1、2008 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷及答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 为提高数值计算精度，当近似值 X1 时，应将 改写为_进行计算2 求方程 x=f(x)实根的 Newton 迭代格式是_3 设 则 cond(A)2=_4 给定函数 f(x)=x5+1，则差商 f0，1，1，1=_5 求积分 近似值的梯形公式是_6 求解初值问题 的后退 Euler 公式是_7 设 A 是实对称矩阵，则求其主特征值及对应的特征向量的幂法 (归一化算法)是_8 给定方程 ex=2-x，证明该方程存在唯一实根 x*，并用迭代法求 x*的近似值，精确到 3
2、位有效数字9 用列主元 Gauss 消去法求解线性方程组10 给定线性方程组 Ax=b，这里 ARnn 为非奇异矩阵， bRn，xR n设有下面的迭代格式 x(k+1)=x(k)+(b-Ax(k)，k=0，1，2，(A) 其中 0 为常数 1)证明：如果迭代格式(A) 收敛，则迭代序列 收敛于方程 Ax=b 的解； 2)设 n=2，问 取何值时迭代格式 (A)收敛?11 求一个函数 p(x)，使之满足下面的三个条件：1)p(x)C 10，22)p(0)=f(0)，p(1)=f(1)，p(2)=f(2)，P(0)=f(0)；3)p(x) 在0，1和1 ，2上均为 2 次多项式12 求函数 f(x
3、)=lnx 在区间1，2上的 1 次最佳一致逼近多项式 P1(x)=C0+C1x13 考虑积分 及对应的求积公式 1)证明：求积公式Q(f)是以 x0=0，x 1=1，x 2=2 为求积节点的插值型求积公式；2)求求积公式 I(f)Q(f)的代数精度；3)设 f(x)C30，3，求截断误差 I(f)-Q(f)形如 f()()的表达式，其中(0， 3)， 为常数。14 给定常微分方程初值问题 取正整数 n，记 ,xi=a+ih，y iy(xi)，1in，y 0=n1)试应用数值积分公式导出求解上述初值问题的求解公式(B) 2)推导出公式(B)的局部截断误差表达式，并指出该公式是几步几阶公式15
4、给定边值问题 其中=(x，y) 0x1，0y1， 是 的边界取正整数 M，记 h=1M，x i=ih(0iM)，yj=jh(0jM)假设上述问题存在光滑解，试构造求解上述边值问题的一个差分格式，要求截断误差为 O(h2)，并写出截断误差表达式2008 年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷答案与解析一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。1 【正确答案】 2 【正确答案】 k=0,1,2,3 【正确答案】 4 【正确答案】 65 【正确答案】 f(-1)+f(1)6 【正确答案】 y i+1=yihsin(xi+1+yi+1)7 【正确答案】 u 0=v0Rn，v k=
5、Auk-1，m k=maxvk，u k=vkm k，k=1，2，8 【正确答案】 令 f(x)=ex+x-2，则 f(x)在 R 上连续f(0)=-1 0，f(1)=e-10，又f(x)=e2+10，xR，即 f(x)单调增所以方程 f(x)=0 有唯一实根 x*(0，1)用Newton 迭代格式求根，迭代格式为 取 x0=05，计算得x1=0 44385167，x 2=0 4428547，x 3=04428544 因为x9 【正确答案】 求得x1=1， x2=2， x3=310 【正确答案】 1)设迭代格式(A)收敛，不妨设 在(A) 式两边取极限得 x*=x*+(b-Ax*)由于 0，所以
6、 bAx*=0，即 x*是方程 Ax=b 的解 2)将(A)改写为 xk+1=(IA)x(k)+b根据迭代法收敛定理可知该迭代格式收敛的充要条件是 (IA)1迭代矩阵 IA 的特征方程是展开得 -(14) 211 【正确答案】 方法 1：设 P(1)=m1由 p(0)=f(0)，p(1)=f(1) ，P(0)=f(0)得 p(x)=f(0)+f0，0x+f0，0，1x 2 =f(0)+f(0)x+f(1)-f(0)-f(0)x2，x0，1因为 p(x)C10， 2，所以 m1=P(1)=f(0)+2f(1)-f(0)-f(0)=2f(1)-f(0)-f(0)，由 p(1)=f(1)，p12 【
7、正确答案】 因为当 x(1，2) 时，f“(x)= 0，所以 f(x)-p1(x)在1，2上有3 个交错偏差点：1，x 1，2由特征定理，有 f(1)-p1(1)=-f(x1)-p1(x1)=f(2)-p1(2)，f(x1)-P1(x1)=0，即-(c 0+c113 【正确答案】 1)以 0，1,2 为节点的插值基函数是 l0(x)= (x-1)(x-2)，l 1(x)=-x(x-2)，l 2(x)= (x-1) 03l0(x)dx= 03(x-1)(x-2)dx=*500 03l1(x)dx=-014 【正确答案】 1)将方程两边在x i-1，x i+1上积分得 y(x i+1)=y(xi-1)+xi-1xi+1f(x，y(x)dx，由中点公式得 y(xi+1)=y(xi-1)+2hf(xi，y(x i)+ =y(xi-1)+15 【正确答案】 考虑节点(x i，y ij)处的方程1i，jM-1记 Uij=u(xi，y j)，则利用 Taylor 展开得 其中 ij(xi-1,xi+1)，ij(yi-1，y i+1)， (xi-1，x i+1)
