1、2007 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷及答案与解析1 给定非线性方程 e-x-2x=0 1)判断该方程存在几个实根； 2)用适当的迭代法求出上述方程的根，精确至 3 位有效数字； 3)验证所用迭代法满足的收敛性条件，说明所用迭代格式是收敛的2 用列主元 Gauss 消去法解线性方程组3 给定线性方程组 1)写出 Gauss-Seidel 迭代格式；2)分析此迭代格式的收敛性4 设 f(x)=x43x3+x2-10， x0=1，x 1=3，x 2=-2，x 3=0 1)求 f(x)以 x0，x 1，x 2，x 3 为节点的 3 次 Lagrange 插值多项式 L3(x)； 2)
2、求 f(x)以 x0，x 1，x 2，x 3 为节点的 3 次Newton 插值多项式 N3(x)； 3)给出以上插值多项式的插值余项表达式5 求方程组 的最小二乘解6 考虑积分 I(f)= 1)写出计算 I(f)的 Simpson 公式 S(f)； 2)用多项式插值的思想推导出 S(f). 3)写出复化梯形公式和复化 Simpson 公式之间的关系式7 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并记 h=(ba)n，x i=a+ih，f i=f(xi，y i)，0in证明求解公式 yi+1=yi+ (55fi-59fi-1+37fi-2-9fi-3)是一个 4 阶公式，并给出局部截断误差的表达式
3、2007 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷答案与解析1 【正确答案】 1)记 f(x)=e-x-2x，则 f(x)=-e-x-2=-(e-x+2)0又 f(0)=10， f(1)=e -1-20故方程 f(x)=0 有唯一解 x*(0，1) 2)将方程改写为 x= 构造迭代格式：x k+1= ,k=0，1，2， 计算得所以 x*03523)记 (x)=，则 (x)= 0，当2 【正确答案】 等价的三角方程组为 回代得 x3=1，x 2=-1，x 1=13 【正确答案】 1)系数矩阵对角线元素含零，不能直接应用 Gauss-Seidel 迭代法交换方程组的次序得到同解方程组 Gaus
4、s-Seidel 迭代格式为 2)迭代矩阵 G 的特征方程为 按最后一列展开得 有 解得1=0， 2=0， 3= 因为迭代矩阵的谱半径 p(G)= 1，从而迭代格式收敛4 【正确答案】 1)由 x0=1，x 1=3，x 2=-2，x 3=0，则 f(x0)=f(1)=-11，f(x 1)=f(3)=-1，f(x 2)=f(-2)=34，f(x 3)=f(0)=-10所以2)计算差商表如下：N3(x)=-11+5(x-1)+4(x-1)(x-3)-(x-1)(x-3)(x+2) 3)由插5 【正确答案】 解得6 【正确答案】 1) 2)以 x0=a，x 1= ，x 2=b 为插值节点作 f(x)的 2 次 Lagrange 插值多项式，得3)将a，b作 n 等分，记h= xi=a+ih，0in； (xi+xi+1)，0in-1则复化梯形公式为复化 Simpson 公式为7 【正确答案】 局部截断误差为 Ri+1=y(xi+1)-y(xi)- 55f(xi，y(x i)-59f(xi-1，y(x i-1)+37f(xi-2，y(x i-2)-9f(xi-3，y(x i-3)=y(xi+1)-y(xi)-
