1、2010 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 A 及答案与解析1 设 ，其 5 位有效数分别为 14142，1732l ，26458作如下运算：(x 1+x2)x3=(14142+17321)26458=832448054，试分析所得结果具有几位有效数字，给出一个相对误差限2 分析方程 sinx+1=x2 存在几个实根；用迭代法求出这些实根(要求精确至 2 位有效数字)，并说明所用迭代格式为什么是收敛的3 用列主元 Gauss 消去法解线性方程组4 求一个不超过 3 次的多项式 p(x)，使曲线 y=p(x)与曲线 y=sinx 在点(0,0)处相交，且在点 处相切，并证明5 求常数
2、 A，B 及 x0，使得求积公式 Af(-x0)+Bf(0)+Af(x0)的代数精度尽可能高，并指出所达到的代数精度的次数6 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，并记 h=(b-a)/n，x i=a+ih，0in 试分析求解公式 yi+1=yi+hf(yi+ f(yi)的局部截断误差，并指出它是一个几阶的公式7 设 f(x)C2(R)，证明：2010 年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷 A 答案与解析1 【正确答案】 记 y=(x1+x2)x3，则 e(y)=e(x1+x2)x3)=e(x1+x2)x3+(x1+x2)e(x3)=(e(x1)+e(x2)x3+(x1+x2 【正确答
3、案】 1)将方程改写为 sinx=x21，作函数 y1=sinx 和 y2=x21 的图像(如下所示)： 因为 -1157 21125，y 2(1)=0，y 1(-1)0，y 1(0)=0，y 1(1)0 ，所以，方程 sinx=x21 有且仅有两个根 x13 【正确答案】 等价三角方程组为回代得 x1=1，x 2=0，x 3=-14 【正确答案】 由题意知 构造差商表：所以又即5 【正确答案】 当 f(x)=1 时，有左= -111dx=2，右 =A+B+A=2A+B；当 f(x)=x 时，有左= -11xdx=0， 右=A(-x 0)+B0+A(x0)=0；当 f(x)=x2 时，有左= -11x2dx= ，右=A(-x0)2+B6 【正确答案】 局部截断误差 Ri+1=y(xi+1)-y(xi)+hf(y(xi)+ f(y(xi)=y(xi+1)-y(xi)-hf(y(xi)+ y(xi)=y(xi)+hy(xi)+ y“(xi)+ y“(xi7 【正确答案】 方法 1：当 xa 时，有 上式右边为x 的连续函数，因而 即对一切 x 有方法 2：
