0= I0(f)=(b-a)f( )方法 2：一点高斯公式代数精度为 1当 f(x)=1 时， A0.1=ab1dx=b-a；当 f(x)=x 时，A 0x 0=a11 【正确答案】 1)局部截断误差为 Ri+1=y(xi+1)-y(xi)-hf(xi，y(x i)+(1-)f(xi-1，y(x i-1) 故当 时局部截断误差阶最高，此时 Ri+1= 2)预测-校正公式为它是一个两步公式12 【正确答案】 1)在节点(x i，t k)处考虑微分方程由 Taylor 展开易得 u(xi，t k+1)-u(xi,tk)= u(xi+1，t k)-2u(xi，t k)+u(xi-1,tk)+ u(xi+1，t k
