1、2007 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷及答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 设 x1=02008 和 2=0 1809 是具有 4 位有效数字的近似值，则 x1x2 至少具有_位有效数字2 给定方程 x=1+sin2x，求该方程根的 Newton 迭代格式是_3 设 ，则A 2=_4 设 f(x)=x(x-1)(x-2)，则0，1，2，3=_5 设 f(x)在0，1上 2 阶连续可导，则 =_6 求积分 的 Simpson 公式是_7 求常微分方程初值问题 的改进的 Euler 公式是_.8 构造一种迭代算法求 的近似值，精确到 4 位有效数
2、字9 给定线性方程组 写出求解该方程组的 Jacobi 迭代格式，并分析 Jacobi 迭代格式的收敛性10 给定线性方程组 Ax=b，其中 ARnn 可逆，bR n 为非零向量，xR n设 x*和分别为方程组的精确解和近似解， 证明：11 用插值法求一个二次多项式 p2(x)，使得曲线 y=p2(x)在 x=0 处与曲线 y=cosx 相切，在 x=兀 2 处与 y=cosx 相交，并证明：12 求函数 f(x)=xex 在区间0，1上的 1 次最佳平方逼近多项式 p1(x)=ax+b13 给定求积公式 1)求 A，x 0，x 1，使得求积公式具有尽可能高的代数精度，并指出所达到的最高代数精
3、度的次数；2)设 f(x)在0，2上充分光滑，求由 1)所确定的求积公式的截断误差，并将其表示为 的形式，其中c,p 为常数14 考虑常微分方程初值问题 取正整数 n,记给定上述初值问题的求解公式：试求参数 ，使求解公式具有尽可能高的阶数，并求出该公式的局部截断误差表达式及阶数15 给定初边值问题 取正整数 M，N，记 h=1M，T=1 N，x i=ih(0iM)，t k=kt(0kN)试构造求解上述初边值问题的一种显式差分格式，要求截断误差为 O(T2+h2)2007 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 【正确答
4、案】 32 【正确答案】 x k+1=xk- k=0，1，3 【正确答案】 34 【正确答案】 15 【正确答案】 (0，1)6 【正确答案】 7 【正确答案】 8 【正确答案】 令 则 x52008=0， 是该方程的根用 Newton 迭代法求根，其格式为 计算得x1=4 76875，x 2=459156 ，x 3=457680，x 4=4.57670 因为x 4-x3=0 0001 0510 -3，所以 45779 【正确答案】 Jacobi 迭代格式为 Jacobi 迭代矩阵 J 的特征方程是 展开得 43-=0，求得特征值1=0， 2,3= 所以 p(J)= 1，Jacobi 迭代收敛
5、10 【正确答案】 由条件得 Ax*=b， =b-r，因此有 A(x*- )=r. 两边取范数得r=A(x *- )Ax*- ，又由 x*=A-1b 得x * =A-1bA-1b，由上面两个估计得从而有11 【正确答案】 由条件得 p2(0)=cosx x=0=1，p 2(0)=(cosx) x=0=0，p 2(2)=cosx x=2 =0.由 Hermite 插值得 p2(x)=f(0)+f0， 0x+f0，0，兀2x 2，作差商表：所以记 g(x)=x2(x- 令 g(x)=x(3x-)=012 【正确答案】 取基函数 0(x)=1,1(x)=x,则( 0,0=01=1，( 0,1)=01
6、xdx= ，( 1,1)=01x2dx= ，(f, 0)13 【正确答案】 1)当 f(x)=1，左= 021dx=2，右=A+1；当 f(x)=x，左= 02xdx=2，右=Ax0+x1；当 f(x)=x2，左= 02x2dx= ，右=Ax 02+x12要使求积公式具有 2 次代数14 【正确答案】 x i+1 点的局部截断误差为 Ri+1=y(xi+1)-y(xi)-hf(xi+(1-)h，y(x i)+hf(xi，y(x i)=y(xi+1)-y(xi)-hf(xi+(1-)h，y(x i)+hy(xi)=y(x15 【正确答案】 记 Uik=u(xi，t k)，0iM,0kN考虑(x i，t k)点的方程由 Taylor 展开得其中 k(tk-1，t k+1)， i(xi-1，x i+1)， (xi-1,xi+1
